一、問題的提出

1、一、問題的提出一、問題的提出 在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)更感興趣更感興趣.42d求截面面積求截面面積 A= 的分布的分布.例如，已知圓軸截面直徑例如，已知圓軸截面直徑 d 的分布，的分布，一、問題的提出一、問題的提出 在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)更感興趣更感興趣.已知已知t=t0 時刻噪聲電壓時刻噪聲電壓 V的分布，的分布，求功率求功率 W=V2/R (R為電阻）為電阻）的分布等的分布等.t0t0 設隨機變量設隨機變量X 的分布已知，的分布已知，Y=g (X) (設設g是連續(xù)函數(shù)），如何由是連續(xù)函數(shù)），如何由 X

2、 的分布求的分布求出出 Y 的分布？的分布？下面進行討論下面進行討論. 這個問題無論在實踐中還是在理論這個問題無論在實踐中還是在理論上都是重要的上都是重要的.二、離散型隨機變量二、離散型隨機變量函數(shù)的分布函數(shù)的分布解：解： 當當 X 取值取值 1，2，5 時，時， Y 取對應值取對應值 5，7，13，例例1設設X3 . 055 . 02 . 021求求 Y= 2X + 3 的概率函數(shù)的概率函數(shù).3013502075.Y而且而且X取某值與取某值與Y取其對應值是兩個同時發(fā)生取其對應值是兩個同時發(fā)生的事件，兩者具有相同的概率的事件，兩者具有相同的概率.故故如果如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作

3、適當中有一些是相同的，把它們作適當并項即可并項即可.一般，若一般，若X是離散型是離散型 r.v ，X的概率函數(shù)為的概率函數(shù)為Xnnpppxxx2121則則 Y=g(X) nnpppxgxgxg2121)()()(如：如： X1 . 016 . 03 . 001則則 Y=X2 的概率函數(shù)為：的概率函數(shù)為：406010.Y 三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布解：設解：設Y的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 FY(y)，例例2設設 X 其它, 040, 8/)(xxxfX求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.FY(y)=P Y y = P (2X+8 y )=P X = FX( )2

4、8y28y于是于是Y 的密度函數(shù)的密度函數(shù)21)28()()(yfdyydFyfXYY0 )28( yfX168)28( yyfX故故其它, 0168,328)(yyyfY21)28()()(yfdyydFyfXYY注意到注意到 0 x 4 時，時， 0)( xfX即即 8 y 0 時時,)()(yYPyFY)(2yXP 注意到注意到 Y=X2 0，故當，故當 y 0時，時，0)(yFY)(xFX)(yFY解：解： 設設Y和和X的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為 和和 ，)()(yFyFXX若若exxfX2221 )(則則 Y=X2 的概率密度為：的概率密度為：0, 00,21)(221yyyf

5、eyyY0, 00, )()(21)()(yyyfyfydyydFyfXXYYx 從上述兩例中可以看到，在求從上述兩例中可以看到，在求P(Yy) 的過的過程中，關鍵的一步是設法程中，關鍵的一步是設法從從 g(X) y 中解出中解出X,從而得到與從而得到與 g(X) y 等價的等價的X的不等式的不等式 .例如，用例如，用 代替代替 2X+8 y X 28y用用 代替代替 X2 y yXy 這樣做是為了利用已知的這樣做是為了利用已知的 X的分布，從的分布，從而求出相應的概率而求出相應的概率.這是求這是求r.v的函數(shù)的分布的一種常用方法的函數(shù)的分布的一種常用方法.例例4 設隨機變量設隨機變量X的概率

6、密度為的概率密度為其它002)(2xxxf求求Y=sinX的概率密度的概率密度., 0)(yFY當當 y 0時時, 當當 y 1時時, 1)(yFY10 y x0當當時時故故解：注意到解：注意到,xsinx0 01 1)()(yYPyFY)(sinyXP =P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ） ydxxarcsin022ydxxarcsin22解：當解：當0y1時時, 例例4 設隨機變量設隨機變量X的概率密度為的概率密度為其它002)(2xxxf求求Y=sinX的概率密度的概率密度.xsinx0 01 1y當當0y1, G(y)=1;對對y0 , G(y)=0;10

