數(shù)字信號(hào)處理第五章

1、第五章離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)（Discrete-Time Random Signal）1主要內(nèi)容：§5.1§5.2§5.3§5.4§5.5§5.6§5.7引言隨量的描述離散隨機(jī)過(guò)程時(shí)間平均相關(guān)序列和協(xié)方差序列的性質(zhì)功率譜離散隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性非移變系統(tǒng)2§5.1引言（Introduction）離散時(shí)間信號(hào)可分成兩大類：離散時(shí)間確定信號(hào)和離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)。§5.2隨量的描述(The Discription of Random Variables)5.2.1概率分布函數(shù)單個(gè)隨量x的概率分布函數(shù)定義為：它的取值不超過(guò)某

2、個(gè)特定值X的概率，即：Px ( 的概率3如果x是連續(xù)隨¥量，x的概率密度函數(shù)定義為：p ( X )D ¶Px ( X )ò-¥P ( X ) =p ( X )dX 或xxx¶X如果x是離散隨px (量，x的概率質(zhì)量函數(shù)定義為：的概率概率質(zhì)量函數(shù)與概率分布函數(shù)的關(guān)系為：Px ( X ) = å px ( X )x£ X5.2.2 均值隨量x的均值(數(shù)學(xué)期望)定義為：¥m DExDå xp (x)òm DD或Exxp (x)dxxxxx-¥xÎX式中，X是x的離散值域，px (x

3、)是概率質(zhì)量函數(shù)。mx表示隨量x的統(tǒng)計(jì)平均或集合平均，簡(jiǎn)稱均值。45.2.3均值的性質(zhì)1、E x + y = E x+ E y2、E ax = aE x量x和y有：E xy = E xE y3、對(duì)于線性5.2.4 方差的兩隨量x的方差定義為：隨ssDE(x - Ex) DE(x - m ) = Ex2 - m22222xx xx¥åxÎXò-¥Ex2 Dx2 p (x)dx其中或 Ex2 D稱為隨x2 p (x)x2量x的均。5§5.3離散隨機(jī)過(guò)程(The Discrete Random Process)5.3.1離散隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)時(shí)

4、間序列xn(-¥ < n < ¥)多個(gè)隨量5.3.2概率分布函數(shù)設(shè)xn和xm是離散隨機(jī)過(guò)程xn(-¥ < n < ¥) 中在兩個(gè)不同時(shí)刻n和m上的隨量，定義概率分布函數(shù)如下：(Xn , n, Xm , m) =£ Xm Px的概率質(zhì)量布函數(shù)定,xmnm如果 xn和 xm是離散隨義為：量，(xn , xm )的(Xn , n, Xm , m) = Xm 的概率px,xmnm6如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程在不同時(shí)刻的隨量互不影響，則稱諸隨量是統(tǒng)計(jì)的。此時(shí)有：(Xn , n, Xm , m) = Px(Xn , n)Px(Xm , m)P

5、x,xnmnm5.3.3隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征(均值、方差和均)對(duì)于狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其數(shù)字特征與時(shí)間n無(wú)關(guān)，即¥=對(duì)于所有的n，有： m¥ò-¥Ex2 =(x, n)dx = Ex2 x2 pnxn¥s 2(x, n)dx = s 22n以上公式均是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常量。75.3.4自相關(guān)序列隨機(jī)過(guò)程xn 的自相關(guān)序列定義為：X *R(n, m) Ep( X , n, X , m)dX dXxx nmxn ,xmnm-¥-¥式中，星號(hào)*表示復(fù)共軛。5.3.5互相關(guān)序列隨機(jī)過(guò)程xn 和yn 的互相關(guān)序列定義為：¥-

6、5;¥òò-¥R (n, m)DEx y* Dxy* p(x, n, y, m)dxdyxy nm xn , ymxn與 ym式中，px , y(x, n, y, m) 是的概率密度函數(shù)。8nm5.3.6自協(xié)方差序列隨機(jī)過(guò)程xn 的自協(xié)方差序列定義為：C(n, m)DE(x - m)(x- m)*xx nxnmxm5.3.7互協(xié)方差序列隨機(jī)過(guò)程xn 和 yn 的互協(xié)方差序列定義為：C(n, m)DE(x - m)( y- m)*xy nxnmym5.3.8兩隨差有狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程量的概率密度函數(shù)只與它們的時(shí)間時(shí)間與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，自相關(guān)序列、自協(xié)方差9序列

