六年級(jí)下冊奧數(shù)試題數(shù)的整除特征(一)全國通用

1、第 1 講數(shù)的整除特征（一）知識(shí)網(wǎng)絡(luò)數(shù)的整除性質(zhì)主要有：（1）若甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。（2 ）若兩個(gè)數(shù)能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差都能被這個(gè)自然數(shù)整除。（3）幾個(gè)數(shù)相乘，若其中有一個(gè)因數(shù)能被某一個(gè)數(shù)整除，那么它們的積也能被這個(gè)數(shù)整除。（4 ）若一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)也能被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除。（5）若一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除，那么這個(gè)數(shù)也能分別被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)整除。（6 ）若一個(gè)質(zhì)數(shù)能整除兩個(gè)自然數(shù)的乘積，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個(gè)自然數(shù)中的一個(gè)。（7）個(gè)位上是 0、2、4、6、8 的數(shù)都能被 2 整除。（8）個(gè)位上

2、是 0 或者 5 的數(shù)都能被 5 整除。重點(diǎn)難點(diǎn)數(shù)的整除概念、性質(zhì)及整除特征為解決一些整除問題帶了很大方便，在實(shí)際問題中應(yīng)用廣泛。要學(xué)好數(shù)的整除問題，就必須找到規(guī)律，牢記上面的整除性質(zhì)，不可似是而非。學(xué)法指導(dǎo)能被 2 和 5, 4 和 25, 8 和 125 整除的數(shù)的特征是分別看這個(gè)數(shù)的末一位、末兩位、末三位。我們可以綜合推廣成一條：末 n 位數(shù)能被（或）整除的數(shù)，本身必能被（或）整除；反過，末 n 位數(shù)不能被（或）整除的數(shù)，本身必不能被二（或?。┱?。例如，判斷 253200 371601 能否被 16 整除，因?yàn)開,所以只要看各數(shù)的末四位數(shù)能否被16 整除。學(xué)習(xí)這一講知識(shí)要學(xué)會(huì)舉一反三。

3、（9 ）若一個(gè)整數(shù)各位數(shù)字之和能被（10）若一個(gè)整數(shù)末尾兩位數(shù)能被（11）若一個(gè)整數(shù)末尾三位數(shù)能被3 整除，則這個(gè)整數(shù)能被 3 整除。4 整除，則這個(gè)數(shù)能被 4 整除。8 整除，則這個(gè)數(shù)能被 8 整除。9 整除，則這個(gè)整數(shù)能被 9 整除。故能被 3、4、5 整除的最小六位數(shù)=二應(yīng)為 568020b例 2四位數(shù)亠一一能同時(shí)被 2、3、5 整除，問這個(gè)四位數(shù)是多少?思路剖析亠-能同時(shí)被 2、3、5 整除，所以滿足以下三個(gè)條件：個(gè)位數(shù)字B 在 0、2、4、6、8 之中，各位數(shù)字之和是 3 的倍數(shù)，個(gè)位數(shù) B 在 0、5 之中。第一個(gè)和第三個(gè)條件都是針對(duì)個(gè)位數(shù)字的，經(jīng)典例題例 1在 568 后面補(bǔ)上三

4、個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)六位數(shù)，使它能分別被 可能小。3、4、5 整除，且使這個(gè)數(shù)盡思路剖析這個(gè)六位數(shù)分別被 3、4、5 整除，故它應(yīng)滿足如下三個(gè)條件:（1）各位數(shù)字和是 3 的奇數(shù)；（2）末兩位數(shù)組成的兩位數(shù)是 4 的倍數(shù)；（3 ）末位數(shù)為 0 或 5。按此條件很容易找到這個(gè)六位數(shù)。解答不妨設(shè)補(bǔ)上三4、5 整除，因?yàn)橘锉?4 整除，所以 c 不能是 5 而只能是 0，且 b 只可能是 2、4、6、8、0。又因m，所以 3| ( 5+6+8+a+b+0），所以:b=2時(shí), 3|(5+6+8+a+2b=4時(shí), 3|(5+6+8+a+4b=6時(shí), 3|(5+6+8+a+6b=8時(shí), 3|(5+6+8+a+

