簡單線性規(guī)劃的應用

1、簡單線性規(guī)劃的應用張園和教學目標：1會用線性規(guī)劃的理論和方法解決一些較簡單的實際問題； 2培養(yǎng)學生觀察、分析、聯(lián)想、以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生自主探究意識，提高學生“建模”和解決實際問題的能力；教學重、難點：教學重點：把實際問題轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題，即建模，并給出解答教學難點：1建立數(shù)學模型把實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題；2尋找整點最優(yōu)解的方法教學方法：講練結(jié)合、分組討論法教學過程：（一）講解新課例1、醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術后的病人配營養(yǎng)餐，甲種原料每含5單位蛋白質(zhì)和10單位鐵質(zhì)，售價3元；乙種原料每含7單位蛋白質(zhì)和4單位鐵質(zhì)，售價2元。若病人每餐至少需要35

2、單位蛋白質(zhì)和40單位鐵質(zhì)，試問：應如何使用甲、乙原料，才能既滿足營養(yǎng)又使費用最??？解析：蛋白質(zhì)(單位/10g)鐵質(zhì)(單位/10g)售價(元/10g)甲5103乙742設甲、乙兩種原料分別用和，需要的費用為，病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)，可表示為。同理，對鐵質(zhì)的要求可表示為。l0:3x+2y=05x+7y=3510x+4y=40A-2-264210642yxO問題成為：在約束條件下，求目標函數(shù)的最小值。作出可行域，令，作直線。由圖可知，把直線平移至頂點時，取最小值。由，元。所以用甲種原料，乙種原料，費用最省。小結(jié)：簡單線性規(guī)劃應用問題的求解步驟：（教師示意學生觀看板書，并給予適當?shù)奶崾荆?將已

3、知數(shù)據(jù)列成表格的形式(這一步可以省略)，設出變量x，y和z;2找出約束條件和目標函數(shù);3作出可行域，并結(jié)合圖象求出最優(yōu)解; 4按題意作答例2、某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本為27元/，售價為50元/，生產(chǎn)中，每千克產(chǎn)品產(chǎn)生的污水，污水有兩種排放方式：方式一：直接排入河流方式二：經(jīng)廠內(nèi)污水處理站處理后排入河流，但受污水處理站技術水平的限制，污水處理率只有，污水處理站最大處理能力是，處理污水的成本是5元/另外，環(huán)保部門對排入河流的污水收費標準是元/，且允許該廠排入河流中污水的最大量是，那么，該廠應選擇怎樣的生產(chǎn)與排污方案，可使其每凈收益最大？分析：為了解決問題，首先要搞清楚是什么因素決定收益 凈收益 =

4、 售出產(chǎn)品的收入生產(chǎn)費用 其中生產(chǎn)費用包括生產(chǎn)成本、污水處理、排污費等設該廠生產(chǎn)的產(chǎn)量為，直接排入河流的污水為，每小時凈收益為元，則：（1）售出產(chǎn)品的收入為元/（2）產(chǎn)品成本為元/（3）污水產(chǎn)生量為，污水處理量為，污水處理費為元/（4）污水未處理率為，所以污水處理廠處理后的污水排放量為，環(huán)保部門要征收的排污費為元/（5）需要考慮的約束條件是：（1）污水處理能力是有限的，即（2）允許排入河流的污水量也是有限的即l0:20.708x-9.96y=00.3x-y=0.90.3x-y=09x+170y=453-11221yxO解析：根據(jù)題意，本問題可歸納為：在約束條件下，求目標函數(shù)的最大值作出可行域。

5、令，作直線，由圖可知，平移直線，在可行域中的頂點處, 取得最大值。由故該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品，直接排入河流的污水為時，可使每小時凈收益最大，最大值為（元）答：該廠應安排生產(chǎn)該產(chǎn)品，直接排入河流的污水為時，其每小時凈收益最大。例3、濱江校區(qū)高一(17)班舉行元旦文藝晚會，布置會場要制作“中國結(jié)”，班長購買了甲、乙兩種顏色不同的彩繩，把它們截成A、B、C三種規(guī)格甲種彩繩每根8元，乙種彩繩每根6元，已知每根彩繩可同時截得三種規(guī)格彩繩的根數(shù)如下表所示：A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格甲種彩繩211乙種彩繩123今需要A、B、C三種規(guī)格的彩繩各15、18、27根，問各截這兩種彩繩多少根，可得所需三種規(guī)格彩繩且花費最少？分析：

