初中數(shù)學(xué)中考中考?jí)狠S題專題訓(xùn)練

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上中考中考?jí)狠S題專題訓(xùn)練一解答題（共30小題）1（2014本溪一模）把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖，已知圓心為O，EF=CD=16厘米，則O的半徑為多少厘米？考點(diǎn)：垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：如圖，過點(diǎn)O作OMAD于點(diǎn)M，連接OF，設(shè)OF=x，則OM是16x，MF=8，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的長即可解答：解：過點(diǎn)O作OMAD于點(diǎn)M，連接OF，設(shè)OF=x，則OM=16x，MF=8，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2即：（16x）2+82=x2解得：x=10答：O的半徑為10厘米點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理及

2、勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形2（2014東臺(tái)市二模）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線AD上，過P作PFAE于F，設(shè)PA=x（1）求證：PFAABE；（2）若以P，F(xiàn)，E為頂點(diǎn)的三角形也與ABE相似，試求x的值；（3）試求當(dāng)x取何值時(shí)，以D為圓心，DP為半徑的D與線段AE只有一個(gè)公共點(diǎn)考點(diǎn)：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)；直線與圓的位置關(guān)系菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：綜合題；壓軸題；分類討論分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，結(jié)合已知條件可以證明兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，從而證明三角形相似；（2）由于對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，所以應(yīng)針對(duì)不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系分情況考慮：當(dāng)PEF=

3、EAB時(shí)，則得到四邊形ABEP為矩形，從而求得x的值；當(dāng)PEF=AEB時(shí)，再結(jié)合（1）中的結(jié)論，得到等腰APE再根據(jù)等腰三角形的三線合一得到F是AE的中點(diǎn)，運(yùn)用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解（3）此題首先應(yīng)針對(duì)點(diǎn)P的位置分為兩種大情況：點(diǎn)P在AD邊上時(shí)或當(dāng)點(diǎn)P在AD的延長線上時(shí)同時(shí)還要特別注意D與線段AE只有一個(gè)公共點(diǎn)，不一定必須相切，只要保證和線段AE只有一個(gè)公共點(diǎn)即可故求得相切時(shí)的情況和相交，但其中一個(gè)交點(diǎn)在線段AE外的情況即是x的取值范圍解答：（1）證明：正方形ABCD，ADBC（1分）ABE=90°PAF=AEB（1分）又PFAE，PFA=ABE=90°（1分）

4、PFAABE（2）解：情況1，當(dāng)EFPABE，且PEF=EAB時(shí)，則有PEAB（1分）四邊形ABEP為矩形（1分）PA=EB=2，即x=2（2分）情況2，當(dāng)PFEABE，且PEF=AEB時(shí)，PAF=AEB，PEF=PAFPE=PAPFAE，點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)（1分），（1分），即，PE=5，即x=5（2分）滿足條件的x的值為2或5（3）解：作DHAE，則D與線段AE的距離d即為DH的長，可得d=當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上時(shí)，D的半徑r=DP=4x；當(dāng)點(diǎn)P在AD的延長線上時(shí)，D的半徑r=DP=x4；如圖1時(shí)，D與線段AE相切，此時(shí)d=r，即，；如圖2時(shí)，D與線段AE相切，此時(shí)d=r，即，；如圖3時(shí)，DA=P

5、D，則PA=x=2DA=8，如圖4時(shí)，當(dāng)PD=ED時(shí)，DE=2，PA=PD+AD=4+2，當(dāng)或或8x4+2時(shí)，D與線段AE只有一個(gè)公共點(diǎn)（3分）點(diǎn)評(píng)：綜合運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)特別注意和線段有一個(gè)公共點(diǎn)，不一定必須相切，也可以相交，但其中一個(gè)交點(diǎn)在線段外3（2014鄄城縣模擬）操作：小明準(zhǔn)備制作棱長為1cm的正方體紙盒，現(xiàn)選用一些廢棄的紙片進(jìn)行如下設(shè)計(jì)：說明：方案一：圖形中的圓過點(diǎn)A、B、C；方案二：直角三角形的兩直角邊與展開圖左下角的正方形邊重合，斜邊經(jīng)過兩個(gè)正方形的頂點(diǎn)紙片利用率=×100%發(fā)現(xiàn)：（1）方案一中的點(diǎn)A、B恰好為該圓一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)你認(rèn)為小明的這個(gè)發(fā)現(xiàn)是否正確，

6、請(qǐng)說明理由（2）小明通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)方案一中紙片的利用率僅約為38.2%請(qǐng)幫忙計(jì)算方案二的利用率，并寫出求解過程探究：（3）小明感覺上面兩個(gè)方案的利用率均偏低，又進(jìn)行了新的設(shè)計(jì)（方案三），請(qǐng)直接寫出方案三的利用率說明：方案三中的每條邊均過其中兩個(gè)正方形的頂點(diǎn)考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；幾何體的展開圖；勾股定理；圓周角定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何綜合題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合分析：（1）連接AC、BC、AB，由AC=BC=，AB=，根據(jù)勾股定理的逆定理，即可求得BAC=90°，又由90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，則可證得AB為該圓的直徑；（2）首先證得ADEEHF與ADEACB，即可

