高等數(shù)學(xué)D4_4有理函數(shù)積分

1、第四節(jié) 基本積分法 :換元積分法 ;分部積分法 初等函數(shù)求導(dǎo)初等函數(shù)積分一、有理函數(shù)的積分 二、可化為有理函數(shù)的積分舉例有理函數(shù)的積分本節(jié)內(nèi)容: 第四四章 直接積分法 ;一、一、 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函數(shù):nm 時(shí),)(xR為假分式;nm 時(shí),)(xR為真分式有理函數(shù)相除多項(xiàng)式 + 真分 式分解其中部分分式的形式為kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,(2qpkN若干部分分式之和例例1. 將下列真分式分解為部分分式 :;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx.)1)(21 (1)3(2xx解解:

2、(1) 用拼湊法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx(2) 用賦值法6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB原式)2(xA2x233xxx5原式)3(xB3x323xxx6故25x原式36x(3) 混合法)1)(21 (12xx xA2121xCBx原式)21 (xA21x54代入等式兩端分別令1 ,0 xC541215461CB52B51C原式 =x214512112xx四種典型部分分式的積分四種典型部分分式的積分: CaxAln) 1( nCaxnAn1)(1xaxAd. 1xaxA

3、nd)(. 2xqxpxNxMd. 32xqxpxNxMnd)(. 42) 1,04(2nqp變分子為 )2(2pxM2pMN 再分項(xiàng)積分 pxqpxx2)(2例例2. 求.)1)(21 (d2xxx解解: 已知)1)(21 (12xx51x214212xx211xxx21)21 ( d52原式221)1 ( d51xx21d51xxx21ln52)1 (ln512xCxarctan51例例3. 求.d3222xxxx解解: 原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxCx21arctan23說明說明: 將有理函數(shù)分解為部

4、分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡便 , 因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡便的方法. 例例5. 求求.d)22(222xxxx解解: 原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1) 1(d2xx222)22()22d(xxxx) 1arctan( x2212xxCxxxd)4)(1(22)4() 1(22xx例例4. 求求.d4555222423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解解:常規(guī)法 例例6. 求求解解: 原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4x

5、x(見P363 公式21)2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本題技巧注意本題技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0( x按常規(guī)方法解1d4xx第一步 令)(1224dxcxbxaxx比較系數(shù)定 a , b , c , d . 得) 12)(12(1224xxxxx第二步 化為部分分式 . 即令) 12)(12(111224xxxxx121222xxDxCxxBxA比較系數(shù)定 A , B , C , D .第三步 分項(xiàng)積分

6、 .此解法較繁 !二二 、可化為有理函數(shù)的積分舉例、可化為有理函數(shù)的積分舉例設(shè))cos,(sinxxR表示三角函數(shù)有理式 ,xxxRd)cos,(sin令2tanxt 萬能代換(參考下頁例7)t 的有理函數(shù)的積分1. 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分則例例7. 求求.d)cos1 (sinsin1xxxx解解: 令,2tanxt 則222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxdttd122xxxxd)cos1 (sinsin1 2121tt21

7、2tt)1 (2211ttttd212tttd122121221tt 2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln21212sinttx2211costtxttxd12d2例例8. 求求.)0(cossind2222baxbxax解解: 原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabaC說明說明: 通常求含xxxxcossincos,sin22及的積分時(shí),xttan往往更方便 .的有理式用代換2. 簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被積函數(shù)為

8、簡單根式的有理式 , 可通過根式代換 化為有理函數(shù)的積分. 例如:,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令., 的最小公倍數(shù)為nmp例例11. 求.21d3xx解解: 令,23xu則,23 uxuuxd3d2原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2( x323x321ln3xC例例12. 求.d3xxx解解: 為去掉被積函數(shù)分母中的根式 , 取根指數(shù) 2 , 3 的最小公倍數(shù) 6 ,6tx 則有原式23tttt d65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令例例13. 求.d11xx

9、xx解解: 令,1xxt則,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式之和三角函數(shù)有理式萬能代換簡單無理函數(shù)三角代換根式代換2. 特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出, 但不一定 要注意綜合使用基本積分法 , 簡便計(jì)算 .簡便 , 思考與練習(xí)思考與練習(xí)如何求下列積分更簡便 ?)0(d. 1662axxaxxxxcossind. 23解解: 1.23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln612. 原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin121作業(yè)作業(yè)P218 3 , 6 , 8 , 15, 18 , 20 , 22 1.求不定積分解：解：.d)1 (126xxx令,1xt 則,1tx ttxd1d2, 故xxxd)1 (126161t)11 (2tttd)1(2tttd126ttttd)111(224551t331ttCt arctanCxxxx1arctan1315135分母次數(shù)較高,宜使