二次函數(shù)綜合

1、例題精講例題精講【例 1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的A、B兩個頂點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸xOy的負(fù)半軸上已知OA:OB=1:5，OB=OC，ABC的面積，拋物線15ABCS經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)2(0)yaxbxc a （1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)P(2，3)是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，在線段OC上有一動點(diǎn)M，以每秒 2 個單位的速度從O向C運(yùn)動， （不與點(diǎn)O，C重合） ，過點(diǎn)M作MHBC，交x軸于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動時間為t秒，試把PMH的面積S表示成t的函數(shù)，當(dāng)t為何值時，S有最大值，并求出最大值；（3）設(shè)點(diǎn)E是拋物線上異于點(diǎn)A，B的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)F

2、. 以EF為直徑畫Q，則在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，是否存在與x軸相切的Q？若存在，求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由二次函數(shù)綜合二次函數(shù)綜合yxABCO【例 2】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為 1 的圓的圓心O在坐標(biāo)原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B、C、D四點(diǎn)拋物線yax 2bxc與y軸交于點(diǎn)D，與直線yx交于點(diǎn)M、N，且MA、NC分別與圓O相切于點(diǎn)A和點(diǎn)C（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)E，連結(jié)DE，并延長DE交圓O于F，求EF的長（3）過點(diǎn)B作圓O的切線交DC的延長線于點(diǎn)P，判斷點(diǎn)P是否在拋物線上，說明理由【例 3】 孔明是一個喜歡探究鉆研的同學(xué)，他在和同學(xué)

3、們一起研究某條拋物線的性質(zhì)2(0)yaxa時，將一把直角三角板的直角頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，兩直角邊與該拋物線交O于、兩點(diǎn)，請解答以下問題：AB（1）若測得（如圖 1） ，求的值；2 2OAOBa（2）對同一條拋物線，孔明將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖 2 所示位置時，過作軸于點(diǎn)OBBFx，測得，寫出此時點(diǎn)的坐標(biāo)，并求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；F1OF BA（3）對該拋物線，孔明將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度時驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點(diǎn)、的連線段總經(jīng)OAB過一個固定的點(diǎn)，試說明理由并求出該點(diǎn)的坐標(biāo) OxyNCDEFBMAyxBAO圖 1FEyxBAO圖2【例 4】 已知二次函數(shù)y=x2+4x+5 圖像交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸

4、于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該函數(shù)圖像上一點(diǎn)，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為 4，連BD，點(diǎn)P是AB上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過P作PQAB交射線AD于點(diǎn)Q，以PQ為一邊在PQ的右側(cè)作正方形PQMN.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t ，0）.（1）求點(diǎn)B，C，D的坐標(biāo)及射線AD的解析式；（2）在AB上是否存在點(diǎn)P，使OCM為等腰三角形？若存在，求正方形PQMN 的邊長；若不存在，請說明理由；（3）設(shè)正方形PQMN與ABD重疊部分面積為s，求s與t的函數(shù)關(guān)系式.【例 5】 已知拋物線4y2xkx2k（）當(dāng)時，求出此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；k（）求證：無論為什么實(shí)數(shù)，拋物線都與軸有交點(diǎn)，且經(jīng)過軸上的一定點(diǎn)；kxx（）已知拋物線與軸交于（1，0）

5、 、（2，0）兩點(diǎn)（在的左邊） ，|1|2|，與xxxxx軸交于 C 點(diǎn)，且ABC問：過，三點(diǎn)的圓與該拋物線是否有第四個交點(diǎn)？試y說明理由如果有，求出其坐標(biāo)-5542-2-4-6Oyx1備用圖【例 6】已知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，關(guān)于的二次函數(shù)圖象的頂0m E3 0 ，x333yxmxmm 點(diǎn)為，圖象交軸于兩點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)以為直徑作圓，其圓心為MxAB、yDAB C（1）寫出三點(diǎn)的坐標(biāo)（可用含的代數(shù)式表示） ；ABD、m（2）當(dāng)為何值時點(diǎn)在直線上？判定此時直線與圓的位置關(guān)系？mMEDED（3）連接，當(dāng)變化時，試用表示的面積，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫出SEDmmAEDS關(guān)于m的函數(shù)圖象的示意圖【例 7

6、】 如圖，在直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)，過P作交軸于點(diǎn)，以點(diǎn))3, 2(P軸yPA yA為圓心為半徑作P，交軸于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過A，B，C三PPAxCB,cbxaxy2點(diǎn)（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；（2）求出該拋物線的解析式；（3）拋物線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形的面積是面積QABCPBPQ的 2 倍？若存在，請求出所有滿足條件的點(diǎn)；若不存在，請說明理由BCOEADMyxOSm【例 8】 已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 M(2，0)，直線 yx+2 與該二次函數(shù)的圖象交于 A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn) A 在 y 軸上(如圖示) （1）求該二次函數(shù)的解析式； （2）P 為線段 AB 上一動點(diǎn)(A、B 兩端點(diǎn)除