7、求得AD與BC的長，求得ABC的面積，即可求得該方案紙片利用率；（3）利用方案（2）的方法，分析求解即可求得答案解答：解：發(fā)現(xiàn)：（1）小明的這個(gè)發(fā)現(xiàn)正確理由：解法一：如圖一：連接AC、BC、AB，AC=BC=，AB=2AC2+BC2=AB2，BCA=90°，AB為該圓的直徑解法二：如圖二：連接AC、BC、AB易證AMCBNC，ACM=CBN又BCN+CBN=90°，BCN+ACM=90°，即BCA=90°，AB為該圓的直徑（2）如圖三：DE=FH，DEFH，AED=EFH，ADE=EHF=90°，ADEEHF（ASA），AD=EH=1DEBC，

8、ADEACB，=，=，BC=8，SACB=16該方案紙片利用率=×100%=×100%=37.5%；探究：（3）過點(diǎn)C作CDEF于D，過點(diǎn)G作GHAC，交BC于點(diǎn)H，設(shè)AP=a，PQEK，易得APQKQE，CEF是等腰三角形，GHL是等腰三角形，AP：AQ=QK：EK=1：2，AQ=2a，PQ=a，EQ=5a，EC：ED=QE：QK，EC=a，則PG=5a+a=a，GL=a，GH=a，解得：GB=a，AB=a，AC=a，SABC=×AB×AC=a2，S展開圖面積=6×5a2=30a2，該方案紙片利用率=×100%=×100%

9、=49.86%點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角的性質(zhì)，相似三角形與全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理等知識(shí)此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用4（2014江西模擬）某班甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行了一次用正方形紙片折疊探究相關(guān)數(shù)學(xué)問題的課題學(xué)習(xí)活動(dòng)活動(dòng)情境：如圖2，將邊長為8cm的正方形紙片ABCD沿EG折疊（折痕EG分別與AB、DC交于點(diǎn)E、G），使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn) F處，F(xiàn)N與DC交于點(diǎn)M處，連接BF與EG交于點(diǎn)P所得結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)F與AD的中點(diǎn)重合時(shí)：（如圖1）甲、乙、丙三位同學(xué)各得到如下一個(gè)正確結(jié)論（或結(jié)果）：甲：AEF的邊AE=3cm，EF=5cm；乙：FDM的周長為16c

10、m；丙：EG=BF你的任務(wù)：（1）填充甲同學(xué)所得結(jié)果中的數(shù)據(jù)；（2）寫出在乙同學(xué)所得結(jié)果的求解過程；（3）當(dāng)點(diǎn)F在AD邊上除點(diǎn)A、D外的任何一處（如圖2）時(shí)：試問乙同學(xué)的結(jié)果是否發(fā)生變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論；丙同學(xué)的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請(qǐng)說明理由，若你認(rèn)為成立，先證明EG=BF，再求出S（S為四邊形AEGD的面積）與x（AF=x）的函數(shù)關(guān)系式，并問當(dāng)x為何值時(shí)，S最大？最大值是多少？考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；探究型分析：（1）根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)可設(shè)AE=x，則EF=8x，利用勾股定理即可求出AE的長，進(jìn)而求

11、出EF的長；（2）根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)可得到MFE=90°，由相似三角形的判定定理可得出AEFDFM，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出FMD各邊的長，進(jìn)而求出其周長；（3）設(shè)AF=x，利用勾股定理可得出AE=4，同理可知AEFDFM，再由相似三角形的性質(zhì)可得出FMD的周長，由正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理可知AFBKEG，進(jìn)而可得出四邊形AEGD的面積，由其面積表達(dá)式即可求出其面積的最大值解答：解：（1）AE=3cm，EF=5cm；設(shè)AE=x，則EF=8x，AF=4，A=90°，42+x2=（8x）2，x=3，AE=3cm，EF=5cm；（2）如答圖1，MFE=9

12、0°，DFM+AFE=90°，又A=D=90°，AFE=DMF，AEFDFM，又AE=3，AF=DF=4，EF=5，F(xiàn)MD的周長=4+=16；（3）乙的結(jié)果不會(huì)發(fā)生變化理由：如答圖2，設(shè)AF=x，EF=8AE，x2+AE2=（8AE）2，AE=4，同上述方法可得AEFDFM，CAEF=x+8，F(xiàn)D=8x，則，=16丙同學(xué)的結(jié)論還成立證明：如答圖2，B、F關(guān)于GE對(duì)稱，BFEG于P，過G作GKAB于K，F(xiàn)BE=KGE，在正方形ABCD中，GK=BC=AB，A=EKG=90°，AFBKEG，BF=EG由上述可知AE=4，AFBKEG，AF=EK=x，AK=A

