平方差公式教案

1、 平方差公式教案 教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1經(jīng)歷探索平方差公式的過程 2會(huì)推導(dǎo)平方差公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算 （二）能力訓(xùn)練要求 1在探索平方差公式的過程中，培養(yǎng)符號(hào)感和推理能力 2培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括的能力 （三）情感與價(jià)值觀要求 在計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用符號(hào)表示，從而體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)捷美 教學(xué)重點(diǎn) 平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn) 理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，靈活應(yīng)用平方差公式 教學(xué)方法 探究與講練相結(jié)合 通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)一步探索公式的結(jié)構(gòu)特征，在老師的講解和學(xué)生的練習(xí)中讓學(xué)生體會(huì)公式實(shí)質(zhì)，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用 教具準(zhǔn)備 投影片 教學(xué)過程提出問題，創(chuàng)設(shè)情境 師你能用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下

2、列各題嗎？ （1）2001×1999 （2）998×1002 生甲直接乘比較復(fù)雜，我考慮把它化成整百，整千的運(yùn)算，從而使運(yùn)算簡(jiǎn)單，2001可以寫成2000+1，1999可以寫成2000-1，那么2001×1999可以看成是多項(xiàng)式的積，根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則可以很快算出 生乙那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了 師很好，請(qǐng)同學(xué)們自己動(dòng)手運(yùn)算一下 生（1）2001×1999=（2000+1）（2000-1） =20002-1×2000+1×2000+1×（-1） =20002-1 =4000000-1

3、=3999999 （2）998×1002=（1000-2）（1000+2） =10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2 =10002-22 =1000000-4 =1999996 師2001×1999=20002-12 998×1002=10002-22 它們積的結(jié)果都是兩個(gè)數(shù)的平方差，那么其他滿足這個(gè)特點(diǎn)的運(yùn)算是否也有這個(gè)規(guī)律呢？我們繼續(xù)進(jìn)行探索 導(dǎo)入新課 師出示投影片 計(jì)算下列多項(xiàng)式的積 （1）（x+1）（x-1） （2）（m+2）（m-2） （3）（2x+1）（2x-1） （4）（x+5y）（x-5y） 觀察上

4、述算式，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？運(yùn)算出結(jié)果后，你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？再舉兩例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn) （學(xué)生討論，教師引導(dǎo)） 生甲上面四個(gè)算式中每個(gè)因式都是兩項(xiàng) 生乙我認(rèn)為更重要的是它們都是兩個(gè)數(shù)的和與差的積例如算式（1）是x與1這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式（2）是m與2這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式（3）是2x與1這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式（4）是x與5y這兩個(gè)數(shù)的和與差的積 師這個(gè)發(fā)現(xiàn)很重要，請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)筆算一下，相信你還會(huì)有更大的發(fā)現(xiàn) 生解：（1）（x+1）（x-1） =x2+x-x-1=x2-12 （2）（m+2）（m-2） =m2+2m-2m-2×2=m2-22（3）（2x+1）（2x-1） =（2x）2

5、+2x-2x-1=（2x）2-12 （4）（x+5y）（x-5y） =x2+5y·x-x·5y-（5y）2 =x2-（5y）2生從剛才的運(yùn)算我發(fā)現(xiàn)：也就是說，兩個(gè)數(shù)的和與差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差，這和我們前面的簡(jiǎn)便運(yùn)算得出的是同一結(jié)果 師能不能再舉例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)？ 生能例如：51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12 即（50+1）（50-1）=502-12 （-a+b）（-a-b）=（-a）·（-a）+（-a）·（-b）+b·（-a）+b·（-b）=（-a）2-b2=a2-b2 這同樣可以

6、驗(yàn)證：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差 師為什么會(huì)是這樣的呢？ 生因?yàn)槔枚囗?xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則展開后，中間兩項(xiàng)是同類項(xiàng)，且系數(shù)互為相反數(shù)，所以和為零，只剩下這兩個(gè)數(shù)的平方差了 師很好請(qǐng)用一般形式表示上述規(guī)律，并對(duì)此規(guī)律進(jìn)行證明 生這個(gè)規(guī)律用符號(hào)表示為： （a+b）（a-b）=a2-b2其中a、b表示任意數(shù)，也可以表示任意的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式 利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則可以做如下證明： （a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2 師同學(xué)們真不簡(jiǎn)單老師為你們感到驕傲能不能給我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律（a+b）（a-b）=a2-b2起一個(gè)名字呢？ 生最終結(jié)果是兩個(gè)數(shù)的平方差，叫

7、它“平方差公式”怎樣樣？ 師有道理這就是我們探究得到的“平方差公式”，請(qǐng)同學(xué)們分別用文字語言和符號(hào)語言敘述這個(gè)公式 （出示投影） 兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差 即：（a+b）（a-b）=a2-b2平方差公式是多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中一個(gè)重要的公式，用它直接運(yùn)算會(huì)很簡(jiǎn)便，但必須注意符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能應(yīng)用 在應(yīng)用中體會(huì)公式特征，感受平方差公式給運(yùn)算帶來的方便，從而靈活運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算 （出示投影片） 例1：運(yùn)用平方差公式計(jì)算： （1）（3x+2）（3x-2） （2）（b+2a）（2a-b） （3）（-x+2y）（-x-2y） 例2：計(jì)算： （1）102×98 （2

8、）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5） 師生共析運(yùn)用平方差公式時(shí)要注意公式的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)會(huì)對(duì)號(hào)入座 在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b 即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22 （a+b）（a-b）=a2-b2 同樣的方法可以完成（2）、（3）如果形式上不符合公式特征，可以做一些簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化工作，使它符合平方差公式的特征比如（2）應(yīng)先作如下轉(zhuǎn)化： （b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b） 如果轉(zhuǎn)化后還不能符合公式特征，則應(yīng)考慮多項(xiàng)式的乘法法則（作如上分析后，學(xué)生可以自己完成兩個(gè)例題也可以通過學(xué)生的板演進(jìn)行評(píng)析達(dá)到鞏固和深化的目的） 例1解：（1）（3x+2）（3x-

9、2）=（3x）2-22=9x2-4 （2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2 （3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2 例2解：（1）102×98=（100+2）（100-2） =1002-22=10000-4=9996 （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5） =y2-22-（y2+5y-y-5） =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1 師我們能不能總結(jié)一下利用平方差公式應(yīng)注意什么？ 生我覺得應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： （1）公式中的字母a、b可以表示數(shù)，也可以是表示數(shù)的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式即整式 （2）要符

10、合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運(yùn)用平方差公式 （3）有些多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法表面上不能應(yīng)用公式，但通過加法或乘法的交換律、結(jié)合律適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)上能應(yīng)用公式 生運(yùn)算的最后結(jié)果應(yīng)該是最簡(jiǎn)才行 師同學(xué)們總結(jié)得很好下面請(qǐng)同學(xué)們完成一組闖關(guān)練習(xí)優(yōu)勝組選派一名代表做總結(jié)發(fā)言 隨堂練習(xí)出示投影片： 計(jì)算： （1）（a+b）（-b+a） （2）（-a-b）（a-b） （3）（3a+2b）（3a-2b） （4）（a5-b2）（a5+b2） （5）（a+2b+2c）（a+2b-2c） （6）（a-b）（a+b）（a2+b2） 課時(shí)小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)我們掌握了如下知識(shí) （1）平方差公式 兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差這個(gè)公式叫做乘法的平方差公式即（a+b）（a-