蘇教版必修四 平面向量向量的坐標表示2 平面向量的坐標運算學案含答案

1、高中數(shù)學平面向量的坐標運算一、考點突破知識點課標要求題型說明平面向量的坐標運算1. 理解平面向量的坐標的概念，會寫給定向量的坐標；2. 會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算；3. 理解用坐標表示的平面向量共線的條件；4. 會根據(jù)平面向量的坐標判斷向量是否共線填空向量的坐標運算是向量重要的內(nèi)容，它實現(xiàn)了從向量向代數(shù)的轉(zhuǎn)化，尤其是兩向量平行的坐標化判定應用廣泛二、重難點提示重點：平面向量的加、減、數(shù)乘的坐標運算；難點：平面向量平行條件的理解。考點一：平面向量的坐標表示及坐標運算（1）平面向量的坐標表示：在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面上的向

2、量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對有序?qū)崝?shù)x，y，使得axiyj，則把有序?qū)崝?shù)對（x，y）稱為向量a的（直角）坐標，記作a（x，y）。（2）平面向量的坐標運算已知向量a（x1，y1），b（x2，y2）和實數(shù)，那么ab（x1x2，y1y2），ab（x1x2，y1y2），a（x1，y1）；已知A（x1，y1），B（x2，y2），O為坐標原點，則（x2，y2）（x1，y1）（x2x1，y2y1），即一個向量的坐標等于該向量終點的坐標減去起點的坐標?！疽c詮釋】向量的坐標運算（1）向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標。（2）解題過程中

3、要注意方程思想的運用及正確使用運算法則?！竞诵耐黄啤奎c的坐標與向量的坐標的區(qū)別和聯(lián)系 在直角坐標平面內(nèi)，以原點為起點的向量也叫位置向量。位置向量，點A的位置被向量唯一確定，此時A的坐標與向量的坐標統(tǒng)一為； 相等向量的坐標是相同的，但起點、終點坐標可以不同，如A（3，5），B（6，8），（3，3）；若C（5，3），D（2，6），（3，3），顯然四點坐標各不相同。【重要提示】向量的坐標的作用利用向量的坐標表示，可把向量問題中的幾何屬性代數(shù)化，使問題的解決達到程序化，從而降低了思維難度，有利于問題的解決。考點二：平面平行的坐標表示設向量a（x1，y1），b（x2，y2）（a0），如果ab，那么x1y

4、2x2y10；反過來，如果x1y2x2y10，那么ab?！竞诵臍w納】兩個向量共線條件的表示方法已知a（x1，y1），b（x2，y2），（1）當b0時，ab；（2）x1y2x2y10；（3）當x2y20時，即兩向量的相應坐標成比例。【重要提示】利用向量平行的坐標表示，可以解決三點共線問題?！倦S堂練習】已知向量（k，12），（4，5），（10，k），若A，B，C三點共線，則實數(shù)k_。思路分析：把三點共線轉(zhuǎn)化為向量平行，然后利用共線定理的坐標形式轉(zhuǎn)化為關于k的方程。答案：由題意得（4k，7），（6，k5），與共線，（4k）×（k5）6×（7）0，解得k2或11。技巧點撥：兩向量共

5、線定理的坐標形式實現(xiàn)了三點共線向方程的轉(zhuǎn)化，即“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化。例題1 （向量的坐標表示）在直角坐標系xOy中，向量a，b，c的方向如圖所示，且|a|2，|b|3，|c|4，分別計算出它們的坐標。思路分析：利用三角函數(shù)求出各向量在x軸、y軸上的分量的模的大小，以此確定向量的橫、縱坐標。答案：設a（a1，a2），b（b1，b2），c（c1，c2），則a1|a|cos 45°2×，a2|a|sin 45°2×，b1|b|cos 120°3×（），b2|b|sin 120°3×，c1|c|cos（30°）4

6、×，c2|c|sin（30°）4×（）2，因此a（，），b（，），c（，2）。技巧點撥：1. 向量的坐標等于終點的坐標減去起點的相應坐標，只有當向量的起點在坐標原點時，向量的坐標才等于終點的坐標。2. 求向量的坐標一般要轉(zhuǎn)化為求點的坐標，解題時常常結(jié)合幾何圖形，利用三角函數(shù)的定義和性質(zhì)進行計算。例題2 （平面向量的坐標運算）（1）若a（1，3），b（2，4），c（0，5），則3abc_。（2）已知三點A（2，1），B（3，4），C（2，0），試求向量3，2。思路分析：（1）中分別給出了兩向量的坐標，可根據(jù)向量的直角坐標運算法則進行運算。（2）中給出了點的坐標，可運

7、用終點坐標減去起點坐標得到相應向量的坐標，然后再進行運算。答案：（1）a（1，3），b（2，4），c（0，5），3abc3（1，3）（2，4）（0，5）（3，9）（2，4）（0，5）（320，945）（5，8）。（2）A（2，1），B（3，4），C（2，0），（3，4）（2，1）（1，5），（2，1）（2，0）（4，1），（2，0）（3，4）（5，4），33（1，5）（4，1）（5，），2（5，4）2（1，5）（7，14）。技巧點撥：平面向量坐標的線性運算的方法：（1）若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運算法則進行運算。（2）若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標

8、，然后再進行向量的坐標運算。（3）向量的線性坐標運算可完全類比數(shù)的運算進行。例題3 （向量平行的坐標表示）（1）已知四點坐標A（1，1），B（1，5），C（2，1），D（4，11），請判斷直線AB與CD是否平行？（2）已知向量（k，12），（4，5），（10，k），當k為何值時，A，B，C三點共線？思路分析：（1）判斷判斷點A是否在直線CD上結(jié)論。（2）求A，B，C三點共線時k的值，則一定有成立，先求，再列方程組求解k。答案：（1）因為（2，4），（4，11）（1，1）（5，10），（2，1）（1，1）（1，2），所以2，5，所以，由于與，有共同的起點A，所以A，B，C，D四點共線，因此直線A

9、B與CD重合。（2）（4k，7），（10k，k12），若A，B，C三點共線，則，（4k）（k12）7×（10k），解得k2或11，當k2或11時，A，B，C三點共線。技巧點撥：1. 對于根據(jù)向量共線的條件求值的問題，一般有兩種處理思路，一是利用共線向量定理ab（b0）列方程組求解，二是利用向量共線的坐標表達式x1y2x2y10直接求解。2. 利用x1y2x2y10求解，解決向量共線問題的優(yōu)點在于不需要引入?yún)?shù)“”，從而減少未知數(shù)個數(shù)，而且使問題的解決具有代數(shù)化的特點及程序化的特征。充分利用向量共線解決求值問題【例證】已知AOB中，O（0，0），A（0，5），B（4，3），AD與BC交于點M，求點M的坐標。思路分析：由已知條件易求得點C，D的坐標，再由點M是AD與BC的交點，即A，M，D三點共線與B，M，C三點共線可得到以點M的坐標為解的方程組，解方程組即可。答案：點O（0，0），A（0，5），B（4，3），（0，5），（4，3），（0，），點C的坐標為（0，），同理可得D（2，），設點M（x，y），則（x，y5），A，M，D共線，與共線