13、E+EK=AF+AE=4+x，S=×8=0.5×8（AE+AK）=4×（4+4+x）=S=，（0x8）當(dāng)x=4，即F與AD的中點(diǎn)重合時(shí)S最大，S最大=40點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、圖形翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及二次函數(shù)的最值問題，涉及面較廣，難度適中5（2014許昌二模）將邊長為8cm的正方形紙片ABCD沿EG折疊（折痕EG分別與AB、DC交于點(diǎn)E、G），使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn) F處，F(xiàn)N與DC交于點(diǎn)M，連接BF與EG交于點(diǎn)P（1）當(dāng)點(diǎn)F與AD的中點(diǎn)重合時(shí)（如圖1）：AEF的邊AE=3cm，EF=5cm，線段EG與BF的大小

14、關(guān)系是EG=BF；（填“”、“=”或“”）求FDM的周長 （2）當(dāng)點(diǎn)F在AD邊上除點(diǎn)A、D外的任意位置時(shí)（如圖2）：試問第（1）題中線段EG與BF的大小關(guān)系是否發(fā)生變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)F在何位置時(shí)，四邊形AEGD的面積S最大？最大值是多少？考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；勾股定理；正方形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：綜合題；壓軸題分析：（1）根據(jù)直角三角形勾股定理即可得出結(jié)論，利用三角形相似對(duì)邊比例關(guān)系計(jì)算出三角形各邊長即可計(jì)算出結(jié)果，（2）根據(jù)題意，利用三角形全等即可證明結(jié)論，根據(jù)勾股定理得出AE，然后利用全等三角形得出AF、AK，即可得出結(jié)果解答：解：

15、（1）AE=3cm，EF=5cm；EG=BF，設(shè)AE=x，則EF=8x，AF=4，A=90°，42+x2=（8x）2，x=3，AE=3cm，EF=5cm，EG=BF，解：如圖1，MFE=90°，DFM+AFE=90°，又A=D=90°，AFE=DMF，AEFDFM，又AE=3，AF=DF=4，EF=5，F(xiàn)MD的周長=4+=16；（2）EG=BF不會(huì)發(fā)生變化，理由：證明：如圖2，B、F關(guān)于GE對(duì)稱，BFEG于P，過G作GKAB于K，F(xiàn)BE=KGE，在正方形ABCD中，GK=BC=AB，A=EKG=90°，AFBKEG（AAS），EG=BF，如圖2

16、，設(shè)AF=x，EF=8AE，x2+AE2=（8AE）2，AE=4，AFBKEG，AF=EK=x，AK=AE+EK=AF+AE=4+x，（10分）S=×8=0.5×8（AE+AK）=4×（4+4+x）=，S=，（0x8）當(dāng)x=4，即F與AD的中點(diǎn)重合時(shí)，S最大=40（12分）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，需要注意的是：旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變，難度較大6（2013汕頭）如圖，矩形ABCD中，以對(duì)角線BD為一邊構(gòu)造一個(gè)矩形BDEF，使得另一邊EF過原矩形的頂點(diǎn)C（1）設(shè)RtCBD的面積為S1，RtBFC

17、的面積為S2，RtDCE的面積為S3，則S1=S2+S3（用“”、“=”、“”填空）；（2）寫出如圖中的三對(duì)相似三角形，并選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明考點(diǎn)：相似三角形的判定；矩形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：（1）根據(jù)S1=S矩形BDEF，S2+S3=S矩形BDEF，即可得出答案（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合圖形可得：BCDCFBDEC，選擇一對(duì)進(jìn)行證明即可解答：（1）解：S1=BD×ED，S矩形BDEF=BD×ED，S1=S矩形BDEF，S2+S3=S矩形BDEF，S1=S2+S3（2）答：BCDCFBDEC證明BCDDEC；證明：EDC+BDC=90°，CBD+B

18、DC=90°，EDC=CBD，又BCD=DEC=90°，BCDDEC點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形的判定定理，最經(jīng)常用的就是兩角法，此題難度一般7（2013巴中）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AEBC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且AFE=B（1）求證：ADFDEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的長考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：（1）利用對(duì)應(yīng)兩角相等，證明兩個(gè)三角形相似ADFDEC；（2）利用ADFDEC，可以求出線段DE的長度；然后在RtADE中，利用勾股定

19、理求出線段AE的長度解答：（1）證明：四邊形ABCD是平行四變形，ABCD，ADBC，C+B=180°，ADF=DECAFD+AFE=180°，AFE=B，AFD=C在ADF與DEC中，ADFDEC（2）解：四邊形ABCD是平行四邊形，CD=AB=8由（1）知ADFDEC，DE=12在RtADE中，由勾股定理得：AE=6點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理三個(gè)知識(shí)點(diǎn)題目難度不大，注意仔細(xì)分析題意，認(rèn)真計(jì)算，避免出錯(cuò)8（2013株洲）已知在ABC中，ABC=90°，AB=3，BC=4點(diǎn)Q是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作AC的垂線交線

