超越復(fù)數(shù)的三元數(shù)

1、超越復(fù)數(shù)的三元數(shù) 從復(fù)平面到三維數(shù)空間河北省武安市駢山中學(xué)白爍星韓江燕摘要：本文通過引入空間直角坐標(biāo)系，從清晰、簡(jiǎn)明的解析原理出發(fā)，利用數(shù)形合一的數(shù)學(xué)思想，建立了空間數(shù)系的理論。作者在文中闡述了三元數(shù)運(yùn)算的一般法則及重要性質(zhì)，并給出以下有趣結(jié)論：一、一般地，一個(gè)三元數(shù)的n次方根有n個(gè)，分布在空間中與復(fù)平面成某一角度的一個(gè)圓上。二、任一給定三元數(shù)可求其指數(shù)函數(shù)。特別地，歐拉公式是三元數(shù)理論中的一個(gè)特例。關(guān)鍵詞：三元數(shù)；數(shù)平面；數(shù)空間；根；方程中圖分類號(hào)：0153.5   泛代數(shù) 一、引言 自從認(rèn)識(shí)到復(fù)數(shù)運(yùn)算等同于平面上一種點(diǎn)的演算體系，就有數(shù)學(xué)家提出這一問

2、題：能不能找到一種空間數(shù)系，其中每一個(gè)三元數(shù)對(duì)應(yīng)于空間中的一個(gè)點(diǎn)？首先數(shù)學(xué)家們希望新數(shù)系能盡可能多地保留復(fù)數(shù)的優(yōu)美性質(zhì)，并與原有代數(shù)理論保持和諧一致，同時(shí)，人們自然也期望在新數(shù)系中能發(fā)現(xiàn)一些以前不曾有的東西。本篇論文恰好回答了上述問題。 二、三元數(shù)的概念與表示法 1.三元數(shù)的概念1.1 定義      1.2 三元數(shù)  形如的數(shù)叫做三元數(shù)。三元數(shù)通常用一個(gè)字母來表示，即全體三元數(shù)構(gòu)成的集合叫做三元數(shù)集，用字母A來表示。1.3 三元數(shù)相等的條件若（）則特別地，1.4 三元數(shù)空間建立了空間直角坐標(biāo)系來表示三元數(shù)的空間叫做三元數(shù)空間，簡(jiǎn)稱數(shù)

3、空間。于是：實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)實(shí)軸上的點(diǎn)；復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)；三元數(shù)一一對(duì)應(yīng)數(shù)空間內(nèi)點(diǎn)2.三元數(shù)的表示2.1 三元數(shù)的代數(shù)形式三元數(shù)叫做三元數(shù)的代數(shù)形式。2.2 三元數(shù)的幾何表示三元數(shù)的點(diǎn)表示   三元數(shù)空間內(nèi)的點(diǎn)表示三元數(shù)。三元數(shù)的向量表示   三元數(shù)可以用向量來表示，三元數(shù)集A與三元數(shù)空間內(nèi)所有以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的向量所組成的集合一一對(duì)應(yīng)（實(shí)數(shù)0與零向量對(duì)應(yīng)），即三元數(shù)一一對(duì)應(yīng)空間向量2.3 三元數(shù)的三角形式 三元數(shù)的模  與三元數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模（即有向線段OP的長(zhǎng)度）r叫做三元數(shù)的模（或絕對(duì)值）。記作或，易知三元數(shù)模的幾何意義是：三元

