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文檔簡介

1、例題精講例題精講【例 1】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,ABC的A、B兩個頂點(diǎn)在x軸上,頂點(diǎn)C在y軸xOy的負(fù)半軸上已知OA:OB=1:5,OB=OC,ABC的面積,拋物線15ABCS經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)2(0)yaxbxc a (1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)點(diǎn)P(2,3)是拋物線對稱軸上的一點(diǎn),在線段OC上有一動點(diǎn)M,以每秒 2 個單位的速度從O向C運(yùn)動, (不與點(diǎn)O,C重合) ,過點(diǎn)M作MHBC,交x軸于點(diǎn)H,設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動時間為t秒,試把PMH的面積S表示成t的函數(shù),當(dāng)t為何值時,S有最大值,并求出最大值;(3)設(shè)點(diǎn)E是拋物線上異于點(diǎn)A,B的一個動點(diǎn),過點(diǎn)E作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)F

2、. 以EF為直徑畫Q,則在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中,是否存在與x軸相切的Q?若存在,求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由二次函數(shù)綜合二次函數(shù)綜合yxABCO【例 2】 如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,半徑為 1 的圓的圓心O在坐標(biāo)原點(diǎn),且與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B、C、D四點(diǎn)拋物線yax 2bxc與y軸交于點(diǎn)D,與直線yx交于點(diǎn)M、N,且MA、NC分別與圓O相切于點(diǎn)A和點(diǎn)C(1)求拋物線的解析式;(2)拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)E,連結(jié)DE,并延長DE交圓O于F,求EF的長(3)過點(diǎn)B作圓O的切線交DC的延長線于點(diǎn)P,判斷點(diǎn)P是否在拋物線上,說明理由【例 3】 孔明是一個喜歡探究鉆研的同學(xué),他在和同學(xué)

3、們一起研究某條拋物線的性質(zhì)2(0)yaxa時,將一把直角三角板的直角頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),兩直角邊與該拋物線交O于、兩點(diǎn),請解答以下問題:AB(1)若測得(如圖 1) ,求的值;2 2OAOBa(2)對同一條拋物線,孔明將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖 2 所示位置時,過作軸于點(diǎn)OBBFx,測得,寫出此時點(diǎn)的坐標(biāo),并求點(diǎn)的橫坐標(biāo);F1OF BA(3)對該拋物線,孔明將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度時驚奇地發(fā)現(xiàn),交點(diǎn)、的連線段總經(jīng)OAB過一個固定的點(diǎn),試說明理由并求出該點(diǎn)的坐標(biāo) OxyNCDEFBMAyxBAO圖 1FEyxBAO圖2【例 4】 已知二次函數(shù)y=x2+4x+5 圖像交x軸于點(diǎn)A、B,交y軸

4、于點(diǎn)C,點(diǎn)D是該函數(shù)圖像上一點(diǎn),且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為 4,連BD,點(diǎn)P是AB上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合),過P作PQAB交射線AD于點(diǎn)Q,以PQ為一邊在PQ的右側(cè)作正方形PQMN.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t ,0).(1)求點(diǎn)B,C,D的坐標(biāo)及射線AD的解析式;(2)在AB上是否存在點(diǎn)P,使OCM為等腰三角形?若存在,求正方形PQMN 的邊長;若不存在,請說明理由;(3)設(shè)正方形PQMN與ABD重疊部分面積為s,求s與t的函數(shù)關(guān)系式.【例 5】 已知拋物線4y2xkx2k()當(dāng)時,求出此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);k()求證:無論為什么實(shí)數(shù),拋物線都與軸有交點(diǎn),且經(jīng)過軸上的一定點(diǎn);kxx()已知拋物線與軸交于(1,0)

5、 、(2,0)兩點(diǎn)(在的左邊) ,|1|2|,與xxxxx軸交于 C 點(diǎn),且ABC問:過,三點(diǎn)的圓與該拋物線是否有第四個交點(diǎn)?試y說明理由如果有,求出其坐標(biāo)-5542-2-4-6Oyx1備用圖【例 6】已知,點(diǎn)的坐標(biāo)為,關(guān)于的二次函數(shù)圖象的頂0m E3 0 ,x333yxmxmm 點(diǎn)為,圖象交軸于兩點(diǎn),交軸正半軸于點(diǎn)以為直徑作圓,其圓心為MxAB、yDAB C(1)寫出三點(diǎn)的坐標(biāo)(可用含的代數(shù)式表示) ;ABD、m(2)當(dāng)為何值時點(diǎn)在直線上?判定此時直線與圓的位置關(guān)系?mMEDED(3)連接,當(dāng)變化時,試用表示的面積,并在給出的直角坐標(biāo)系中畫出SEDmmAEDS關(guān)于m的函數(shù)圖象的示意圖【例 7