20、段AB（如圖1）或線段AB的延長線（如圖2）于點(diǎn)P（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，求證：AQPABC；（2）當(dāng)PQB為等腰三角形時(shí)，求AP的長考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：（1）由兩對(duì)角相等（APQ=C，A=A），證明AQPABC；（2）當(dāng)PQB為等腰三角形時(shí)，有兩種情況，需要分類討論（I）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如題圖1所示由三角形相似（AQPABC）關(guān)系計(jì)算AP的長；（II）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上時(shí)，如題圖2所示利用角之間的關(guān)系，證明點(diǎn)B為線段AP的中點(diǎn)，從而可以求出AP解答：（1）證明：PQAQ，AQP=90

21、°=ABC，在APQ與ABC中，AQP=90°=ABC，A=A，AQPABC（2）解：在RtABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5QBP為鈍角，當(dāng)PQB為等腰三角形時(shí)，（I）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如題圖1所示QBP為鈍角，當(dāng)PQB為等腰三角形時(shí)，只可能是PB=PQ，由（1）可知，AQPABC，即，解得：PB=，AP=ABPB=3=；（II）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上時(shí)，如題圖2所示QBP為鈍角，當(dāng)PQB為等腰三角形時(shí)，只可能是PB=BQBP=BQ，BQP=P，BQP+AQB=90°，A+P=90°，AQB=A，BQ=AB，AB=BP，點(diǎn)B為

22、線段AP中點(diǎn)，AP=2AB=2×3=6綜上所述，當(dāng)PQB為等腰三角形時(shí)，AP的長為或6點(diǎn)評(píng)：本題考查相似三角形及分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度不大第（2）問中，當(dāng)PQB為等腰三角形時(shí)，有兩種情況，需要分類討論，避免漏解9（2013自貢）將兩塊全等的三角板如圖擺放，其中A1CB1=ACB=90°，A1=A=30°（1）將圖中的A1B1C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得圖，點(diǎn)P1是A1C與AB的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是A1B1與BC的交點(diǎn)，求證：CP1=CQ；（2）在圖中，若AP1=2，則CQ等于多少？（3）如圖，在B1C上取一點(diǎn)E，連接BE、P1E，設(shè)BC=1，當(dāng)BEP1B時(shí)，求P1BE

23、面積的最大值考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；解直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：（1）先判斷B1CQ=BCP1=45°，利用ASA即可證明B1CQBCP1，從而得出結(jié)論（2）作P1DCA于D，在RtADP1中，求出P1D，在RtCDP1中求出CP1，繼而可得出CQ的長度（3）證明AP1CBEC，則有AP1：BE=AC：BC=：1，設(shè)AP1=x，則BE=x，得出SP1BE關(guān)于x的表達(dá)式，利用配方法求最值即可解答：（1）證明：B1CB=45°，B1CA1=90°，B1CQ=BCP1=45°，在B1CQ和BCP1中，B

24、1CQBCP1（ASA），CQ=CP1；（2）作P1DCA于D，A=30°，P1D=AP1=1，P1CD=45°，=sin45°=，CP1=P1D=，又CP1=CQ，CQ=；（3）P1BE=90°，ABC=60°，A=CBE=30°，AC=BC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ACP1=BCE，AP1CBEC，AP1：BE=AC：BC=：1，設(shè)AP1=x，則BE=x，在RtABC中，A=30°，AB=2BC=2，SP1BE=×x（2x）=x2+x=（x1）2+，故當(dāng)x=1時(shí)，SP1BE（max）=點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定

25、與性質(zhì)，解答本題需要我們熟練掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及配方法求二次函數(shù)的最值，有一定難度10（2013呼和浩特）如圖，AD是ABC的角平分線，以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑作圓交BC的延長線于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)M，且B=CAE，EF：FD=4：3（1）求證：點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)；（2）求cosAED的值；（3）如果BD=10，求半徑CD的長考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；解直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：（1）由AD是ABC的角平分線，B=CAE，易證得ADE=DAE，即可得ED=EA，又由ED是直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得

26、EFAD，由三線合一的知識(shí)，即可判定點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)；（2）首先連接DM，設(shè)EF=4k，DF=3k，然后由勾股定理求得ED的長，繼而求得DM與ME的長，由余弦的定義，即可求得答案；（3）易證得AECBEA，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得方程：（5k）2=k（10+5k），解此方程即可求得答案解答：（1）證明：AD是ABC的角平分線，1=2，ADE=1+B，DAE=2+3，且B=3，ADE=DAE，ED=EA，ED為C直徑，DFE=90°，EFAD，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)；（2）解：連接DM，設(shè)EF=4k，DF=3k，則ED=5k，ADEF=AEDM，DM=k，ME=k，cosAED=

