注冊巖土空間解析幾何與向量代數(shù)

1、注冊巖土工程師考試高等數(shù)學(xué)第一節(jié)空間解析幾何與向量代數(shù)一、向量代數(shù)1、向量的有關(guān)概念：向量間的夾角、向量的方向角、方向余弦、向量在數(shù)軸上的投影一一r,向量的坐標(biāo)a-；ax,ay,az：=axiayjazk在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影模長：a=,a2+ay+a2方向余弦：cosCt=ax-=ax|a*|Jax+a+a2ay_ay由Ja2+ay+a2cosaz 二az| a| . ax2 a2 a"第9頁共8頁單位向量o,a=icos=,cos:,cosJ2、向量的運(yùn)算：(1)向量的加法：向量加法的平行四邊形法則與向量加法的三角形法則。*34(2)向量的減法：向量a與一b的和稱為a與b的差，記作

2、ab。(3)數(shù)與向量乘法：實(shí)數(shù)K與向量a的乘積九a是一個(gè)平行于a的向量，它的模是向量a的",JT模的九倍，即九a=八a,并規(guī)定，當(dāng)兒A0時(shí)，Ka與a的方向相同，當(dāng)九0時(shí)，aa與a的方向相反，當(dāng)九=0時(shí)，九a為零向量。3.向量的加法，數(shù)與向量的的乘法有以下運(yùn)算性質(zhì)：(1) 交換律a+b=b+a(2) 結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)TM2a)=(.)a(X,是數(shù))；444(3)分配律(%+曰a=Ka+%(九,弱!數(shù))；Ma+b=九a+Kb是數(shù))>>向量的數(shù)量積ab（內(nèi)積）平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義，a?b=|a|b|cos。!并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0。a b c

3、os?=axbx ' ayby ' azbz幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos。的乘積。性質(zhì):2,2,2a=ax+ay+azTTTT(2)ab=0ua_Lbuaxbx+avbv+azbz=0xxyyzz向量的向量積（外積、叉積）兩向量a和b的向量積是一個(gè)向量c,記為c=aMb。c由下列條件確定：（1）c=aMb=a11bsin（a,b）,（0毛abWn）。（2） c_La且c_Lbo（3） a、b、c的方向服從右手法則：即平移a、b、c使其有共同的始點(diǎn)，當(dāng)右手的四個(gè)手指從a以不超過冗的角度轉(zhuǎn)向b握拳時(shí)，大拇指所指方向就是c的方向。向量積又稱為叉積或外

4、積，向量積的模的幾何意義是：它的數(shù)值是以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積。向量的向量積滿足下列運(yùn)算規(guī)律(1)aMb=-bMa(Xa)xb=Ma父功=a義(/b)(為實(shí)數(shù))ayb+c)=aMb+aMc(bc)a=bacaijkaMb=(axi+ayj+azk)父i十byj+bzk)=axayazbxbybzaybyazbzaxbxay by兩向量間的關(guān)系設(shè)a-妊，a2,a3；b-'h,b2,b3:關(guān)系向里表小向里坐標(biāo)表小a,b間夾角(華)cos邛=a-b同bcos(p_ah+a2b2+a3b322221222Vai+a2+a3bbi+b2+b3a與b垂直ab=0aibi+a2b2+b3b3

5、=0a與b平行a父b=0史義曳bibb3、空間解析幾何(一).空間解析幾何1 .空間解析幾何研究的基本問題(1)已知曲面(線)作為點(diǎn)的幾何軌跡，建立這曲面(線)的方程。(2)已知坐標(biāo)x,y和z間的一個(gè)方程(組)，研究這方程(組)所表示的曲面(線)。2 .距離公式空間兩點(diǎn)A(xi,yi,Zi)與B(x2,y2Z)間的距離d為d=，僅2xi2+(y2yif+(Z2Zi23 .定比分點(diǎn)公式M(x,y,z遑AB的分點(diǎn)：AM=九，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)為A(xi,yi,Zi),MBB(x2,y2,Z2惻xix2y1y2zi1z2x二,y=,z=iii1當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，xix2yiy2ZiZ2x二,y=,z=222

6、(二).平面及其方程1 .法(線)向量，法(線)方向數(shù)。與平面幾垂直的非零向量，稱為平面n的法向量，通常記成n。法向量m,n,p的坐標(biāo)稱為法(線)方向數(shù)。對于給定的平面n,它的法向量有無窮多個(gè)，但它所指的方向只有兩個(gè)。2 .點(diǎn)法式方程已知平面n過M(Xo,yo,Zo說，其法向量n=AB,C,則平面n的方程為A(x-Xo)+B(y-yo)+C(zZo)=0或n(rr0)=0其中ro=lx。，yo,zo；r=",y,z.3 .一般式方程AxByCzD=0其中A,B,C不全為零。x,y,z前的系數(shù)表示n的法線方向數(shù)，n=A,B,C是n的法向量。特別情形：Ax+By+Cz=0,表示通過原點(diǎn)的

