選修22定積分學(xué)案

1、1.5 定積分的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)與技能：1.通過(guò)求曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，了解定積分的背景；2.借助于幾何直觀體會(huì)定積分的基本思想，了解定積分的概念，能用定積分法求簡(jiǎn)單的定積分3.理解掌握定積分的幾何意義和性質(zhì)；過(guò)程與方法：通過(guò)問(wèn)題的探究體會(huì)逼近、以直代曲的數(shù)學(xué)思想方法。情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)分割、逼近的觀點(diǎn)體會(huì)定積分的來(lái)歷，從本質(zhì)上理解定積分的幾何意義，從而激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：定積分的概念、用定義求簡(jiǎn)單的定積分、定積分的幾何意義學(xué)習(xí)難點(diǎn)：定積分的概念、定積分的幾何意義學(xué)習(xí)過(guò)程：?jiǎn)栴}曲邊梯形的面積思考：（1）曲邊梯形與“直邊圖形”的區(qū)別？ （2）能否將求這個(gè)曲邊梯形面積S

2、的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”面積的問(wèn)題？分析：曲邊梯形與“直邊圖形”的主要區(qū)別：曲邊梯形有一邊是曲線段，“直邊圖形”的所有邊都是直線段“以直代曲”的思想的應(yīng)用例如：求圖中陰影部分是由拋物線，直線以及軸所圍成的平面圖形的面積S。解：（1）分割在區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間：，記第個(gè)區(qū)間為，其長(zhǎng)度為分別過(guò)上述個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線，從而得到個(gè)小曲邊梯形，他們的面積分別記作：，顯然，（2）近似代替記，如圖所示，當(dāng)很大，即很小時(shí)，在區(qū)間上，可以認(rèn)為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似的等于左端點(diǎn)處的函數(shù)值，從圖形上看，就是用平行于軸的直線段近似的代替小曲邊梯形的曲邊（如圖）這樣

3、，在區(qū)間上，用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內(nèi)“以直代曲”，則有（3）求和由，上圖中陰影部分的面積為= = = = 從而得到的近似值= （4）取極限分別將區(qū)間等分8，16，20，等份（如圖），可以看到，當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí)，即趨向于0時(shí)，趨向于，從而有事實(shí)上，許多問(wèn)題都可以歸結(jié)為求這種特定形式和的極限定積分的概念一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn),作和式：當(dāng)時(shí)，上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分。記為：，即=其中函數(shù)叫做，叫做變量，叫做，區(qū)間為區(qū)間，叫做積分，叫做積分。說(shuō)明：（1）定積分是一個(gè)常數(shù)；（2）用定義求定積分的一般方

4、法是：分割：等分區(qū)間；近似代替：取點(diǎn)；求和：；取極限；（3）曲邊圖形面積：；變速運(yùn)動(dòng)路程.根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：性質(zhì)1（其中k是不為0的常數(shù)）（定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)2（定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)3（定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性）說(shuō)明：推廣：推廣:課堂練習(xí)1、定積分（常數(shù)）的幾何意義是2、由，所圍成圖形的面積寫(xiě)成定積分的形式是3、定積分的大小（） A、與和積分區(qū)間有關(guān)，與的取法無(wú)關(guān)B、與有關(guān)，與區(qū)間及的取法無(wú)關(guān)C、與和的取法有關(guān)，與積分區(qū)間無(wú)關(guān)D、與、區(qū)間和的取法都有關(guān)4、下列等式或不等式成立的個(gè)數(shù)是（）A、1 B、2 C、3 D、45、計(jì)算下列定積分（1）；（2）；（3）（）；

5、（4）其中.*6、思考題：你能使用定積分計(jì)算出橢圓的面積嗎？（由解出橢圓在軸上方部分曲線的函數(shù)表達(dá)式（此時(shí)），然后根據(jù)定積分性質(zhì)1以及上面第5題（3）的結(jié)果可求出橢圓在軸上方部分的面積）1.6微積分基本定理學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)與技能目標(biāo)：通過(guò)實(shí)例，直觀了解微積分基本定理的含義，會(huì)用牛頓萊布尼茲公式求簡(jiǎn)單的定積分。過(guò)程與方法：通過(guò)實(shí)例體會(huì)用微積分基本定理求定積分的方法。情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)微積分基本定理的學(xué)習(xí)，體會(huì)事物間的相互轉(zhuǎn)化、對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，培養(yǎng)辯證唯物主義觀點(diǎn)，提高理性思維能力。學(xué)習(xí)重難點(diǎn)重點(diǎn)：通過(guò)探究變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度與位移的關(guān)系，直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確運(yùn)用基本定理計(jì)

6、算簡(jiǎn)單的定積分。難點(diǎn)：了解微積分基本定理的含義學(xué)習(xí)過(guò)程我們講過(guò)用定積分定義計(jì)算定積分,但其計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜，所以不是求定積分的一般方法。我們必須尋求計(jì)算定積分的新方法，也是比較一般的方法。問(wèn)題：變速直線運(yùn)動(dòng)中位移函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系：設(shè)一物體沿直線作變速運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻時(shí)物體所在位置為,速度為（），則物體在時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程的計(jì)算可用兩種方法：方法一：可用速度函數(shù)表示為；方法二：這段路程還可以通過(guò)位移函數(shù)在上的增量來(lái)表達(dá)。那么我們有而位移函數(shù)與速度函數(shù)的關(guān)系為，上式可寫(xiě)為定義：如果在區(qū)間上，函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即對(duì)任意有則稱(chēng)是在上的一個(gè)原函數(shù)。如上例中位移函數(shù)便是速度函數(shù)的原函數(shù)。問(wèn)題：對(duì)于