4、數(shù)在數(shù)空間內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。三元數(shù)的輻角與傾角   數(shù)空間可看作復(fù)平面繞x軸旋轉(zhuǎn)而成，x軸與空間點(diǎn)可唯一確定一個(gè)平面，該平面與復(fù)平面的夾角稱三元數(shù)的傾角，平面稱傾角為的數(shù)平面，特別地，復(fù)平面是傾角為O的數(shù)平面，無數(shù)個(gè)數(shù)平面形成了數(shù)空間。當(dāng)點(diǎn)落在x軸上時(shí)，傾角值不定，也就是說：實(shí)數(shù)的傾角值不定。以x軸的正半軸為始邊，向量所在的射線（起點(diǎn)是O）為終邊的角，叫做三元數(shù)的輻角，記做。輻角的主值   在區(qū)間內(nèi)的輻角的值，叫做輻角的主值，記作,即0arg p。非0三元數(shù)的輻角有無限多個(gè)值，但輻角的主值只有一個(gè)，三元數(shù)0的輻角不定。三元數(shù)的三角形式 &

5、#160; 三元數(shù)可以表示成叫做三元數(shù)的三角形式。說明:三元數(shù)的代數(shù)形式是唯一的,但三角形式不是唯一的。代數(shù)形式與相對(duì)應(yīng)的三角形式的互化公式：；求r：；求：一般地，時(shí)，；時(shí)，值不定；求：由點(diǎn)的所在象限及共同確定（一般取最小正角）。例1：求的三角形式解：；由知角位于第一象限，又，,得；所以數(shù)的三角形式為： 三、三元數(shù)的運(yùn)算 三元數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算    說明：三元數(shù)的加法與乘法滿足交換律以及乘法對(duì)加法的分配律。一般地，當(dāng)且僅當(dāng)三個(gè)三元數(shù)在同一個(gè)數(shù)平面上時(shí)，它們的乘法滿足結(jié)合律。由于復(fù)平面是傾角為0的數(shù)平面，所以同在復(fù)平面上的三個(gè)數(shù)總是滿足結(jié)合律。

6、在復(fù)平面上成立的結(jié)論，在其它數(shù)平面上也成立。關(guān)于兩個(gè)三元數(shù)如何作除法運(yùn)算，可依三元數(shù)相等的定義及乘法公式求得。例1：已知，求解：依定義，例2：已知，求：解：令則有 即聯(lián)立方程組得：  對(duì)方程組求解得所以 這顯然與例1的結(jié)論一致。例3：已知，求的倒數(shù)=？解：依倒數(shù)的定義，設(shè)是的倒數(shù)，則有 即聯(lián)立方程組得：對(duì)方程組求解得：所以的倒數(shù)為注意到，不難發(fā)現(xiàn)在復(fù)數(shù)理論中的倒數(shù)顯然是，這里，三元數(shù)理論與復(fù)數(shù)理論也保持了驚人的一致。三元數(shù)加減法的幾何意義三元數(shù)的加法滿足平行四邊形法則，減法滿足三角形法則。一個(gè)向量對(duì)應(yīng)的三元數(shù)，等于終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的三元數(shù)減去起點(diǎn)對(duì)應(yīng)的三元數(shù)。三元數(shù)與復(fù)數(shù)及實(shí)數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別。

7、復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的擴(kuò)充,三元數(shù)是復(fù)數(shù)的擴(kuò)充,要特別注意三元數(shù)與復(fù)數(shù)及實(shí)數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別。實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng),三元數(shù)與數(shù)空間內(nèi)的點(diǎn)、數(shù)空間內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng)。兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小,有關(guān)不等式的一些性質(zhì)僅限于實(shí)數(shù)集中成立。三元數(shù)的模是實(shí)數(shù)及復(fù)數(shù)絕對(duì)值的擴(kuò)充,實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)的絕對(duì)值是三元數(shù)模的特例，因此,三元數(shù)模的所有性質(zhì)對(duì)實(shí)數(shù)絕對(duì)值都成立,，而實(shí)數(shù)絕對(duì)值的一些性質(zhì)對(duì)三元數(shù)模則不一定成立。，在為實(shí)數(shù)時(shí)表示兩個(gè)點(diǎn)，在為復(fù)數(shù)時(shí)表示單位圓，在為三元數(shù)時(shí)表示單位球。實(shí)數(shù)集對(duì)加、減、乘、除、乘方運(yùn)算封閉；復(fù)數(shù)集與三元數(shù)集對(duì)加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)