7、y由于由于對對0y1,G(y)=P(Y y) =P(F(X) y)=P(X (y)1F1F=F( (y)= y1, 110,0, 0)(yyyyyG即即Y的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是其它, 010, 1)(yyg求導得求導得Y的密度函數(shù)的密度函數(shù)可見可見, Y 服從服從0，1上的均勻分布上的均勻分布.本例的結(jié)論在計算機模擬中有重要的應用本例的結(jié)論在計算機模擬中有重要的應用. 例如，想得到具有密度函數(shù)為例如，想得到具有密度函數(shù)為的隨機數(shù)的隨機數(shù). 000)(xxexfx0參數(shù)為參數(shù)為 的的指數(shù)分布指數(shù)分布 根據(jù)前面的結(jié)論，根據(jù)前面的結(jié)論， Y=F(X)服從服從0,1上上的均勻分布的均勻分布. 由于由

8、于 當當x0時，時， xexF1)(是嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)是嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù) .應如何做呢？應如何做呢？ Y=F(X)服從服從0,1上的均勻分布上的均勻分布. 由于由于 當當x0時，時， xexF1)(是嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)是嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù) .記記 u=F(x)為為0,1上的隨機數(shù)上的隨機數(shù), u=1- -xe則由則由x即為指數(shù)分布的隨機數(shù)即為指數(shù)分布的隨機數(shù).得得)1ln(ux由于由于1-u仍為仍為0,1上的隨機數(shù)上的隨機數(shù),上式也可寫為上式也可寫為rxlnr為為0,1上的隨機數(shù)上的隨機數(shù) 于是得到產(chǎn)生指數(shù)分布的隨機數(shù)的方于是得到產(chǎn)生指數(shù)分布的隨機數(shù)的方法如下法如下:均勻隨機數(shù)均勻隨機數(shù)

9、r給指數(shù)分布參數(shù)給指數(shù)分布參數(shù)指數(shù)隨機數(shù)指數(shù)隨機數(shù)令令rxlnx其它, 0,)()()( ydyydhyhfyfY其中，其中，),(minxgbxa),(maxxgbxa此定理的證明與前面的解題思路類似此定理的證明與前面的解題思路類似.x=h(y)是是y=g(x)的反函數(shù)的反函數(shù)定理定理 設設 X是一個取值于區(qū)間是一個取值于區(qū)間a,b，具有概率，具有概率密度密度 f(x)的連續(xù)型的連續(xù)型r.v,又設又設y=g(x)處處可導，且處處可導，且對于任意對于任意x, 恒有恒有 或恒有或恒有 ，則，則Y=g(X)是一個是一個連續(xù)型連續(xù)型r.v，它的概率密度為，它的概率密度為0)( xg0)( xg例例6

10、 設隨機變量設隨機變量X在在(0,1)上服從均勻分布，求上服從均勻分布，求Y=-2lnX的概率密度的概率密度.解：解： 在區(qū)間在區(qū)間(0,1)上上,函數(shù)函數(shù)lnx0, 02xy于是于是 y在區(qū)間在區(qū)間(0,1)上單調(diào)下降，有反函數(shù)上單調(diào)下降，有反函數(shù)2/)(yeyhx由前述定理得由前述定理得其它, 010,)()()(2/2/2/yyyXYedyedefyf注意取注意取絕對值絕對值其它, 010,)()()(2/2/2/yyyXYedyedefyf其它, 010, 1)(xxfX已知已知X在在(0,1)上服從均勻分布，上服從均勻分布，代入代入 的表達式中的表達式中)(yfY其它,)(/00212yeyfyY得得即即Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為1/2的指數(shù)分布的指數(shù)分布. 對于連