27、；（3）解：B=3，AEC為公共角，AECBEA，AE：BE=CE：AE，AE2=CEBE，（5k）2=k（10+5k），整理得：25k2=50k，k0，k=2，CD=k=5點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用11（2013成都）如圖，點(diǎn)B在線段AC上，點(diǎn)D、E在AC同側(cè)，A=C=90°，BDBE，AD=BC（1）求證：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接DP，作PQDP，交直線BE于點(diǎn)Q；（i）當(dāng)點(diǎn)P與A、B兩點(diǎn)

28、不重合時(shí)，求的值；（ii）當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，求線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑（線段）長（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何綜合題；壓軸題分析：（1）根據(jù)同角的余角相等求出1=E，再利用“角角邊”證明ABD和CEB全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=CE，然后根據(jù)AC=AB+BC整理即可得證；（2）（i）過點(diǎn)Q作QFBC于F，根據(jù)BFQ和BCE相似可得=，然后求出QF=BF，再根據(jù)ADP和FPQ相似可得=，然后整理得到（APBF）（5AP）=0，從而求出AP=BF，最后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得=，從而得

29、解；（ii）判斷出DQ的中點(diǎn)的路徑為BDQ的中位線MN求出QF、BF的長度，利用勾股定理求出BQ的長度，再根據(jù)中位線性質(zhì)求出MN的長度，即所求之路徑長解答：（1）證明：BDBE，1+2=180°90°=90°，C=90°，2+E=180°90°=90°，1=E，在ABD和CEB中，ABDCEB（AAS），AB=CE，AC=AB+BC=AD+CE；（2）（i）如圖，過點(diǎn)Q作QFBC于F，則BFQBCE，=，即=，QF=BF，DPPQ，APD+FPQ=180°90°=90°，APD+ADP=180&

30、#176;90°=90°，ADP=FPQ，又A=PFQ=90°，ADPFPQ，=，即=，5APAP2+APBF=3BF，整理得，（APBF）（AP5）=0，點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)不重合，AP5，AP=BF，由ADPFPQ得，=，=；（ii）線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑（線段）就是BDQ的中位線MN由（2）（i）可知，QF=AP當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至AC中點(diǎn)時(shí)，AP=4，QF=BF=QF×=4在RtBFQ中，根據(jù)勾股定理得：BQ=MN=BQ=線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑（線段）長為點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，（1）求出三角形全等的條件1=E

31、是解題的關(guān)鍵，（2）（i）根據(jù)兩次三角形相似求出AP=BF是解題的關(guān)鍵，（ii）判斷出路徑為三角形的中位線是解題的關(guān)鍵12（2013阜寧縣二模）如圖，菱形ABCD的邊長為20cm，ABC=120°動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，其中P以4cm/s的速度，沿ABC的路線向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；Q以2cm/s的速度，沿AC的路線向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)當(dāng)P、Q到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（1）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，請(qǐng)判斷PQ與對(duì)角線AC的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若點(diǎn)Q關(guān)于菱形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為M，過點(diǎn)P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD（或CD）于點(diǎn)N當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P、M

32、、N在一直線上？當(dāng)點(diǎn)P、M、N不在一直線上時(shí)，是否存在這樣的t，使得PMN是以PN為一直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何綜合題；壓軸題；存在型；分類討論分析：（1）此問需分兩種情況，當(dāng)0t5及5t10兩部分分別討論得PQAC（2）由于點(diǎn)P、M、N在一直線上，則AQ+QM=AM，代入求得t的值假設(shè)存在這樣的t，使得PMN是以PN為一直角邊的直角三角形，但是需分點(diǎn)N在AD上時(shí)和點(diǎn)N在CD上時(shí)兩種情況分別討論解答：解：（1）若0t5，則AP=4t，AQ=2t則=，又AO=10，AB=20，=又C

33、AB=30°，APQABOAQP=90°，即PQAC當(dāng)5t10時(shí)，同理，可由PCQBCO得PQC=90°，即PQAC在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，始終有PQAC（2）如圖，在RtAPM中，PAM=30°，AP=4t，AM=在APQ中，AQP=90°，AQ=APcos30°=2t，QM=AC2AQ=204t由AQ+QM=AM得：2t+204t=，解得t=當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)P、M、N在一直線上存在這樣的t，使PMN是以PN為一直角邊的直角三角形設(shè)l交AC于H如圖1，當(dāng)點(diǎn)N在AD上時(shí)，若PNMN，則NMH=30°MH=2NH得204t=2