8、算封閉。一元次方程在復(fù)數(shù)集中有且僅有個(gè)根，在三元數(shù)集中，一元次方程可以有多于個(gè)的根，甚至有無窮多個(gè)根存在。三元數(shù)三角形式的運(yùn)算1.     三元數(shù)的乘方   三元數(shù)的次冪的模等于這個(gè)三元數(shù)的模的次冪，它的輻角等于這個(gè)三元數(shù)的輻角的倍，而傾角不變。特別地，當(dāng)時(shí)得：此即復(fù)平面上的棣莫佛定理，在這里成為了三元數(shù)乘方的一個(gè)特例。2.     三元數(shù)的開方  三元數(shù)的次方根是注意：一般地（指不為實(shí)數(shù)時(shí)），三元數(shù)總有固定的傾角，這時(shí)三元數(shù)的次方根是個(gè)三元數(shù)，它們的模等于這個(gè)三元數(shù)的模的次算術(shù)根，它

9、們的輻角分別等于這個(gè)三元數(shù)的輻角與的0，1，2，-1倍的和的分之一，而傾角不變。為實(shí)數(shù)時(shí)，傾角值不定，需解參數(shù)方程：例1：求-1的平方根=？解： 設(shè)是-1的平方根，依定義，即 聯(lián)立方程組得：求之得即其中。解： 先將-1化成三角形式再利用參數(shù)方程顯然，不論k=0,1,均有這與解的結(jié)論一致。易知-1的平方根是它的幾何意義是數(shù)空間中以原點(diǎn)為圓心，垂直于復(fù)平面，在平面yoz上的單位圓，其與復(fù)平面的交點(diǎn)恰好是i與-i兩個(gè)點(diǎn)，-1在復(fù)平面上有且僅有兩個(gè)根，在數(shù)空間中卻有整整一個(gè)圓的根存在。這是給出定義，時(shí)所不曾預(yù)料的事情！需要指出的是：求一個(gè)三元數(shù)的次方根，當(dāng)=2時(shí)，勉強(qiáng)可利用定義解代數(shù)方程求得，當(dāng)n較大

10、時(shí)，用三元數(shù)的三角形式求解較為簡(jiǎn)單。三元數(shù)開方的幾何意義一般地，三元數(shù)（指不為實(shí)數(shù)時(shí)）開次方的個(gè)根在數(shù)空間內(nèi)所對(duì)應(yīng)的個(gè)點(diǎn)均勻地分布在以原點(diǎn)為圓心，為半徑，與復(fù)平面的傾角為的數(shù)空間中的一個(gè)圓上。當(dāng)然，當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，其次方根的幾何意義依然可利用三元數(shù)的求方根公式進(jìn)行討論，讀者不妨自行一試。 四、三元數(shù)與方程 1.先研究形如的一元一次方程，這里，則有依定義相乘得三元一次方程組：只需研究行列式：由線性方程組知識(shí)：當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解，從而解方程組后可求。注意到，所以只需要求，方程即可得解，詳細(xì)過程在此不多述。2.再來研究形如的二項(xiàng)方程由于三元數(shù)運(yùn)算一般不滿足結(jié)合律，這里必須首先明確運(yùn)