7、平面。Ax+By+D=0,平行于z軸的平面。Ax+D=0,平行yOz平面的平面。x=0表示yOz平面。6.有關(guān)平面的問題兩平面為：-：1:A1xB1yC1zD1=0二2：A2xB2yC2zD2=0n1與“間夾角即)巾AA2+B1B2+C1C2cos中二二j；A2+B2+C：、/A*B2+C22垂直條件AA2+B1B2+C1C2=0平行條件A1且12'A2-B2C2JD2J重合條件A旦_C_2A2一B2-C2D2設(shè)平面冗的方程為Ax+By+Cz+D=0,而點(diǎn)M（x1,y1,z1）為平面冗外的一點(diǎn)，則M到平面n的距離d:Ax1+By1+Cz1+Dd:一,，A2+B2+C2（3） .直線及其

8、方程1 .方向向量、方向數(shù)與直線平行的非零向量S,稱為直線L的方向向量，方向向量的坐標(biāo)稱為方向數(shù)。2 .直線的標(biāo)準(zhǔn)方程（對稱式方程）。x-X0y-y0z-Z0lmn其中（小，丫。？。）為直線上的點(diǎn)，l,m,n為直線的方向數(shù)。3 .參數(shù)式方程x=x°lty=y°mtz=z0nts=4,m,nt為參變量。4 .一般式方程（作為兩平面的交線）Ax+B1y+C1z + D1 =0A2x+B2y+C2z+D2 =0s = '：A,Bi,cJ 況島12):x-x2 _ y-y2,I2m2z- z2/5 .有關(guān)直線的問題兩直線為x-為二y-yi=z-乙li色niL與L2間夾角（日

9、）口用2+mIm2+n1n2cos0=1,W；+m；+n2,3+m2+n2垂直條件"2+m1m2+4%二0平行條件lm1n1=，=l2m2n2（4） .平面與直線相互關(guān)系平面n的方程為：Ax+By+Cz+D=0|法向量n(A,B,C)直線L的方程為：xx0 _ yy0l m三二包方向向量S(l, m, n) nAl+Bm+Cn;八22-222222VA+B+Cvl+m+nL與冗間夾角(ct)nS（=cosB=百廠|）ln|SL與n垂直條件Jm_nA一B一CL與n平行條件Al+Bm+Cn=0L與n重合條件Al+Bm+Cn=0L上什-點(diǎn)在冗上三.常見的曲面方程1.球面方程設(shè)Po(X0,y

10、o,Z0)是球心，R是半徑，P(x,y,z)是球面上任意一點(diǎn)，則|P°p=R,即(x-Xo2+(yy°f+(z4f=R22.旋轉(zhuǎn)曲面的方程f(x,z)=0,(1)設(shè)L是xOz平面上一條曲線，其方程是,L繞z軸旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)曲面，J=0.設(shè)P(x,y,z)是旋轉(zhuǎn)面上任一點(diǎn),由點(diǎn)F0(x0,O,z0旋轉(zhuǎn)而來(點(diǎn)M(0,0,z)是圓心)。由|x0|=|MP0|MpP=jx2+y2,z0=z得旋轉(zhuǎn)面方程是f二.；x2y2,z=0或由參數(shù)方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)(tw依，P得旋轉(zhuǎn)面的參數(shù)方程x=Jf2(t)+g2(tJcosH,jy=jf2(t)+g2(tjsinj

11、0f<t<p,0<e<2nz=ht.(2)求空間曲線3F1'x，y，Z)-0繞Z軸一周得旋轉(zhuǎn)曲面的方程p2(x,y,z)=0第一步：從上面聯(lián)立方程解出x=f(z),y=g(z)22一22第二步：旋轉(zhuǎn)曲面萬程為x,y=fzgz繞y軸一周或繞x軸一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程類似地處理。5.二次曲面曲面名稱方程曲面名稱方程橢球面222xyz(+J+=12,22abc旋轉(zhuǎn)拋物面22+y=zp>0)2p2p橢圓拋物面22+=z(p,q>0)2p2q雙曲拋物面22-2p+2q=zp,q>0)單葉雙曲面222xyz.+-12,221abc雙葉雙曲面222xyz2+2-2-1abc二次錐面222L+匕一二=02,22abc橢圓柱面22x±y十一=12.21ab雙曲柱面22x-，=1a2b2拋物柱面2=y(p>0)2p(四).空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影1 .曲線C的方程；F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0曲線C在xy平面上的投影先從曲線C的方程中消去z得到H(x,y)=0,它表示曲線C為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面方程，那么'H(x,y)=0