34、15;，解得t=2如圖2，當(dāng)點(diǎn)N在CD上時(shí)，若PMPN，則HMP=30°MH=2PH，同理可得t=故當(dāng)t=2或時(shí)，存在以PN為一直角邊的直角三角形點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，較為復(fù)雜，難度較大13（2013崇明縣一模）如圖，直角梯形ABCD中，ABDC，DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長的速度，從點(diǎn)A沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)P以相同的速度，從點(diǎn)C沿折線CDA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)過點(diǎn)M作直線lAD，與折線ACB的交點(diǎn)為Q點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）（1）當(dāng)AM=0.5時(shí)，求線段QM的長；（2）點(diǎn)M在線

35、段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否可以使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若可以，請(qǐng)直接寫出t的值（不需解題步驟）；若不可以，請(qǐng)說明理由（3）若PCQ的面積為y，請(qǐng)求y關(guān)于出t的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型分析：（1）利用直線平行得出RtAQMRtCAD，再利用對(duì)應(yīng)邊的比值相等求出即可；（2）點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，可利用三邊關(guān)系得出；（3）分當(dāng)0t2時(shí)與當(dāng)6t2時(shí)，進(jìn)行討論得出符合要求的答案解答：解：（1）ABDC，RtAQMRtCAD即，QM=1（2）根據(jù)題意可得當(dāng)0t2時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)可

36、以構(gòu)成三角形為直角三角形，故有兩種情況：當(dāng)CPQ=90°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，此時(shí)DE+CP=CD，即t+t=2，t=1，當(dāng)PQC=90°時(shí)，如備用圖1，此時(shí)RtPEQRtQMA，由（1）知，EQ=EMQM=42t，而PE=PCCE=PC（DCDE）=t（2t）=2t2，；當(dāng)2t6時(shí)，可得CD=DP=2時(shí)，DCP=45°，可以使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，此時(shí)t=4，綜上所述，t=1或或4；（3）如圖1，當(dāng)0t2時(shí)，點(diǎn)P在線段CD上，設(shè)直線l交CD于點(diǎn)E由（1）可得即，QM=2tQE=42tSPQC=PCQE=t2+2t，即y=t2+2t，當(dāng)6t2時(shí)，

37、如圖3，過點(diǎn)C作CFAB交AB于點(diǎn)F，交PQ于點(diǎn)HPA=DADP=4（t2）=6t由題意得，BF=ABAF=4CF=BF，CBF=45°，QM=MB=6t，QM=PA四邊形AMQP為矩形PQABCHPQ，HF=AP=6tCH=ADHF=t2，SPQC=PQCH=，即y=，綜上所述y=t2+2t（0t2），或y=（2t6）點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定以及直角三角形的判定等知識(shí)，題目綜合性較強(qiáng)，分類討論時(shí)要考慮全面，根據(jù)t的取值范圍進(jìn)行討論是解決問題的關(guān)鍵14（2013黃岡四月調(diào)考）如圖，P為正方形ABCD的對(duì)稱中心，正方形ABCD的邊長為，tanABO=3直線OP交AB于

38、N，DC于M，點(diǎn)H從原點(diǎn)O出發(fā)沿x軸的正半軸方向以1個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)R從O出發(fā)沿OM方向以個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t求：（1）分別寫出A、C、D、P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，ANO與DMR相似？（3）HCR面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；并求以A、B、C、R為頂點(diǎn)的四邊形是梯形時(shí)t的值及S的最大值考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)即可求得OA，OB的長，即可得到A則坐標(biāo)，C的坐標(biāo)，進(jìn)而求得D，P的坐標(biāo)；（2）分MDR=45°和DRM=45°兩種情況求得t的值；（3）分0t4

39、和t4兩種情況求得函數(shù)解析式，然后分當(dāng)CRAB時(shí)，當(dāng)ARBC時(shí)，當(dāng)BRAC三種情況求得t的值，進(jìn)而求得函數(shù)的最大值解答：解：（1）A（0，3）C（4，1），D（3，4），P（2，2）（2）過點(diǎn)N作NEAO，于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AFMS于點(diǎn)F，MSx軸于點(diǎn)S，由（1）可得：B（1，0），直線AB的解析式為：y=3x+3；直線OP的解析式為：y=x，聯(lián)立得，N（，），直線CD的解析式是：y=3x+13，解方程組：，解得：則M的坐標(biāo)是：（，），ON=，OM=，AD2+DM2=AF2+MF2，10+MD2=（）2+（）2，DM=，AN=當(dāng)MDR=45°時(shí)，AON=45°，MDR=AON