11、算順序：應(yīng)先作乘方運(yùn)算，再作乘法運(yùn)算，與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一致。首先令問題轉(zhuǎn)換為：而限制，由前面知識(shí)知唯一可求。在求得唯一解后，問題轉(zhuǎn)化為：，而求解一個(gè)已知三元數(shù)的次方根，顯然可利用前面所講的三元數(shù)求方根公式予以解決之。于是當(dāng)時(shí)，可以順利解出形如的二項(xiàng)方程。 五、三元數(shù)函數(shù)的簡(jiǎn)單推廣及綜合評(píng)論 通過引入定義；現(xiàn)在已能對(duì)兩個(gè)三元數(shù)作加、減、乘、除等四則運(yùn)算，對(duì)單個(gè)三元數(shù)可進(jìn)行乘方、開方的運(yùn)算，這都屬于初等數(shù)學(xué)中代數(shù)運(yùn)算的范疇，下面對(duì)三元數(shù)函數(shù)作一簡(jiǎn)單推廣，研究如何求得任一給定三元數(shù)的指數(shù)函數(shù)。定義：  先研究的指數(shù)函數(shù)，將帶入并整理得   

12、                        可以給出嚴(yán)格的證明，在整個(gè)數(shù)空間內(nèi)是收斂的。令，在中即可得到此即著名的歐拉公式，這里可以從三元數(shù)理論中推導(dǎo)得出，從而是三元數(shù)理論中的一個(gè)特例。當(dāng)時(shí)，代入得：              

13、0;    此即求任一三元數(shù)指數(shù)函數(shù)的公式。例1：已知，求解：先將化成三角形式代入公式得   站在更高的角度，可以觀察到數(shù)學(xué)在更高層次上的統(tǒng)一，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與極坐標(biāo)的統(tǒng)一，三元數(shù)的代數(shù)形式與球坐標(biāo)的統(tǒng)一。丘成桐先生說的好！我們發(fā)展一個(gè)一般理論，其目的并不是為了服務(wù)于其它學(xué)科，而是基于它自身的完美以及達(dá)到和諧統(tǒng)一。數(shù)學(xué)公式雖然常用來進(jìn)行計(jì)算，但其更根本的作用則是首先闡明了各個(gè)變量之間的關(guān)系。偉大的數(shù)學(xué)公式總是簡(jiǎn)潔、優(yōu)雅而和諧，猶如數(shù)學(xué)王國(guó)中的金字塔，具有震撼人心的、雕塑般的、永恒的美！ 六、三元數(shù)數(shù)學(xué)思想的源由及重要定理&#

14、160;復(fù)數(shù)演算同化于平面上點(diǎn)的一種演算體系，當(dāng)這個(gè)觀念一出現(xiàn)，就有一些數(shù)學(xué)家提出這樣的問題：關(guān)于空間中的點(diǎn)有沒有類似的演算體系？許多數(shù)學(xué)家對(duì)此進(jìn)行了深入的探討，其中對(duì)數(shù)系理論貢獻(xiàn)最大的當(dāng)屬19世紀(jì)英國(guó)的數(shù)學(xué)家哈密頓，哈密頓已經(jīng)想到在形式上兩個(gè)三元數(shù)自然應(yīng)該是，令，則有由于每個(gè)復(fù)數(shù)都有模與之相聯(lián)系，且復(fù)數(shù)的乘法滿足“模律”：取得    實(shí)際上式是七世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家波羅摩笈多早已發(fā)現(xiàn)過的東西。哈密頓進(jìn)而將三元數(shù)與長(zhǎng)度聯(lián)系起來，他要求三元數(shù)也必須滿足模律：即則有         &

15、#160;         經(jīng)過試算驗(yàn)證，當(dāng)然，一般地，式并不成立，于是哈密頓最終放棄了對(duì)三元數(shù)的研究，在數(shù)學(xué)史上，哈密頓是以四元數(shù)理論得以名傳后世的，筆者在此不再贅述。令人遺憾的是：哈密頓其實(shí)離成功只有一步之遙。象他這樣的數(shù)學(xué)家應(yīng)當(dāng)明白：如果一個(gè)數(shù)學(xué)命題在一般情形下不成立，那就應(yīng)該進(jìn)一步去研究，在某些限定的條件下，該命題是否成立，而這恰是解決問題的關(guān)鍵。下面對(duì)式的左邊展開，進(jìn)一步變形整理得：          &#