5、8b=0時(shí), 3|(5+6+8+a+00、3、6、1、 4、7 ；為了使六位數(shù)，咋上盡可能地小，則a 應(yīng)取 0、b 應(yīng)取 2、c 應(yīng)取 0。所以先根據(jù)第二個(gè)條件確定百位數(shù)字A。解答要使能同時(shí)被 2 和 5 整除， 個(gè)位數(shù)字只能是 B=0 ;又要使-能被 3 整除， 所以各位數(shù) 字之和 8+A+1+0=9+A應(yīng)能被 3 整除?？梢钥闯?，當(dāng) A 取 0、3、6、9 時(shí)，各位數(shù)字之和 9+A 可以被 3 整除。所求的四位數(shù)是 8010、8310、8610 8910。例 3有兩堆糖果，第一堆有 513 塊，第二堆有 633 塊，哪一堆可以平均分給9 個(gè)小朋友而無剩余？思路剖析本題實(shí)際上是判斷 513

6、與 633 能否被 9 整除。解答513 各位上數(shù)字之和是 5+1+3=9，能被 9 整除；633 各位上數(shù)字的和是 6+3+3=12，不能被 9 整除。 所以，第一堆可以平均分給9 個(gè)小朋友而無剩余，第二堆平均分給9 個(gè)小朋友還剩余 3 塊。例 4有一個(gè)四位數(shù) 亠-是 9 的倍數(shù)，求 A 的值。思路剖析四位數(shù)一是 9 的倍數(shù)，即能被 9 整除，根據(jù)能被 9 整除的數(shù)的特征，這個(gè)四位數(shù) 的各位數(shù)字之和一定是 9 的倍數(shù)。解答（1）當(dāng)和是 9 時(shí)，3+A+A+仁 9，即 2A=5，所以 A=2 . 5 （舍）；（2）當(dāng)和是 18 時(shí)，3+A+A+1=18，即 2A=14，A=7 ;（3）當(dāng)和是

7、27 時(shí)，3+A+A+1=27，即 2A=23，可見 A=11 . 510 （舍）。所以，A 的值是 7。例 5一位馬虎的采購員買了 72 只桶，洗衣時(shí)將購貨發(fā)票洗爛了，只能依稀看到：72 只桶，共口67. 9元（內(nèi)的數(shù)字洗爛了），請你幫他算一算，他一共用了多少錢？思路剖析用整除性質(zhì)：一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)數(shù)和的積整除，那么這個(gè)數(shù)就能同時(shí)被這兩個(gè)數(shù)整除。例如，整數(shù) a 能被 15 整除，那么這個(gè)數(shù)一定能同時(shí)被3 和 5 整除。這種方法是分析整數(shù)問題的基本方法。解答將口 67. 9元看做口 679 口分，這是 72 只桶的總價(jià)，因?yàn)閱蝺r(jià)X72= 679 口，所以口 679 口能被 72整除。72=8X9

8、,所以口 679應(yīng)該能被 8 和 9 整除。如果口 679 口能被 8 整除，那么它的末三位一定能被8 整除，即 8|79 ，容易算出內(nèi)是 2。因?yàn)榭?6792 能被 9 整除，所以其各數(shù)之和能被 9 整除。口 +6+7+9+2= +24，顯然，中的數(shù)只 能是 3。所以這筆賬是 367. 92 元。答：一共用了 367. 92 元。例 6在里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得六位數(shù)口 678 能被 8、9 和 25 整除。解答解法一：根據(jù) 8、 9 和 25 整除的數(shù)的特征很容易解出此題。這個(gè)六位數(shù)能被 25 整除,根據(jù)能被 25 整除的數(shù)的特征知, 六位數(shù)的末兩位數(shù)可能是00、 25、 50、75；該數(shù)又

9、能被 8 整除,所以這個(gè)六位數(shù)的末三位數(shù)應(yīng)能被 8 整除,而在 800、 825、 850、 875 中只有 800 滿足條件,所以這個(gè)六位數(shù)的個(gè)位、十位都是0；又因?yàn)檫@個(gè)六位數(shù)能被 9 整除,所以這個(gè)六位數(shù)的各位數(shù)字之和（不妨設(shè)首位為）為：+6+7+8=21+能被 9 整除,可推出只能為 6,所以這個(gè)六位數(shù)為 667800。解法二：根據(jù)數(shù)的整除性質(zhì)（4）：如果一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)整除,那么這個(gè)數(shù)也能被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除。因?yàn)?8X25=200，而且 8 與 25 互質(zhì)，根據(jù)整除的性質(zhì)（4）,所求的六位數(shù)能被200 整除，所以個(gè)位、十位都應(yīng)該是 0。然后由這六位數(shù)能被 9 整除,