6、】 如圖,在直角坐標(biāo)系xoy中,已知點(diǎn),過P作交軸于點(diǎn),以點(diǎn))3, 2(P軸yPA yA為圓心為半徑作P,交軸于點(diǎn),拋物線經(jīng)過A,B,C三PPAxCB,cbxaxy2點(diǎn)(1)求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo);(2)求出該拋物線的解析式;(3)拋物線上是否存在點(diǎn),使得四邊形的面積是面積QABCPBPQ的 2 倍?若存在,請求出所有滿足條件的點(diǎn);若不存在,請說明理由BCOEADMyxOSm【例 8】 已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 M(2,0),直線 yx+2 與該二次函數(shù)的圖象交于 A、B兩點(diǎn),其中點(diǎn) A 在 y 軸上(如圖示) (1)求該二次函數(shù)的解析式; (2)P 為線段 AB 上一動點(diǎn)(A、B 兩端點(diǎn)除

7、外),過 P 作 x 軸的垂線與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn) Q,設(shè)線段 PQ 的長為 ,點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 x,求出 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出自變量 x 的取值范圍;ll(3)在(2)的條件下,線段 AB 上是否存在點(diǎn) P,使四邊形 PQMA 為梯形若存在,求出點(diǎn) P 的坐標(biāo),并求出梯形的面積;若不存在,請說明理由?!纠?9】如圖,一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn);二次函數(shù)112yxxAyB的圖象與一次函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn),與軸交于212yxbxc112yxBC,x兩點(diǎn),且點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).DE,D(1)求二次函數(shù)的解析式;(2)求線段的長及四邊形的面積;BCBDECS(3)在坐標(biāo)軸上是

8、否存在點(diǎn),使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形?PPBCP若存在,求出所有的點(diǎn),若不存在,請說明理由.P【例 10】使得函數(shù)值為零的自變量的值稱為函數(shù)的零點(diǎn)例如,對于函數(shù),令,1 xy0 y可得,我們就說 是函數(shù)的零點(diǎn)請根據(jù)零點(diǎn)的定義解決下列問題:1 x11 xy已知函數(shù)(m為常數(shù)) ) 3( 222 mmxxy(1)當(dāng)m=0 時,求該函數(shù)的零點(diǎn);(2)證明:無論m取何值,該函數(shù)總有兩個零點(diǎn);(3)設(shè)函數(shù)的兩個零點(diǎn)分別為和,且,此時函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)分別為1x2x411121 xxxA、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)) ,點(diǎn)M在直線上,當(dāng)MA+MB最小時,求直線AM的函數(shù)解10 xy析式【例 11】 已知點(diǎn)A(

9、-1,-1)在拋物線(其中x是自變量)上.122122xkxk)()y (1)求拋物線的對稱軸;(2)若B點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,問是否存在與拋物線只交于一點(diǎn)B的直線?如果存在,求符合條件的直線解析式;如果不存在,說明理由.【例 12】 如圖(1) ,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過 A(-1,0) 、abxaxy32B(0,3)兩點(diǎn),與 x 軸交于另一點(diǎn) C,頂點(diǎn)為 D(1)求該拋物線的解析式及點(diǎn) C、D 的坐標(biāo);(2)經(jīng)過點(diǎn) B、D 兩點(diǎn)的直線與 x 軸交于點(diǎn) E,若點(diǎn) F 是拋物線上一點(diǎn),以 A、B、E、F 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn) F 的坐標(biāo);(3)如圖(2)P(2,3)