7、外)，過 P 作 x 軸的垂線與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn) Q，設(shè)線段 PQ 的長為 ，點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 x，求出 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量 x 的取值范圍；ll（3）在（2）的條件下，線段 AB 上是否存在點(diǎn) P，使四邊形 PQMA 為梯形若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)，并求出梯形的面積；若不存在，請說明理由?！纠?9】如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)；二次函數(shù)112yxxAyB的圖象與一次函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，與軸交于212yxbxc112yxBC，x兩點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）.DE，D（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求線段的長及四邊形的面積；BCBDECS（3）在坐標(biāo)軸上是

8、否存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形？PPBCP若存在，求出所有的點(diǎn)，若不存在，請說明理由.P【例 10】使得函數(shù)值為零的自變量的值稱為函數(shù)的零點(diǎn)例如，對于函數(shù)，令，1 xy0 y可得，我們就說 是函數(shù)的零點(diǎn)請根據(jù)零點(diǎn)的定義解決下列問題：1 x11 xy已知函數(shù)（m為常數(shù)） ) 3( 222 mmxxy（1）當(dāng)m=0 時，求該函數(shù)的零點(diǎn)；（2）證明：無論m取何值，該函數(shù)總有兩個零點(diǎn)；（3）設(shè)函數(shù)的兩個零點(diǎn)分別為和，且，此時函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)分別為1x2x411121 xxxA、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)） ，點(diǎn)M在直線上，當(dāng)MA+MB最小時，求直線AM的函數(shù)解10 xy析式【例 11】 已知點(diǎn)A（

9、-1，-1）在拋物線（其中x是自變量）上.122122xkxk)()y （1）求拋物線的對稱軸；（2）若B點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，問是否存在與拋物線只交于一點(diǎn)B的直線？如果存在，求符合條件的直線解析式；如果不存在，說明理由.【例 12】 如圖（1） ，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過 A（-1，0） 、abxaxy32B（0，3）兩點(diǎn)，與 x 軸交于另一點(diǎn) C，頂點(diǎn)為 D（1）求該拋物線的解析式及點(diǎn) C、D 的坐標(biāo)；（2）經(jīng)過點(diǎn) B、D 兩點(diǎn)的直線與 x 軸交于點(diǎn) E，若點(diǎn) F 是拋物線上一點(diǎn)，以 A、B、E、F 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn) F 的坐標(biāo)；（3）如圖（2）P（2，3）

10、是拋物線上的點(diǎn)，Q 是直線 AP 上方的拋物線上一動點(diǎn)，求APQ 的最大面積和此時 Q 點(diǎn)的坐標(biāo)(2)(1)【例 13】已知拋物線L：2212)()(kxkxy（1）證明：不論k取何值，拋物線L的頂點(diǎn)C總在拋物線上； 913xxy22 （2）已知時，拋物線L和x軸有兩個不同的交點(diǎn)A、B，求A、B間距取得最大值0 k4-時k的值；（3）在（2）A、B間距取得最大值條件下（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)） ，直線y=ax+b是經(jīng)過點(diǎn)A，且與拋物線L相交于點(diǎn)D的直線. 問是否存在點(diǎn)D，使ABD為等邊三角形，如果存在，請寫出此時直線AD的解析式；如果不存在，請說明理由.【例 14】 已知拋物線4y2xkx2k（）當(dāng)

11、時，求出此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；k（）求證：無論為什么實(shí)數(shù)，拋物線都與軸有交點(diǎn)，且經(jīng)過軸上的一定點(diǎn)；kxx（）已知拋物線與軸交于（1，0） 、（2，0）兩點(diǎn)（在的左邊） ，|1|2|，與xxxxx軸交于 C 點(diǎn)，且ABC問：過，三點(diǎn)的圓與該拋物線是否有第四個交點(diǎn)？試y說明理由如果有，求出其坐標(biāo)-5542-2-4-6Oyx1【例 15】 已知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，關(guān)于的二次函數(shù)圖象0m E3 0 ，x333yxmxmm 的頂點(diǎn)為，圖象交軸于兩點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)以為直徑作圓，其圓MxAB、yDAB心為 C（1）寫出三點(diǎn)的坐標(biāo)（可用含的代數(shù)式表示） ；ABD、m（2）當(dāng)為何值時點(diǎn)在直線上？判定此時直線與圓的位置

12、關(guān)系？mMEDED（3）連接，當(dāng)變化時，試用表示的面積，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫出SEDmmAEDS關(guān)于m的函數(shù)圖象的示意圖【例 16】 如圖，已知拋物線yx2x4 交x軸的正半軸于點(diǎn) A，交y軸于點(diǎn) B12（1）求 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求直線 AB 的解析式；（2）設(shè) P（x，y） （x0）是直線yx上的一點(diǎn)，Q 是 OP 的中點(diǎn)（O 是原點(diǎn)） ，以 PQ 為對角線作正方形 PEQF，若正方形 PEQF 與直線 AB 有公共點(diǎn)，求x的取值范圍；（3）在（2）的條件下，記正方形 PEQF 與OAB 公共部分的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并探究S的最大值BCOEADMyxOSm【例 17