7、以及互相關(guān)序列和互協(xié)方差序列只是時(shí)間差的函數(shù)而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。px(Xn , n) = px( Xm , m) = px ( X )nm(Xn , n, Xm , m) = px(Xn+k , n + k, Xm+k , m + k)px,x,xn+km+knm5.3.9廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程概率分布函數(shù)或概率密度函數(shù)是隨時(shí)間變化的，概率密度函數(shù)也與時(shí)間起點(diǎn)有關(guān)，其均值是(與時(shí)間無(wú)關(guān))，自相關(guān)序列只與時(shí)間差有與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。簡(jiǎn)稱為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程或平穩(wěn)過(guò)程。10§5.45.4.1時(shí)間平均(Time-mean)遍歷性隨機(jī)過(guò)程一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，它的一個(gè)取樣序列的時(shí)間平均等于它的集合平均。5.4.2

8、隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間平均隨機(jī)過(guò)程 x(n)的一個(gè)取樣序列的所有取樣值的算術(shù)平均值。用< x(n) >表示，即：< x(n) >= D lim1Nåx(n)N ®¥ 2N +1 n=- N隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間取樣自相關(guān)序列為：< x(n)x *(n + m) >= D lim1Nåx(n)x *(n + m)N ®¥ 2N +1 n=- N11對(duì)于遍歷性隨機(jī)過(guò)程，有：< x(n) >= D lim1Nåx(n) = Ex DmN ®¥ 2N +1nxn=- N< x

9、(n)x *(n + m) >= D lim1Nån=- Nx(n)x *(n + m) = Ex x* = R(m)nn+mxxN ®¥ 2N +1§5.5相關(guān)序列和協(xié)方差序列的性質(zhì)(The Properties of Correlation Sequence and Covariance Sequence)設(shè) xn 和 yn 是兩個(gè)實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，它們的自相關(guān)序列、自協(xié)方差序列、互相關(guān)序列、互協(xié)方差序列為：Rxx (m) = Exn xn+m Rxy (m) = Exn yn+m Cxx (m) = E(xn - mx )(xn+m - mx

10、)Cxy (m) = E(xn - mx )( yn+m - my )12性質(zhì)1：C(m) = R2xxCxy (m) = Rxy (m) - mxmy= 0和my(m) Cxy (m) = Rxy (m)= 0時(shí)：C當(dāng)mx證明：Cxx (m) = E(xn - mx )(xn+m - mx )= Exn xn+m= RR- mx xnm2- mx xn+m+ mxmx )+ mxmx1322 性質(zhì)2：C證明：性質(zhì)3： RRnRxx (m) = Exn xn+m R (0) = Ex2 xxn(-m)(-m)CRxy (m) = Ryx (-m)Cxy (m) = Cyx (-m) n + m

11、 = n'E éxùR (m) = Ex xx證明：ë n' -mûnn+m n'xx= E éëxn' xn' -m ùû = Rxx (-m)= n + mE éëxùû n'yR(m) = Ex y''n -mnnn+mxy= E éë yn' xn' -m ùû = Ryx (-m)141/ 2(0)Ryy (0)1/ 2(0)Cyy (0)RC性質(zhì)

12、4：特列： 證明：C(0)R(0)因?yàn)閤n 和yn 都是實(shí)隨機(jī)過(guò)程，所以下列不等式成立：éE ê(ù2xnyn+m) ú ³ 0±êúEx2 E y2ëûn+mn將上式左端展開(kāi)，得：éE ê(ù2éù2xnyn+mxnyn+m±) ú = E ê(±ú)êúêúRxx (0)Ryy (0)Ex2 E y2ëûëûn+m

13、n15éùx2y2x y= E ên+n+m± 2nn+múRxx (0) ×Ryy (0) úûêë Rxx (0)Ryy (0)Ex2 E y2Ex y= n+n+m± 2nn+mRxx (0)Ryy (0)Rxx (0) ×Ryy (0)Rxy (m)= Rxx (0) + Ryy (0) ± 2Rxx (0)Ryy (0)Rxy (m)Rxx (0) ×Ryy (0)= 2 ± 2³ 0Rxx (0) × Ryy (0

14、)所以：| Rxy (m) |£Rxx (0) × Ryy (0)xn = yn令，上式可以簡(jiǎn)化成：| Rx (0)16= xn-n性質(zhì)5：若 yn，則有：0Ryy (m) = Rxx (m)Cyy (m) = Cxx (m)Ryy (m) = E yn yn+m 證明：= Exn-n = Rxx (m)xn+m-n00性質(zhì)6：在隨機(jī)過(guò)程中，兩隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間間隔越大，它們的相關(guān)性越小。lim Cxx (m) = 0lim Cxy (m) = 0m®¥m®¥lim Rxy (m) = mxmy2lim Rm®¥m&#

15、174;¥17自相關(guān)序列、自協(xié)方差序列與均值、均、方差的關(guān)系：Cxx (m)Rxx (m)s 2x0m0m18已知隨機(jī)信號(hào) x(n) = cos(w0n +j) ,其中，角頻率w0例5.5.1，是是j 在區(qū)間(0, 2p ) 均勻分布的隨量。求x(n)的均值和自相關(guān)序列，并判別 x(n)是否廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。解：x(n)的均值為：2pòx(n) × pj (j)djE x(n) =01p2òw n) cos(j) + sin(w n) sin(j) dj=cos(p002012p2pò0cos(w n + j)dj=01épp