10、和解法一一樣的方法可知這個(gè)六位數(shù)為667800。例 7有一水果攤一天進(jìn)貨 6 筐,分別裝著香蕉和蘋果,重量為 8 千克、 9 千克、 16 千克、 19 千 克、 23千克和 27 千克。頭一天賣出一筐蘋果,在剩下的 5 筐中,香蕉的重量是蘋果重量的 2 倍。問 賣掉的那筐重多少千克？剩下的 5 筐,哪幾筐是蘋果,哪幾筐是香蕉？思路剖析根據(jù)已知條件： 剩下的 5 筐中香蕉的重量是蘋果的2 倍?？赏瞥觯?剩下的 5 筐中香蕉重量與蘋果重量之和是 3 的倍數(shù)，即能被 3 整除。解答因?yàn)?6 筐水果的總重量： 8+9+16+19+23+27=102 （千克），根據(jù)題意，剩下的 5 筐中香蕉與蘋 果總

11、重量之和是 3 的倍數(shù)，那么賣出的一筐蘋果也必須是 3 的倍數(shù)。從 6 筐水果數(shù)中可知有兩種情況， 賣出一筐蘋果可能是 9 千克或是 27 千克。如果賣出的一筐蘋果是 9 千克，那么 1029=93（千克）。根據(jù)剩下的 5 筐中香蕉的重量與蘋果總重量的 2 倍，則蘋果為 93+（ 1+2） =31 （千克）。從剩下的 8、16、19、23 和 27 中可知 8 千克和 23 千克為蘋果（ 8+23=31 ）。最后剩下 16 千克、 19 千克和 27 千克這三筐為香蕉。如果賣出的一筐蘋果是 27 千克，同理， 10227=75（千克），蘋果為 75+ （1+2）=25（千克），即 16千克與

12、9 千克這兩筐。香蕉便是最后剩下的 8 千克、 19 千克和 23 千克這三筐。所以本題有兩種答案：如果賣出的那筐是 9 千克蘋果，則剩下的 5 筐中 8 千克、 23 千克兩筐為 蘋果， 16千克、 19 千克和 27 千克三筐為香蕉。如果賣出的那筐是 27 千克蘋果，則剩下的 5 筐中 9 千克、 16 千克兩筐為蘋果， 8 千克、 19 千克、 23 千克三筐為香蕉。例 8把 1 至 1997 這 1997 個(gè)自然數(shù)依次寫下，得一個(gè)多位數(shù) 12345678910111219 1994199519961997試求這個(gè)多位數(shù)除以 9 的余數(shù)。思路剖析根據(jù)一個(gè)數(shù)能被 9 整除的特征可以知道：

13、一個(gè)自然數(shù)除以 9 的余數(shù)， 等于這個(gè)自然數(shù)各個(gè)數(shù)位上 數(shù)字和除以 9 的余數(shù)。所以上面求多位數(shù)除以 9 的余數(shù)問題，便轉(zhuǎn)化為求 1 至 1997 這 1997 個(gè)自然數(shù) 中所有數(shù)字之和是多少的問題。解答解法一：因?yàn)?1 至 9 這 9 個(gè)數(shù)字之和為 45，所以 10 至 19, 20 至 29, 30 至 39,，80 至 89, 90 至 99這十個(gè)數(shù)的各位數(shù)位上的數(shù)字和分別為：45+10, 45+20, 45+30, 45+40,，45+80, 45+90。所以，1 至 99 這 99 個(gè)自然數(shù)各位數(shù)字之和為：45+55+65+ +125+135=900因?yàn)?1 至 99 這 99 個(gè)自