13、】 如圖，在直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)，過P作交軸于點(diǎn)，以)3, 2(P軸yPA yA點(diǎn)為圓心為半徑作P，交軸于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過A，B，C三PPAxCB,cbxaxy2點(diǎn)（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；（2）求出該拋物線的解析式；（3）拋物線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形的面積是面積QABCPBPQ的 2 倍？若存在，請求出所有滿足條件的點(diǎn)；若不存在，請說明理由【例 18】 已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 M(2，0)，直線 yx+2 與該二次函數(shù)的圖象交于A、B 兩點(diǎn)，其中點(diǎn) A 在 y 軸上(如圖示) （1）求該二次函數(shù)的解析式； （2）P 為線段 AB 上一動點(diǎn)(A、B 兩端點(diǎn)除外)，過 P 作 x

14、軸的垂線與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn) Q，設(shè)線段 PQ 的長為 ，點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 x，求出 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量 x 的取值范圍；ll（3）在（2）的條件下，線段 AB 上是否存在點(diǎn) P，使四邊形 PQMA 為梯形若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)，并求出梯形的面積；若不存在，請說明理由。【例 19】 如圖 1，拋物線與軸交于點(diǎn) A，E（0，b）為軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn) E42xxyyy的直線與拋物線交于點(diǎn) B、Cbxy（1）求點(diǎn) A 的坐標(biāo)；（2）當(dāng) b=0 時（如圖 2），求ABE 與ACE 的面積；（3）當(dāng) b-4 時，ABE 與ACE的面積大小關(guān)系如何？為什么？（4）是否存在這樣的

15、b，使得BOC 是以 BC 為斜邊的直角三角形？若存在，求出 b；若不存在，說明理由 【例 20】如圖，拋物線y=21x2+bx2 與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（一 1，0） 求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；判斷ABC的形狀，證明你的結(jié)論；點(diǎn)M(m，0)是x軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng) CM+DM 的值最小時，求m的值【例 21】 如圖，RtABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3，0） 、 （0，4） ，拋物線經(jīng)過B點(diǎn)，223yxbxc且頂點(diǎn)在直線上52x （1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）若DCE是由ABO沿x軸向右平

16、移得到的，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說明理由；（3）在（2）的條件下，連結(jié)BD，已知在對稱軸上存在一點(diǎn)P，使得PBD的周長最小請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)（4）在（2） 、 （3）的條件下，若點(diǎn)M是線段OB上的一個動點(diǎn)（與點(diǎn)O、B不重合） ，過點(diǎn)M作MNBD交x軸于點(diǎn)N，連結(jié)PM、PN，設(shè)OM的長為t，PMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此時M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由AOByCDEx52x 【例 22】如圖，將腰長為的等腰 RtABC（=90）放在平面直角坐標(biāo)系中的第二象限， 5C使點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

17、，0） ，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B在拋物線上122yaxax（1）寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）將三角板ABC繞頂點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90，到達(dá)的位置請判斷點(diǎn)、是否在AB C BC該拋物線上，并說明理由【例 23】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有點(diǎn)（0，-3） ，M與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn) B的左側(cè)） ，與y軸交于點(diǎn)C、E；拋物線y=ax2+bx-8（a0）經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)； （1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)； （2）試探究：當(dāng)a取何值時，拋物線y=ax2+bx-8（a0）的對稱軸與M相切？ （3）當(dāng)點(diǎn)D在第四象限內(nèi)時，連結(jié)BC、BD，且1tan2CBD試確定a的值

18、；設(shè)此時的拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)是點(diǎn)F，在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)T，使達(dá)到最大，請求出最大值與點(diǎn)T的坐標(biāo)TMTFABCyODBxC【例 24】已知拋物線 y=ax2+bx+c ，當(dāng) x=0 時，有最小值為 1 ；且在直線 y=2 上截得的線段長為 4 .（1）求此拋物線的解析式；（2）若點(diǎn) P 是拋物線的任意一點(diǎn)，記點(diǎn) P 到 X 軸的距離為 d1 ，點(diǎn) P 與點(diǎn) F （0，2）的距離為 d 2 ，猜想 d1、 d 2 的大小關(guān)系，并證明；（3）若直線 PF 交此拋物線于另一點(diǎn) Q（異于 P 點(diǎn)） 。 試判斷以 PQ 為直徑的圓與 x 軸的位置關(guān)系，并說明理由； 以 PQ 為直徑的圓與 y 軸的交點(diǎn)為 A 、B ，若 OAOB = 1 ，求直線 PQ 對應(yīng)的函數(shù)解析式?！纠?25】如圖，拋物線yax2c經(jīng)過點(diǎn)B1（1， )，B2（2， ）. 在該拋物線上取點(diǎn)13712B3（3，y3） ，B4（4，y4） ，B100（100，y100） ，在x軸上依次取點(diǎn)A1，A2，A3，A100，使A1B1A2，A2B2A3，A3B3A4，A100B100A101分別是以B1，B2，B100為頂角的等腰三角形，設(shè)A1的橫坐標(biāo)為t（0t1）.（1）求該拋物線的解析式； （2）記A1B1A2，A2B2A3，A3B3A4，A100B100A101的面積分別為S1，S2，S100，用