16、9;2020w n) sin(j)w n) co s(j)=-sin(= 0cos(2p ëû00ì1, 0 £ w £ 2p0, others(j) = ï 2p其中：píïîj19x(n) 的自相關(guān)序列為：2pòx(n)x(n + m) × pj (j)dj(n, n + m) = E x(n)x(n + m) =Rxx012p2pò0cos(w n + j) cosw (n + m) + jdj=0011 cos(w m) + cos(2w n + w m + j)dj

17、2p2p ò02=000= 1 cos(w m)02隨機(jī)信號(hào)x(n)的均值為，自相關(guān)序列只與時(shí)間差有關(guān)，所以 x(n)為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。20§5.6功率譜(Power Spectrum)5.6.1平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜協(xié)方差序列的Z變換稱為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜。即：+¥(m)z-mSxm=-¥對(duì)于零均值隨機(jī)信號(hào)xn ，則有：+¥(m)z-mSxm=-¥對(duì)于一個(gè)實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，Rxx (m)的Fourier變換總是存在的，即：+¥jw(m)e- jwmSxm=-¥21上式的逆變換為：11pm-1x (z)zdz 和j

18、wjmwx (e)edwRR1pjwx (e)dw由上式可得到：R1p即：Ex2 =2p ò-pS(e jw )dwnxx功率譜在一個(gè)周期內(nèi)的平均值就是隨機(jī)過(guò)程的平均功率。5.6.2功率譜的性質(zhì)jw1.實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜是非負(fù)的，即：Sxx (e) ³ 0jw*(e jw )x2.實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜是實(shí)函數(shù)，即：S式中，*號(hào)表示復(fù)共軛。22*- jwm ù饥Sxx (e) = ê å R(m)e= å R (m)e證明：jwjwm*úëm=-¥ûm=-&

19、#165;¥-¥= å R(m)e jwm l = -må R(-l)e- jwlm=-¥l =¥¥= å R(l)e- jwl = S(e jw )xxl =-¥3. 實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜是w 的偶函數(shù)，即：Sjw(e- jw )x¥¥å R(m)e jwm= å R(-m)e jwm證明：S(e- jw ) =xxm=-¥m=-¥-¥l = -må R(l)e- jwll =¥¥= å R(

20、l)e- jwl = Sl =-¥(e jw )xx235.6.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的互功率譜兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程xn 和yn 的互功率譜定義為：+¥S(z) = å R(m)zmxyxym=-¥或者+¥S(e jw ) = å R(m)e- jwmxyxym=-¥由以上可得出：S(e jw ) = S*(e- jw )xyyx24例5.6.1相位為平穩(wěn)隨機(jī)的正弦序列仍然是一個(gè)平穩(wěn)A2隨機(jī)過(guò)程，它的自相關(guān)序列為：Rxx (m) =cos(w0m) ，2式中，A 是正弦序列的增幅， w0 是正弦序列的角頻率。求該正弦序列的功率譜。解：該

21、正弦序列的功率譜為：+¥A2åjwcos(w0m)e- jwmSxx (e) =2m=-¥e jw0m+ e- jw0mA2+¥å× e- jwm=2A22-w )mm=-¥+¥åj (w- j (w +w )m ùé=+ eëe00û4m=-¥= pA2 d (w - w ) + d (w + w )00225例5.6.2設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)的自相關(guān)序列為：R，(m) = a|m|,| a |<1xx求該隨機(jī)過(guò)程的功率譜。解：隨機(jī)過(guò)程的功率譜為：+¥

22、;+¥åå a|m|e- jwmjw(m)e- jwm=Sxm=-¥m=-¥+¥0å a|m|e- jwm + åa|m|e- jwm=-1m=-¥m=0+¥+¥= åamejwm + åame- jwm-1m=0 11- ae jwm=101- ae- jw=+-11- a2=1- 2a cosw + a2上面求得的功率譜都是實(shí)的、非負(fù)的偶函數(shù)。26§5.7離散隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性非移變系統(tǒng)(The Discrete Random Signal throug

23、h the Linear Shift-invariant System)5.7.1隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性非移變系統(tǒng)+¥+¥y(n) = å h(k)x(n - k) = å h(n - k)x(k)k =-¥k =-¥其中離散隨機(jī)信號(hào)x(n)是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)取樣序列，h(n) 為線性非移變系統(tǒng)的取樣響應(yīng)。275.7.2輸出隨機(jī)過(guò)程的均值系統(tǒng)的輸出響應(yīng)y(n) 是輸出隨機(jī)過(guò)程yn 的一個(gè)取樣序列，根據(jù)遍歷性假設(shè)，由 y(n)求出yn 的均值為：my = E y(n) = E å h(k)x(n - k) = å h