10、是拋物線上的點(diǎn),Q 是直線 AP 上方的拋物線上一動點(diǎn),求APQ 的最大面積和此時 Q 點(diǎn)的坐標(biāo)(2)(1)【例 13】已知拋物線L:2212)()(kxkxy(1)證明:不論k取何值,拋物線L的頂點(diǎn)C總在拋物線上; 913xxy22 (2)已知時,拋物線L和x軸有兩個不同的交點(diǎn)A、B,求A、B間距取得最大值0 k4-時k的值;(3)在(2)A、B間距取得最大值條件下(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)) ,直線y=ax+b是經(jīng)過點(diǎn)A,且與拋物線L相交于點(diǎn)D的直線. 問是否存在點(diǎn)D,使ABD為等邊三角形,如果存在,請寫出此時直線AD的解析式;如果不存在,請說明理由.【例 14】 已知拋物線4y2xkx2k()當(dāng)

11、時,求出此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);k()求證:無論為什么實(shí)數(shù),拋物線都與軸有交點(diǎn),且經(jīng)過軸上的一定點(diǎn);kxx()已知拋物線與軸交于(1,0) 、(2,0)兩點(diǎn)(在的左邊) ,|1|2|,與xxxxx軸交于 C 點(diǎn),且ABC問:過,三點(diǎn)的圓與該拋物線是否有第四個交點(diǎn)?試y說明理由如果有,求出其坐標(biāo)-5542-2-4-6Oyx1【例 15】 已知,點(diǎn)的坐標(biāo)為,關(guān)于的二次函數(shù)圖象0m E3 0 ,x333yxmxmm 的頂點(diǎn)為,圖象交軸于兩點(diǎn),交軸正半軸于點(diǎn)以為直徑作圓,其圓MxAB、yDAB心為 C(1)寫出三點(diǎn)的坐標(biāo)(可用含的代數(shù)式表示) ;ABD、m(2)當(dāng)為何值時點(diǎn)在直線上?判定此時直線與圓的位置

12、關(guān)系?mMEDED(3)連接,當(dāng)變化時,試用表示的面積,并在給出的直角坐標(biāo)系中畫出SEDmmAEDS關(guān)于m的函數(shù)圖象的示意圖【例 16】 如圖,已知拋物線yx2x4 交x軸的正半軸于點(diǎn) A,交y軸于點(diǎn) B12(1)求 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo),并求直線 AB 的解析式;(2)設(shè) P(x,y) (x0)是直線yx上的一點(diǎn),Q 是 OP 的中點(diǎn)(O 是原點(diǎn)) ,以 PQ 為對角線作正方形 PEQF,若正方形 PEQF 與直線 AB 有公共點(diǎn),求x的取值范圍;(3)在(2)的條件下,記正方形 PEQF 與OAB 公共部分的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)解析式,并探究S的最大值BCOEADMyxOSm【例 17

13、】 如圖,在直角坐標(biāo)系xoy中,已知點(diǎn),過P作交軸于點(diǎn),以)3, 2(P軸yPA yA點(diǎn)為圓心為半徑作P,交軸于點(diǎn),拋物線經(jīng)過A,B,C三PPAxCB,cbxaxy2點(diǎn)(1)求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo);(2)求出該拋物線的解析式;(3)拋物線上是否存在點(diǎn),使得四邊形的面積是面積QABCPBPQ的 2 倍?若存在,請求出所有滿足條件的點(diǎn);若不存在,請說明理由【例 18】 已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 M(2,0),直線 yx+2 與該二次函數(shù)的圖象交于A、B 兩點(diǎn),其中點(diǎn) A 在 y 軸上(如圖示) (1)求該二次函數(shù)的解析式; (2)P 為線段 AB 上一動點(diǎn)(A、B 兩端點(diǎn)除外),過 P 作 x

14、軸的垂線與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn) Q,設(shè)線段 PQ 的長為 ,點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 x,求出 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出自變量 x 的取值范圍;ll(3)在(2)的條件下,線段 AB 上是否存在點(diǎn) P,使四邊形 PQMA 為梯形若存在,求出點(diǎn) P 的坐標(biāo),并求出梯形的面積;若不存在,請說明理由。【例 19】 如圖 1,拋物線與軸交于點(diǎn) A,E(0,b)為軸上一動點(diǎn),過點(diǎn) E42xxyyy的直線與拋物線交于點(diǎn) B、Cbxy(1)求點(diǎn) A 的坐標(biāo);(2)當(dāng) b=0 時(如圖 2),求ABE 與ACE 的面積;(3)當(dāng) b-4 時,ABE 與ACE的面積大小關(guān)系如何?為什么?(4)是否存在這樣的