6、將已知數(shù)據(jù)列成下表甲種彩繩乙種彩繩所需條數(shù)A規(guī)格2115B規(guī)格1218C規(guī)格1327單 價86解析：設需購買甲種彩繩x根、乙種彩繩y根，共花費z元，則，z=8x+6y在用圖解法求解的過程中，學生發(fā)現(xiàn)：直線l最先經(jīng)過可行域內(nèi)的點A(3.6,7.8)并不是最優(yōu)解,學生馬上想到最優(yōu)解可能是（4，8），引導學生計算花費，花費為80元，有沒有更優(yōu)的選擇?進一步激發(fā)學生興趣：可能是（3，9）嗎? 此時花費為78元，可能是（2，10）嗎？此時花費為76元，可能是，如何尋找最優(yōu)解？滿足題意的點是可行域內(nèi)的整點，首先要找整點，引導學生采用打網(wǎng)格或利用坐標紙的方法；根據(jù)線性規(guī)劃知識，平移直線l,最先經(jīng)過的整點坐標

7、是整數(shù)最優(yōu)解由網(wǎng)格法可得：當x=3，y=9時，zmin=78答：班長應購買3根甲種彩繩、9根乙種彩繩，可使花費最少。小結(jié)：確定最優(yōu)整數(shù)解的方法：1若可行域的“頂點”處恰好為整點，那么它就是最優(yōu)解；（在包括邊界的情況下）2若可行域的“頂點”不是整點或不包括邊界時，一般采用網(wǎng)格法，即先在可行域內(nèi)打網(wǎng)格、描整點、平移直線l、最先經(jīng)過或最后經(jīng)過的整點坐標是整數(shù)最優(yōu)解；這種方法依賴作圖，所以作圖應盡可能精確，圖上操作盡可能規(guī)范（二）課堂練習1已知甲、乙兩煤礦每年的產(chǎn)量分別為200萬噸和300萬噸，需經(jīng)過東車站和西車站兩個車站運往外地.東車站每年最多能運280萬噸煤，西車站每年最多能運360萬噸煤，甲煤礦

8、運往東車站和西車站的運費價格分別為1元/噸和1.5元/噸，乙煤礦運往東車站和西車站的運費價格分別為0.8元/噸和1.6元/噸.煤礦應怎樣編制調(diào)運方案，能使總運費最少?解析：設甲煤礦向東車站運萬噸煤，乙煤礦向東車站運萬噸煤，那么x=200y=300x+y=280x+y=140xyO總運費z=x+1.5(200x)+0.8y+1.6(300y)(萬元) ，即z=7800.5x0.8y.x、y應滿足：作出上面的不等式組所表示的平面區(qū)域，設直線x+y=280與y軸的交點為M，則M(0，280) ，把直線l：0.5x+0.8y=0向上平移至經(jīng)過平面區(qū)域上的點M時，z的值最小。點M的坐標為(0，280)，

9、甲煤礦生產(chǎn)的煤全部運往西車站、乙煤礦向東車站運280萬噸向西車站運20萬噸時，總運費最少。 2高一年級準備組織學生分批去師大新校區(qū)參觀，每天至少要派送480名學生學校與某旅游公司聯(lián)系客運，該公司有7輛小巴、4輛大巴，其中小巴能載16人、大巴能載32人 已知每輛客車每天往返次數(shù)小巴為5次、大巴為3次，每次運輸成本小巴為48元，大巴為60元請問每天應派出小巴、大巴各多少輛，能使總費用最少？解析：設每天派出小巴x輛、大巴y輛，總運費為z元，則 ，z=240x+180y由網(wǎng)格法可得：x=2，y=4時，zmin=1200答：派4輛小巴、2輛大巴費用最少（三）回顧與小結(jié)1把實際問題轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題即建立

10、數(shù)學模型的方法建模主要分清已知條件中，哪些屬于約束條件，哪些與目標函數(shù)有關。求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解的格式與步驟：（1）尋找線性約束條件，線性目標函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）在可行域內(nèi)求目標函數(shù)的最優(yōu)解2求解整點最優(yōu)解的解法：網(wǎng)格法網(wǎng)格法主要依賴作圖，要規(guī)范地作出精確圖形 （四）布置作業(yè)1、P109頁 B組第2題2、要將甲、乙兩種長短不同的鋼管截成A、B、C三種規(guī)格，每根鋼管可同時截得三種規(guī)格的短鋼管的根數(shù)如下表所示： 規(guī)格類型鋼管類型A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格甲種鋼管214乙種鋼管231Oxy4x+y=182x+2y=13x+3y=16今需A、B、C三種規(guī)格的鋼管各13、16、18根，問各截這兩種鋼管多少根可得所需三種規(guī)格鋼管，且使所用鋼管根數(shù)最少解析：設需截甲種鋼管x根，乙種鋼管y根，則作出可行域(如圖)：目標函數(shù)為，作出一組平行直線中(t為參數(shù))經(jīng)過可行