24、(k)Ex(n - k)+¥+¥k =-¥k =-¥由于 Ex(n - k) = mx+¥å故：m= mh(k) = m H (e)j 0yxxk =-¥+¥H (e jw ) = å h(k)e- jwk k =-¥注：285.7.3輸出隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)序列 Ryy (n, n + m)Ryy (n, n + m) = E y(n) y(n + m)éh(r)x(n + m - r)ù+¥+¥h(k)x(n - k) åå= E

25、34;úëk =-¥ûr =-¥+¥+¥= å h(k) å h(r)E x(n - k)x(n + m - r)k =-¥r =-¥+¥+¥= å h(k) å h(r)Rxx (m - r + k)k =-¥r =-¥+¥+¥Ryy (m) = å h(k) å h(r)Rxx (m - r + k)k =-¥r =-¥29輸出隨機(jī)過(guò)程的均值為，其自相關(guān)序列只與時(shí)

26、間r - k = l差有關(guān)，所以它是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。令上式可以寫成：+¥+¥+¥Ryy (m) = å Rx (m - l)Rhh (l)l =-¥k =-¥l =-¥= Rxx (m) * Rhh (m) = Rxx (m) * h(m) *h(-m)+¥式中：Rhh (l) = å h(k)h(l + k) = h(l) * h(-l)k =-¥沖激響應(yīng)的自相關(guān)序列（確定信號(hào)）。是系統(tǒng)305.7.4輸出隨機(jī)過(guò)程的功率譜Syy (z)，因此輸出隨機(jī)過(guò)程的= 0假設(shè)輸入隨機(jī)過(guò)程的均值 mx均值

27、亦為零。則有：Syy (z) = Sxx (z)Shh (z)設(shè) h(n)是實(shí)序列，則有：¥S(z) = å R(m)z-m= H (z)H (z-1)hhhhm=-¥如果h(n) 是復(fù)序列，則： Syy (z) = Sxx (z)H (z)H (1/ z )*所以： Shh (z) = H (z)H (1/ z )*，31(m) = h(m) * h*(-m) ，其中h*(-m)注：當(dāng) h(n)是復(fù)序列時(shí)，Rhh¥-¥ZT éëh*(-m)ùû = å h*(-m)z-m n = -m

28、9;h*(n)zn的Z變換為：m=-¥n=¥ù*úûù*úûé饥11=å h(n)(z*)n=å h(n)()-n= H *()êën=-¥êën=-¥z*z*在 h(n)為實(shí)序列的情況下，有：-1Syy (z) = Sxx (z)H (z)H (z)如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么的收斂域包括jwjwjw2Syy (e) = Sxx (e) H (e)圓，所以：32注：當(dāng)h(n)是實(shí)序列時(shí)，H (e-

29、 jw ) = H *(e jw )。即：輸出隨機(jī)過(guò)程的功率譜等于輸入隨機(jī)過(guò)程的功率譜 頻率特性幅度平方的乘積。5.7.5輸入輸出隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)序列Rxy (m)¥Rxy (m) = Ex(n) y(n + m) = Ex(n) å h(k)x(n + m - k)= å h(k)Ex(n)x(n + m - k)k =-¥k =-¥¥¥= å h(k)Rk =-¥即：Rxy (m) = Rxx (m) * h(m)x (m) * h(m)33系統(tǒng)沖激響應(yīng)的自相關(guān)序列Rhh (m)為：Rhh (m) =

30、 h(m) * h(-m) = å h(l)h(m + l)¥l =-¥所以：Ryy (m) = Ry (m) * h(-m)上式說(shuō)明，輸出隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)序列，可以通過(guò)輸入與輸出間的互相關(guān)序列沖激響應(yīng)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算來(lái)得到(注意：h(m) 與h(-m) 進(jìn)行線性卷積等效于與進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算)。34如果輸入是一個(gè)零均值的平穩(wěn)白噪聲隨機(jī)過(guò)程，其方差為s，自相關(guān)序列是 R2d (m)，功率譜為，2x2根據(jù)Rxy (m) = Rxx (m) * h(m) 有：(m) = s h(m)2Rxyx對(duì)上式進(jìn)行Z變換得： S(z) = s H (z)2xyx如果已知系統(tǒng)輸入和輸出之間的互相關(guān)序列和互功率譜，可以由上式求出系統(tǒng)的沖激響應(yīng)或系統(tǒng)函數(shù)：11H (e jw ) =S(e jw )H (z) =或S(z)ssxyxy2x2x355.7.6輸出隨機(jī)過(guò)程的方差輸出隨機(jī)過(guò)程的均：12p j òc(z)z-1dzE y2 (n) = R(0