15、b,使得BOC 是以 BC 為斜邊的直角三角形?若存在,求出 b;若不存在,說明理由 【例 20】如圖,拋物線y=21x2+bx2 與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),且A(一 1,0) 求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);判斷ABC的形狀,證明你的結(jié)論;點(diǎn)M(m,0)是x軸上的一個動點(diǎn),當(dāng) CM+DM 的值最小時,求m的值【例 21】 如圖,RtABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-3,0) 、 (0,4) ,拋物線經(jīng)過B點(diǎn),223yxbxc且頂點(diǎn)在直線上52x (1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;(2)若DCE是由ABO沿x軸向右平

16、移得到的,當(dāng)四邊形ABCD是菱形時,試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上,并說明理由;(3)在(2)的條件下,連結(jié)BD,已知在對稱軸上存在一點(diǎn)P,使得PBD的周長最小請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)(4)在(2) 、 (3)的條件下,若點(diǎn)M是線段OB上的一個動點(diǎn)(與點(diǎn)O、B不重合) ,過點(diǎn)M作MNBD交x軸于點(diǎn)N,連結(jié)PM、PN,設(shè)OM的長為t,PMN的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍S是否存在最大值?若存在,求出最大值并求此時M點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由AOByCDEx52x 【例 22】如圖,將腰長為的等腰 RtABC(=90)放在平面直角坐標(biāo)系中的第二象限, 5C使點(diǎn)C的坐標(biāo)為(

17、,0) ,點(diǎn)A在y軸上,點(diǎn)B在拋物線上122yaxax(1)寫出點(diǎn)A,B的坐標(biāo);(2)求拋物線的解析式;(3)將三角板ABC繞頂點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90,到達(dá)的位置請判斷點(diǎn)、是否在AB C BC該拋物線上,并說明理由【例 23】 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,有點(diǎn)(0,-3) ,M與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn) B的左側(cè)) ,與y軸交于點(diǎn)C、E;拋物線y=ax2+bx-8(a0)經(jīng)過A、C兩點(diǎn),點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn); (1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo); (2)試探究:當(dāng)a取何值時,拋物線y=ax2+bx-8(a0)的對稱軸與M相切? (3)當(dāng)點(diǎn)D在第四象限內(nèi)時,連結(jié)BC、BD,且1tan2CBD試確定a的值

18、;設(shè)此時的拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)是點(diǎn)F,在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)T,使達(dá)到最大,請求出最大值與點(diǎn)T的坐標(biāo)TMTFABCyODBxC【例 24】已知拋物線 y=ax2+bx+c ,當(dāng) x=0 時,有最小值為 1 ;且在直線 y=2 上截得的線段長為 4 .(1)求此拋物線的解析式;(2)若點(diǎn) P 是拋物線的任意一點(diǎn),記點(diǎn) P 到 X 軸的距離為 d1 ,點(diǎn) P 與點(diǎn) F (0,2)的距離為 d 2 ,猜想 d1、 d 2 的大小關(guān)系,并證明;(3)若直線 PF 交此拋物線于另一點(diǎn) Q(異于 P 點(diǎn)) 。 試判斷以 PQ 為直徑的圓與 x 軸的位置關(guān)系,并說明理由; 以 PQ 為直徑的圓與 y 軸的交點(diǎn)為 A 、B ,若 OAOB = 1 ,求直線 PQ 對應(yīng)的函數(shù)解析式?!纠?25】如圖,拋物線yax2c經(jīng)過點(diǎn)B1(1, ),B2(2, ). 在該拋物線上取點(diǎn)13712B3(3,y3) ,B4(4,y4) ,B100(100,y100) ,在x軸上依次取點(diǎn)A1,A2,A3,A100,使A1B1A2,A2B2A3,A3B3A4,A100B100A101分別是以B1,B2,B100為頂角的等腰三角形,設(shè)A1的橫坐標(biāo)為t(0t1).(1)求該拋物線的解析式; (2)記A1B1A2,A2B2A3,A3B3A4,A100B100A101的面積分別為S1,S2,S100,用

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