14、然數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和為900,所以 100 至 199, 200 至 299,，800 至899, 900 至 999 這些 100 個(gè)數(shù)各位數(shù)位上的數(shù)字和分別為：900+100, 900+200,，900+800, 900+900。所以, 1 至 999 這 999 個(gè)自然數(shù)各位上數(shù)字之和為：900+1000+ +1700+1800=13500因?yàn)?1 至 999 這 999 個(gè)自然數(shù)各位上數(shù)字和為13500,所以 1000 至 1999 這 1000 個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字和為 13500+1000=14500, 這樣 1 至 1999 這 1999 個(gè)自然數(shù)各數(shù)位的數(shù)字和為： 13500

15、+14500=28000。1998、1999 這兩個(gè)數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字和為：27、28。 280002728=27945, 9能整除 27945,所以多位數(shù)除以 9 余 0解法二：將 0 至 1999 這 2000 個(gè)自然數(shù)一頭一尾搭配成如下的 100 組：(0, 1999),(1, 1998),(2, 1997),(3, 1996),(4, 1995),(5, 1994),(6, 1993) (7, 1992),( 8, 1991)(9, 1990),( 10, 1989),，(994, 1005), (995, 1004),( 996,1003),( 997, 1002),( 998, 10

16、01)( 999, 1000),以上各組兩數(shù)之和為1999,并且每一組數(shù)相加時(shí)都不進(jìn)位, 1 至 1999 這 1999 個(gè)自然數(shù)的所有數(shù)字之和等于：(1+9+9+9)X1000=280001998 1999 這兩個(gè)數(shù)各位數(shù)上的數(shù)字之和為：27、28。28000-27-28=27945, 9 能整除 27945,所以多位數(shù)除以 9 余 0。解法三： 因?yàn)橐来螌懗龅娜我膺B續(xù) 9個(gè)自然數(shù)所組成的多位數(shù),一定能被 9整除。 而從 1至 1997一共有 1997個(gè)數(shù)，1997- 9=221 8, 1990、1991、1992、1993 1994、1995 1996 1997 這 8 個(gè)數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)

17、字和為19+20+21+22+23+24+25+26=180 , 180 能被 9 整除,所以多位數(shù)除以 9 余 0。點(diǎn)津?yàn)槭裁匆来螌懗龅娜我膺B續(xù) 9 個(gè)自然數(shù)所組成的多位數(shù)一定能被 9 整除呢？下面解釋一下。因?yàn)槿我膺B續(xù)的 9 個(gè)自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字和除以9 的余數(shù)，必定是 0, 1, 2，7, 8 這 9 個(gè)數(shù)，而這9 個(gè)數(shù)的和為 36,36 能被 9 整除，所以任意依次寫出的 9 個(gè)連續(xù)自然數(shù)組成的多位數(shù)一定能被9 整除。發(fā)散思維訓(xùn)練1.匚一二.這個(gè)四位數(shù)，同時(shí)能被 2、3、4、5、9 整除，求此四位數(shù)。2.55 塊糖分給甲、乙、丙三人，甲分到糖的塊數(shù)是乙的2 倍，丙最少，但也多于 1

18、0 塊，三個(gè)人各分幾塊？3.已知 4205 和 2813 都是 29 的倍數(shù)，1392 和 7018 是不是 29 的倍數(shù)？4.老師買了 72 本相同的書，當(dāng)時(shí)沒有記住每本書的價(jià)格，只用鉛筆記下了用掉的總錢數(shù)口13. 7元，回校后發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)數(shù)字看不清了。請你補(bǔ)上這兩個(gè)數(shù)字(其中為看不清的數(shù)字)。5已知 45 整除，求所有滿足條件的六位數(shù)J。參考答案1.解：因?yàn)?,所以 b=0 或 5。又因?yàn)?故 b=0 ,即原四位數(shù)是 ，r,只需確定 a。因?yàn)?，r，所以 9| (4+5+a)，則 a=0 或 9。又因?yàn)?宀，所以 a=0。所以，滿足條件的四 位數(shù)是 4500。2.解:綜上所述，滿足條件的六位數(shù)是519930 或 919935.由題目條件可知，甲、乙 =人分到的糖的塊數(shù)和是3 的倍數(shù)。設(shè)丙分到塊糖，那么10。當(dāng)=11或=12 時(shí)，55-不能被 3 整除，丙不可能有 11 塊或 12 塊糖。當(dāng)=13 時(shí)，55-13=42, 42 十 3