求曲線方程的幾種常見方法

1、求曲線方程的幾種常見方法2011-04-20 13:59 來源： 文字大小：【大】【中】【小】 解析幾何研究的主要問題是：（1）根據已知條件，求出表示曲線的方程；(2)通過曲線的方程，研究曲線的性質所以求曲線的方程是解析幾何中的一個重要問題下文將討論幾種求曲線方程的方法及求曲線方程時應注意的問題一、直接法若動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關系，或這些幾何量間的等量關系簡單明了且易于表達，我們只要將這些的等量關系變成含，的等式就得到動點的軌跡方程這種方法不需要其它技巧，故稱為直接法例1已知P，Q是平面內的2個定點，=2,點M為平面內的動點，且M到點P的距離與到點Q的距離的比值

2、為（0），求點M的軌跡解析 以線段PQ的中點O為坐標原點，線段PQ的垂直平分線為軸建立直角坐標系點為（-1，0），點為（1，0），設點為（，），（0）， ，化簡可得（1）時，點的軌跡為軸，其方程為；（2）0且時，點的軌跡方程可化為，即，當0且時，點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓點評 直接法求軌跡的一般步驟為：（1）必要時建立平面直角坐標系（若已有直角坐標系則可以省去這一步），設動點坐標為（，）；（2）根據題設條件列出等量關系式；（3）將上述等量關系式轉化為方程式；（4）整理、化簡方程式為軌跡方程；（5）必要時進行討論，以保證軌跡的純粹性與完備性，并指出軌跡的具體幾何意義二、

3、定義法若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可以根據定義直接求出動點的軌跡方程，這種方法稱為定義法例2 如圖,已知兩圓，動圓在圓內且和圓內切，和圓外切，求動圓圓心的軌跡解析 設動圓圓心為，由題意可知根據橢圓的第一定義，點的軌跡是以點，為焦點的橢圓，其中，動圓圓心的軌跡方程為點評 解答本題的關鍵在于透過復雜的條件認識到點軌跡是以點，為焦點的橢圓，假若根據幾何條件列方程求解就復雜了三、相關點法有些求軌跡的問題中，其動點滿足的條件不便用等式列出，但這一動點隨另一動點（稱之為相關點）而動假若相關點所滿足的條件是明顯的或可分析的，這時我們可

4、以用動點坐標表示相關點坐標，根據相關點所滿足的方程或關系式，即可求得動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫相關點法，也叫轉移點法或代入法例3 已知曲線與直線交于兩點和,且記曲線在點A點B之間的那段為L，設點P（s,t）是L上的任意一點，且點P與點A和點B均不重合若點Q是線段AB的中點，試求線段PQ的中點M的軌跡方程解析 由，解得A（-1，1），B（2，4）由中點坐標公式可得點Q的坐標為（），設點M的坐標為（）于是，又-1s2,即又點P（s,t）在曲線C上，將代入得，即（）點評 相關點法是一種?？嫉姆椒?，用此法求軌跡的大致步驟是：（1）設所求軌跡的動點P的坐標為（）

5、，再設在曲線上與動點P相關的點為Q（），所以；（2）找出P,Q的坐標之間的關系式，并表示為（3）將代入，即可得所求的軌跡方程本題中還要注意所求曲線只是拋物線的一部分四、交軌法若動點是兩條動曲線（含直線）的交點，則可恰當?shù)囊胍粋€或幾個參數(shù)，寫出動曲線的方程，消去參數(shù)，即可求得所求的軌跡方程這種方法叫交軌法例4 如圖，橢圓與軸的交點為A(2,0),B(-2,0),與 軸平行的直線交該橢圓于不同的兩點M，N，試求直線AM，BN的交點Q的軌跡方程解析 直線MN的方程為，設M和N的坐標分別為（），（），則，即M，N為不同的兩點，直線AM，BN的方程分別為因為點Q的坐標滿足上式，所以

6、將它們相乘可得，將代入上式可得，即又交點Q不可能在軸上，交點Q的軌跡方程是點評 交點Q不可能在軸上，去掉（2，0），（-2，0）兩點，確保軌跡的純粹性不容忽視五、向量法用向量法求軌跡方程時，可充分利用向量垂直和共線的充要條件，并可以避免討論直線斜率是否存在，使計算得到簡化例5 如圖，設點A、B為拋物線（p0）上原點以外的兩個動點，已知OAOB，OMAB，M是垂足，求點M的軌跡方程，并說明它表示的曲線類型解析 設點A，點B（），M（），,即，又,即，化簡得又,，化簡可得消去可得，又因為A、B異于原點，所以點M的軌跡方程為，它表示一點（2p，0）為圓心，2p為半徑的圓

7、（不包含原點）點評 利用向量可以將幾何問題化為代數(shù)計算，在此設點A，點B（），而不設點，是為了盡量減少參數(shù)六、參數(shù)法動點滿足的條件式中含有參數(shù)（如角度、斜率、比值等）或動點運動過程中受到某個參數(shù)制約，我們建立以這個變量為參數(shù)的參數(shù)方程，然后消去這個參數(shù)，即得軌跡的普通方程，這種求軌跡方程的方法叫參數(shù)法例6 過點P（4，1）的動直線與橢圓交于不同的兩點A、B，在線段AB上取點Q，滿足,證明：點Q總在某定直線上證明 設點Q，A，B的坐標分別為（），（），（）由題設知，均不為0，記,則0，且又A，P，B，Q四點共線，從而于是，從而， 又因為點A、B在橢圓C上，即，+2得，結合、得

8、即點Q（）總在定直線上點評 在此選取比值作參數(shù)，得到軌跡的含的參數(shù)方程，最后消去參數(shù)得到軌跡的普通方程本題中點Q的軌跡只是直線的一部分七、點差法例7 給定雙曲線，過點A（2，1）的直線與所給雙曲線交于兩點，求線段中點P的軌跡方程解析 設P（），則兩式相減得又又，A，P四點共線，即所求軌跡方程為點評 點差法是求弦中點形成的軌跡的有效方法【練習】1動點與兩點連線的斜率之積為（0），求點的軌跡方程，并根據值變化討論其軌跡是什么曲線2已知圓：與定直線，動圓與圓外切，并且與直線相切，求動圓圓心的軌跡方程3已知O為坐標原點，A為橢圓（ab0）上任意一點，且,求點P的

9、軌跡方程4如圖，設點A、B分別為（-1，0）、（1，0），N為單位圓上的動點（不與點A、B重合），單位圓上過點N的切線與過點A、B的切線分別交于D、C兩點，四邊形ABCD的對角線AC與BD的交點為P，求交點P的軌跡5已知點A（1，0）為圓內的一點，P為圓上任意一點，線段AP的垂直平分線和半徑OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？6過拋物線的頂點O作兩條互相垂直的直線，分別交拋物線于A、B兩點，求線段AB的中點P的軌跡方程  7.線段AB是經過拋物線焦點的弦，求弦AB的中點的軌跡方程【參考答案】1（1）-1時，軌跡方程為（），點的軌跡為焦點在軸上的橢圓（不含,兩點）；（2）時，軌跡方程為，