16、160;        顯然，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，式成立，也即“模律定理”成立。由、式即得到三元數(shù)理論中最重要的一個(gè)定理，稱之為“模律定理”。注意到，由空間解析幾何知識(shí)知，此條件表示一個(gè)經(jīng)過x軸的平面的代數(shù)方程，也即三元數(shù)理論中一個(gè)數(shù)平面的方程，據(jù)此，模律定理可敘述為：兩個(gè)三元數(shù)的積的模，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)三元數(shù)在同一個(gè)數(shù)平面上時(shí)，等于兩個(gè)三元數(shù)的模的積。由于所有的復(fù)數(shù)都位于傾角為0的數(shù)平面復(fù)平面上，當(dāng)然復(fù)數(shù)滿足“模律定理”。不僅如此，進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)，一般地，當(dāng)且僅當(dāng)三元數(shù)在同一個(gè)數(shù)平面上時(shí)，它們的乘法滿足結(jié)合律。新數(shù)系并不能在一般的意

17、義上滿足結(jié)合律，但新數(shù)系理論正確指出了滿足什么樣的條件，哪一類的數(shù)就可以滿足結(jié)合律。最后得出結(jié)論，只需將建立空間直角坐標(biāo)系來表示三元數(shù)的數(shù)空間看作是由無數(shù)個(gè)數(shù)平面所組成，原本紛亂的局面就立即變得和諧、簡(jiǎn)單、有序。中學(xué)數(shù)學(xué)課本中對(duì)數(shù)學(xué)的介紹很容易使人產(chǎn)生這種印象：學(xué)生們所學(xué)的課程是理所當(dāng)然的正確，邏輯清楚、敘述嚴(yán)密，似乎數(shù)學(xué)家在創(chuàng)立它時(shí)沒有遇到任何困難，自然而然地建立了各種定理。初等數(shù)學(xué)作為數(shù)學(xué)大廈的外殼，似乎已足夠堅(jiān)固，堅(jiān)固到后人已難以再在其上添加哪怕一粒的小石子，這些課程經(jīng)過千錘百煉，好象完全已成定局。波瀾壯闊的數(shù)學(xué)史卻形成鮮明的對(duì)比，它教導(dǎo)我們，一個(gè)科目的發(fā)展，是由匯集不同方面的成果點(diǎn)滴積

18、累而成的。我們也知道，常常需要幾十年，甚至幾百年的努力才能邁出有意義的幾步。不但這些科目并未錘煉成無縫的天衣，就是那已經(jīng)取得的成就，也常常只是一個(gè)開始，許多缺陷有待填補(bǔ)，或者真正重要的擴(kuò)展還有待創(chuàng)造。中學(xué)數(shù)學(xué)課本中斟字酌句的敘述，未能表現(xiàn)出創(chuàng)造過程中的斗爭(zhēng)、挫折，以及在建立一個(gè)可觀的結(jié)構(gòu)之前，數(shù)學(xué)家所經(jīng)歷的艱苦漫長(zhǎng)的道路。事實(shí)上，數(shù)學(xué)家的研究工作總是在跌跤中不斷爬起，在迷霧中不斷摸索前行，最后才零零碎碎地得到一份屬于自己的甜美果實(shí)。數(shù)系的研究歷程也正是如此。在數(shù)學(xué)史上，復(fù)數(shù)曾長(zhǎng)時(shí)間的飽受非議，使數(shù)學(xué)家最終相信復(fù)數(shù)的不是邏輯，而是威塞爾、阿爾剛和高斯等人給出的幾何表示。由于三元數(shù)也有一個(gè)直觀的幾何模型，且能支持函數(shù)理論的發(fā)展，所以三元數(shù)也有資格被稱之為“數(shù)。尤其值得一提的是：三元數(shù)理論的研究尚遠(yuǎn)未達(dá)到頂峰，它提出了一系列棘手而迷