7、一般的連續(xù)函數(shù)，設(shè)，是否也有？微積分基本定理一般地，如果是區(qū)間上的函數(shù)，并且，則該公式又叫做。為了方便起見(jiàn)，還常用表示，即微積分基本定理表明，計(jì)算定積分的關(guān)鍵就是找到函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)(即滿(mǎn)足的函數(shù)）。詳細(xì)原函數(shù)對(duì)照表與定積分公式表見(jiàn)附錄。課堂練習(xí)1、計(jì)算下列定積分.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）2、計(jì)算下列定積分。（1）；（2）；（3）；（4）.3、計(jì)算下列定積分。 （1）； （2）； （3）； （4）.4、計(jì)算下列定積分：。由計(jì)算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。(1)當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于軸上方時(shí)（圖1.6一3 )

8、，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積；圖1 . 6 一 3(2)當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于軸下方時(shí)（圖1.6 一 4 ) ，定積分的值取負(fù)值，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)；圖1.6 一 4（3）當(dāng)位于軸上方的曲邊梯形面積等于位于軸下方的曲邊梯形面積時(shí)，定積分的值為0（圖 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于軸上方的曲邊梯形面積減去位于軸下方的曲邊梯形面積圖 1 . 6 一 5課后作業(yè)：課本第55頁(yè)習(xí)題1.6：A組第1題、B組第1題1.7定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)與技能目標(biāo)初步掌握利用定積分求曲邊梯形的幾種常見(jiàn)題型及方法；掌握用定積分解決簡(jiǎn)單物理問(wèn)題.過(guò)程與方法體會(huì)定積分在物理中應(yīng)用（變速直線運(yùn)

9、動(dòng)的路程、變力沿直線做功）。情感態(tài)度與價(jià)值觀 體會(huì)微積分在自然科學(xué)中的重要應(yīng)用以及在人類(lèi)文化發(fā)展中的意義和價(jià)值。學(xué)習(xí)重點(diǎn)曲邊梯形面積的求法學(xué)習(xí)難點(diǎn)定積分求面積以及在物理中的應(yīng)用學(xué)習(xí)過(guò)程一、定積分在幾何中的應(yīng)用.曲邊梯形的面積：1、函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且滿(mǎn)足，則由直線，和曲線所圍成的曲邊梯形的面積用定積分表示為：2、函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且滿(mǎn)足，則由直線，和曲線，所圍成的曲邊梯形的面積用定積分表示為：例1：計(jì)算由曲線，所圍圖形的面積。例2：計(jì)算由直線，曲線以及軸所圍圖形的面積。練習(xí)1、由直線，與曲線所圍成的封閉圖形的面積為.2、由曲線，圍成的封閉圖形面積為.3、由曲線，直線及軸所圍成的圖形的面積為.二、定

10、積分在物理中的應(yīng)用.1、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程：做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度函數(shù)為，則該物體在時(shí)間段內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程為2、變力做功：如果物體在變力的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，變力的方向始終與運(yùn)動(dòng)的方向共線，且變力僅依賴(lài)于位置變量（也就是說(shuō)變力是位置變量的函數(shù)，即）。若物體沿該直線從位置移動(dòng)到位置，則變力在這一過(guò)程中所做的功為例1、 一輛汽車(chē)的速度-時(shí)間曲線如右圖所示。求汽車(chē)在這1 min行駛的路程。練習(xí)：課本第59頁(yè)練習(xí)1例2、如圖，在彈性限度內(nèi)，將一彈簧從平衡位置拉到離開(kāi)平衡位置 m處，求克服彈力所做的功。分析：彈簧是胡克定律應(yīng)用的一個(gè)常見(jiàn)例子。在彈性限度內(nèi)，拉伸（或壓縮）彈簧的彈力和彈簧的長(zhǎng)度變化量成正比

11、，即其中是彈簧的勁度系數(shù)。練習(xí)：課本第59頁(yè)練習(xí)2，第60頁(yè)習(xí)題1.7 A組第2題課后作業(yè)：課本第60頁(yè)習(xí)題1.7 A組第1題，第6題，B組第3題。選做題：B組第2題。附錄：定積分公式表為了方便應(yīng)用微積分基本定理（牛頓-萊布尼茨公式）計(jì)算定積分，下表給出一些常用函數(shù)的原函數(shù)（只給出其中的一個(gè)原函數(shù)）。原函數(shù)的正確性可以通過(guò)求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算去驗(yàn)證。其中出現(xiàn)的，都是與自變量無(wú)關(guān)的常數(shù)。表一：原函數(shù)對(duì)照表：序號(hào)導(dǎo)函數(shù)原函數(shù)序號(hào)導(dǎo)函數(shù)原函數(shù)123*94*105*1167*128*13說(shuō)明：1、驗(yàn)證上表第4項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。所以對(duì)任意，。第10項(xiàng)同理。2、上表第18項(xiàng)可由基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式（課本P14）得到。第913項(xiàng)可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則驗(yàn)證獲得，比較常用的是或的情況，不要求記憶，僅供參考。表二：定積分表由原函數(shù)對(duì)照表以及微積分基本定理（牛頓萊布尼茨公式）可獲得下面的定積分表：1、2、3、， 注意：要使定積分有意義，被積函數(shù)必須在閉區(qū)間上有定義。4、注意：要使定積分有意義，必須有，即（同號(hào)）。5、6、7、8、9、10、11、表三：定積分常用性質(zhì)列表1、（為常數(shù)）2、3、4、（牛頓萊布尼茨公式）奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分：5、若是奇函數(shù)，且下面的積