40、，ANDM，ANO=DMP，ANO與DMR相似，則ANORMD，即=，解得：MR=，則OR=OMMR=2t=2，同理可得：當(dāng)DRM=45°時(shí)，t=3，ANO與DMR相似，綜上可知：t=2或3時(shí)當(dāng)ANO與DMR相似；（3）R速度為，H速度為1，且ROH=45°，tanROH=1，RH始終垂直于x軸，RH=OH=t，設(shè)HCR的邊RH的高為h，h=|4t|SHCR=ht2=|t2+4t|，S=t2+2t（0t4）；S=t22t（t4）；以A、B、C、R為頂點(diǎn)的梯形，有兩種可能：1頂邊和底邊分別為BC、AR，此時(shí)BCAR延長AD，使其與OM相交于點(diǎn)R，AD的斜率=tanBAO=，直

41、線AD為：y=+3R坐標(biāo)為（4.5，4.5），此時(shí)四邊形ABCR為梯形為梯形，t=4.52頂邊、底邊分別為CR、AB，此時(shí)CRAB，且R與M重合CD的斜率=3，且直線CD過點(diǎn)C，直線CD為：y1=3（x4），y=3x+13，OM與CD交于點(diǎn)M（即R），M為（，），此時(shí)四邊形ABCR為梯形，t=，當(dāng)CRAB時(shí)，t=，S=，當(dāng)ARBC時(shí)，t=，S=，當(dāng)BRAC時(shí)，t=，S=（3）分兩種情況：一、0t4，H在E點(diǎn)左側(cè)；易知RH=t，HE=4t，故S=RHHE=t（4t）=t2+2t；二、t4，H在E點(diǎn)右側(cè)；易知RH=t，HE=t4，故S=RHHE=t（t4）=t22t；若以A、B、C、R為頂點(diǎn)的四邊

42、形是梯形，分三種情況：一、CRAB；此時(shí)R、M重合，由C（4，1），D（3，4），可求得直線CD：y=3x+13；當(dāng)x=y時(shí)，3x+13=x，解得x=；即M（即R）點(diǎn)橫坐標(biāo)為，H（，0）；故t=，代入S=t2+2t（0t4）可得S=；同理可求得：二、ARBC時(shí)，t=，S=；三、BRAC時(shí)，t=，S=；綜合可得：S=t2+2t（0t4）；（1分）S=t22t（t4）（1分）當(dāng)CRAB時(shí)，t=，（1分）S最大=；（1分）當(dāng)ARBC時(shí)，t=，S最大=；（1分）當(dāng)BRAC時(shí)，t=，S最大=（1分）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，正確求得函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵15（2013歷下區(qū)

43、二模）如圖，平行四邊形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AD=6，若OA、OB的長是關(guān)于x的一元二次方程x27x+12=0的兩個(gè)根，且OAOB（1）求的值（2）若E為x軸上的點(diǎn)，且SAOE=，求經(jīng)過D、E兩點(diǎn)的直線的解析式，并判斷AOE與DAO是否相似？（3）若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線AB上是否存在點(diǎn)F，使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；解一元二次方程-因式分解法；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：綜合題；壓軸題分析：（1）解一元二次方程求出OA，OB的長度，再利用

44、勾股定理求出AB的長度，再代入計(jì)算即可；（2）先根據(jù)三角形的面積求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解直線的解析式；分別求出兩三角形夾直角的兩對(duì)應(yīng)邊的比，如果相等，則兩三角形相似，否則不相似；（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分AC與AF是鄰邊并且點(diǎn)F在射線AB上與射線BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對(duì)角線的情況分別進(jìn)行求解計(jì)算解答：解：（1）x27x+12=0，（x3）（x4）=0，x3=0，x4=0，解得x1=3，x2=4，OAOB，OA=4，OB=3，在AOB中，AB=5，sinABC=；（2）根據(jù)題意，設(shè)E（x，0），則SAOE=×OA

45、×x=×4x=，解得x=，E（，0）或（，0），四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（6，4），設(shè)經(jīng)過D、E兩點(diǎn)的直線的解析式為y=kx+b，則，解得 ，解析式為y=x；，解得，解析式為：y=x+，在AOE與DAO中，=，=，=，又AOE=OAD=90°，AOEDAO；（3）根據(jù)計(jì)算的數(shù)據(jù)，OB=OC=3，AO平分BAC，AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線AB上時(shí)，AF=AC=5，所以點(diǎn)F與B重合，即F（3，0），AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線BA上時(shí)，M應(yīng)在直線AD上，且FC垂直平分AM，點(diǎn)F（3，8）AC是對(duì)角線時(shí)，做AC垂直平分線L，AC解析式為y=x+4，直線

46、L過（，2），且k值為（平面內(nèi)互相垂直的兩條直線k值乘積為1），L解析式為y=x+，聯(lián)立直線L與直線AB求交點(diǎn)，F(xiàn)（，），AF是對(duì)角線時(shí)，過C做AB垂線，垂足為N，根據(jù)等積法求出CN=，勾股定理得出，AN=，做A關(guān)于N的對(duì)稱點(diǎn)即為F，AF=，過F做y軸垂線，垂足為G，F(xiàn)G=×=，F(xiàn)（，）綜上所述，滿足條件的點(diǎn)有四個(gè)：F1（3，0）；F2（3，8）；F3（，）；F4（，）點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程，相似三角形的性質(zhì)與判定，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，綜合性較強(qiáng)，（3）求點(diǎn)F要根據(jù)AC與AF是鄰邊與對(duì)角線的情況進(jìn)行討論，不要漏解16（2013懷遠(yuǎn)縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐

47、標(biāo)是（0，3），點(diǎn)A的坐標(biāo)是（8，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），P、Q分別是x、y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從C出發(fā)，在線段CB上以1個(gè)單位/秒的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q從A出發(fā)，在線段AO上以2個(gè)單位/秒的速度向點(diǎn)O 移動(dòng)設(shè)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ平分四邊形OABC的面積？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PQOB？（3）當(dāng)t為何值時(shí)，PQAB？（4）當(dāng)t為何值時(shí)，OPQ是等腰三角形？考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；解一元二次方程-公式法；等腰三角形的性質(zhì)；梯形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型分析：點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），則一定有BCOA

48、則四邊形ABCO是直角梯形（1）PQ平分四邊形OABC的面積，則四邊形OQPC的面積即可求解，且這個(gè)四邊形的直角梯形或矩形，據(jù)此即可得到一個(gè)關(guān)于t的方程，即可求解；（2）PMQBCO時(shí)，PQOB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求得t的值；（3）當(dāng)PQAB時(shí)，四邊形ABPQ是平行四邊形，即BP=AQ，據(jù)此即可求解；（4）當(dāng)OP=PQ時(shí)，作PFOA于F，則OF=QF，根據(jù)勾股定理即可求解解答：解：（1）由題意可知BCOA，BC=4，OA=8，OC=3梯形OABC的面積=×（4+8）×3=18當(dāng)PQ平分四邊形OABC的面積時(shí)×（t+82t）×3=9解得t=

49、2即當(dāng)t=2時(shí)，PQ平分四邊形OABC的面積（3分）（2）當(dāng)PQOB時(shí)，作PMOA于點(diǎn)M，易證PMQBCO=，=解得：t=即：當(dāng)t=時(shí)，PQOB（6分）（3）當(dāng)PQAB時(shí)，BP=AQ4t=2t解得t=即當(dāng)t=時(shí)，PQAB（9分）（4）當(dāng)OP=PQ時(shí)，作PFOA于F則OF=QF4t=8t=2OP=OQ時(shí)，32+t2=（82t）2解得t1=（不合題意，舍去）t2=t=當(dāng)QO=QP時(shí)32+（83t）2=（82t）2解得t1=t2=綜上所述：當(dāng)t=2或t=或t=或t=時(shí)，OPQ是等腰三角形點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行四邊形，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，正確理解平行四邊形的判定方法，從而把問題轉(zhuǎn)化為方

50、程問題是解題的關(guān)鍵17（2013紅橋區(qū)一模）已知AOB=90°，OM是AOB的平分線，將一個(gè)直角RPS的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，點(diǎn)P不與點(diǎn)O重合（1）如圖，當(dāng)直角RPS的兩邊分別與射線OA、OB交于點(diǎn)C、D時(shí)，請(qǐng)判斷PC與PD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖，在（1）的條件下，設(shè)CD與OP的交點(diǎn)為點(diǎn)G，且，求的值；（3）若直角RPS的一邊與射線OB交于點(diǎn)D，另一邊與直線OA、直線OB分別交于點(diǎn)C、E，且以P、D、E為頂點(diǎn)的三角形與OCD相似，請(qǐng)畫出示意圖；當(dāng)OD=1時(shí)，直接寫出OP的長考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形全等的判定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：綜合題；壓軸題；分類

51、討論分析：（1）PC與PD的數(shù)量關(guān)系是相等如圖過點(diǎn)P作PHOA，PNOB，垂足分別為點(diǎn)H、N，根據(jù)OM是AOB的平分線可以得到PH=PN，又AOB=90°，易得HPN=90°，由此得到1+CPN=90°，最后得到1=2，現(xiàn)在可以證明PCHPDN，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以證明PC=PD；（2）根據(jù)（1）可以得到3=45°，而POD=45°，所以PODPDG，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和已知條件就可以求出GD：OD的值；（3）有兩種情況如圖1所示，若PR與射線OA相交，根據(jù)以P、D、E為頂點(diǎn)的三角形與OCD相似可以得到CEO=CDO，從而CE=CD，而OCDE，所以O(shè)E=OD，而EPD=90°，則OP=1；如圖2所示，若PR與直線OA的交點(diǎn)C與點(diǎn)A在點(diǎn)O的兩側(cè)，過P作PHOA，PNOB，垂足分別為H，N，PDEEDC，可以證明PDEODC，由此得到PDE=ODCOECPED，PDE=HCP；而PH=PN，RtPHCRtPND，HC=ND