三者容斥問題3個公式

1、三者容斥問題3 個公式三集合容斥問題是公考中的?？?，主要通過公式法和畫圖法解決，而公式法是最常用的方法，可是好多考生公式記得特別溜，做題時卻不知用哪個好。如何用1秒的時間快速準確挑選出公式呢？這是我們必須要具備的能力，今天我們一起來習(xí)得。首先，何時能用公式解決三集合容斥問題？題目中沒有“只”，即題目中沒有出現(xiàn)只滿足一個條件的表述。其次，三集合容斥常用的三個公式是什么？（ 1）標(biāo)準型： A+B+C-AB-AC-BC+ABC= 總- 都不的（ 2）拓展 1： A+B+C- 同時滿足兩項的 -2ABC= 總- 都不的（ 3）拓展 2： A+B+C- 滿足兩項以上的 -ABC= 總 - 都不的再次，如

2、何 1 秒挑選三集合容斥公式？三個公式中，差別最明顯的是關(guān)于兩項的描述。若題目給出“滿足 AB、滿足 AC 、滿足 BC”的排比式描述，應(yīng)用標(biāo)準型公式；若題目給出同時滿足兩項的描述，則用拓展 1 公式；若題目給出滿足兩項以上的描述，則用拓展2 公式。其他的條件在選公式的時候， 一點也沒用， 直接找題目中關(guān)于兩項的描述即可，選公式1 秒足已。最后，如何快速解呢？大部分題目，尾數(shù)不同，用尾數(shù)法。來來來，上菜了。【例 1 】有關(guān)部門對 120 種抽樣食品進行化驗分析， 結(jié)果顯示，抗氧化劑達標(biāo)的有 68 種，防腐劑達標(biāo)的有 77 種，漂白劑達標(biāo)的有 59 種，抗氧化劑和防腐劑都達標(biāo)的有 54 種，防腐

3、劑和漂白劑都達標(biāo)的有 43 種，抗氧化劑和漂白劑都達標(biāo)的有 35 種，三種食品添加劑都達標(biāo)的有 30 種，那么三種食品添加劑都不達標(biāo)的有（ ）種。A.14B.15C.18D.17【秒選公式】題目中出現(xiàn)“抗氧化劑和防腐劑都達標(biāo)的有54 種，防腐劑和漂白劑都達標(biāo)的有 43 種，抗氧化劑和漂白劑都達標(biāo)的有35 種”這種排比式的滿足兩項的描述，選標(biāo)準型?！敬鸢浮?C【解析】本題考查三集合容斥。 設(shè)三種食品添加劑都不達標(biāo)的有x 種，代入三集合容斥原理標(biāo)準公式可得：68+77+59-54-43-35+30=120-x，解得 x=18 （尾數(shù)為 8 ）。故本題答案為C 選項。【例 2 】一旅行團共有50 位

4、游客到某地旅游，去A 景點的游客有 35 位，去 B景點的游客有 32 位，去 C 景點的游客有 27 位，去 A 、B 景點的游客有 20 位，去 B、C 景點的游客有 15 位，三個景點都去的游客有 8 位，有 2 位游客去完一個景點后先行離團，還有 1 位游客三個景點都沒去。那么， 50 位游客中有多少位恰好去了兩個景點？（ ）A.29B.31C.35D.37【秒選公式】題目中告訴了好多條件，如何選擇公式呢？題目中問“中有多少位恰好去了兩個景點”，即同時滿足兩項的個數(shù)，選拓展50 位游客1 公式?！敬鸢浮緼【解析】本題考查三集合容斥。 設(shè)有 x 位游客恰好去了兩個景點。由三集合容斥原理公

5、式可得： 35+32+27-x-2×8=50-1 ，尾數(shù)法可得 x 尾數(shù)為 9。故本題答案為A選項。【例 3 】某通訊公司對3542 個上網(wǎng)客戶的上網(wǎng)方式進行調(diào)查，其中1258 個客戶使用手機上網(wǎng)， 1852 個客戶使用有線網(wǎng)絡(luò)上網(wǎng)，932 個客戶使用無線網(wǎng)絡(luò)上網(wǎng)。如果使用不止一種上網(wǎng)方式的有352 個客戶，那么三種上網(wǎng)方式都使用的客戶有多少個 ?（ ）A.148B.248C.350D.500【秒選公式】題目已知“如果使用不止一種上網(wǎng)方式的有352 個客戶”，等價于“使用 2 種及以上上網(wǎng)方式的有352 個客戶”，即滿足兩項以上的個數(shù)，選拓展 2 公式?！敬鸢浮?A【解析】本題考查三

6、集合容斥。 設(shè)三種上網(wǎng)方式都使用的客戶有x 個，代入三集合容斥拓展 2 公式， 1258+1852+932-352-x=3542，解得 x=148 。故本題答案為 A 選項。相信大家已經(jīng)學(xué)會了如何1 秒選公式了，接下來，試試身手如何?！揪毩?xí) 1】為豐富職工業(yè)余文化生活，某單位組織了合唱、象棋、羽毛球三項活動。在該單位的所有職工中， 參加合唱活動有189 人，參加象棋活動有 152 人，參加羽毛球活動有135 人，參加兩種活動的有130 人，參加三種活動的有69人，不參加任何一種活動的有44 人。該單位的職工人數(shù)為（）人。A.233B.252C.321D.520【秒選公式】題目中已知“參加兩種活

7、動的有數(shù)，應(yīng)選拓展 1 公式。130 人”，即同時滿足2 項的個【答案】B【解析】本題考查三集合容斥原理。代入三集合容斥原理拓展189+152+135-130-69×2= 總數(shù) -44 ，尾數(shù)法可知總數(shù)尾數(shù)為1 公式，2 。故本題答案為B 選項。【練習(xí) 2】工廠組織工人參加技能培訓(xùn)，參加車工培訓(xùn)的有17 人，參加鉗工培訓(xùn)的有 16 人，參加鑄工培訓(xùn)的有14 人，參加兩項及以上培訓(xùn)的人占參加培訓(xùn)總?cè)藬?shù)的 2/3 ，三項培訓(xùn)都參加的有2 人，問總共有多少人參加了培訓(xùn)？（）A.24B.27C.30D.33【秒選公式】題目中已知 “參加兩項及以上培訓(xùn)的人” ，即滿足兩項以上的描述，應(yīng)選拓展 2 公式?！敬鸢浮緽【解析】本題考查三集合容斥。設(shè)參加培訓(xùn)的總?cè)藬?shù)為 x，代入三集合容斥原理拓展 2 公式， 17+16+14-2x/3-2=x ，得 x=27 。故本題答案為 B 選項。【練習(xí) 3】針對 100 名旅游愛好者進行調(diào)查發(fā)現(xiàn)，28 人喜歡泰山， 30 人喜歡華山，42 人喜歡黃山， 8 人既喜歡黃山又喜歡華山， 10 人既喜歡泰山又喜歡黃山，5 人既喜歡華山又喜歡泰山，3 人喜歡這三個景點，則不喜歡這三個景點中任何一個的有（）人。A.20B.18C.17D.15【秒選公式】題目中出現(xiàn)“8 人既喜歡黃山又喜歡華山，10 人既喜歡泰山又喜歡黃山， 5