分式的概念和性質(zhì)(提高)+答案

1、分式的概念和性質(zhì)提高【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意義、分式無意義、分式值為0的條件. 2掌握分式的根本性質(zhì)，并能利用分式的根本性質(zhì)將分式恒等變形，進(jìn)而進(jìn)行條件計算.【要點(diǎn)梳理】【高清課堂403986 分式的概念和性質(zhì) 知識要點(diǎn)】要點(diǎn)一、分式的概念一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要點(diǎn)詮釋：1分式的形式和分?jǐn)?shù)類似，但它們是有區(qū)別的.分?jǐn)?shù)是整式，不是分式，分式是兩個整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分?jǐn)?shù)的分子、分母中都不含字母. 2分式與分?jǐn)?shù)是相互聯(lián)系的：由于分式中的字母可以表示不同的數(shù)，所以分式比分?jǐn)?shù)更具有一般

2、性；分?jǐn)?shù)是分式中字母取特定值后的特殊情況. 3分母中的“字母是表示不同數(shù)的“字母，但表示圓周率，是一個常數(shù)，不是字母，如是整式而不能當(dāng)作分式. 4分母中含有字母是分式的一個重要標(biāo)志，判斷一個代數(shù)式是否是分式不能先化簡，如是分式，與有區(qū)別，是整式，即只看形式，不能看化簡的結(jié)果.要點(diǎn)二、分式有意義，無意義或等于零的條件 1.分式有意義的條件：分母不等于零.2.分式無意義的條件：分母等于零.3.分式的值為零的條件：分子等于零且分母不等于零.要點(diǎn)詮釋：1分式有無意義與分母有關(guān)但與分子無關(guān)，分式要明確其是否有意義，就必須分析、討論分母中所含字母不能取哪些值，以防止分母的值為零. 2本章中如果沒有特殊說明

3、，所遇到的分式都是有意義的，也就是說分式中分母的值不等于零. 3必須在分式有意義的前提下，才能討論分式的值.要點(diǎn)三、分式的根本性質(zhì)分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變，這個性質(zhì)叫做分式的根本性質(zhì)，用式子表示是：其中M是不等于零的整式.要點(diǎn)詮釋：1根本性質(zhì)中的A、B、M表示的是整式.其中B0是條件中隱含著的條件，一般在解題過程中不另強(qiáng)調(diào)；M0是在解題過程中另外附加的條件，在運(yùn)用分式的根本性質(zhì)時，必須重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)M0這個前提條件. 2在應(yīng)用分式的根本性質(zhì)進(jìn)行分式變形時，雖然分式的值不變，但分式中字母的取值范圍有可能發(fā)生變化.例如：，在變形后，字母的取值范圍變大了.要點(diǎn)四、分式

4、的變號法那么對于分式中的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變；改變其中任何一個或三個，分式成為原分式的相反數(shù).要點(diǎn)詮釋：根據(jù)分式的根本性質(zhì)有，.根據(jù)有理數(shù)除法的符號法那么有.分式與互為相反數(shù).分式的符號法那么在以后關(guān)于分式的運(yùn)算中起著重要的作用.要點(diǎn)五、分式的約分，最簡分式與分?jǐn)?shù)的約分類似，利用分式的根本性質(zhì)，約去分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.如果一個分式的分子與分母沒有相同的因式1除外，那么這個分式叫做最簡分式.要點(diǎn)詮釋：1約分的實(shí)質(zhì)是將一個分式化成最簡分式，即約分后，分式的分子與分母再沒有公因式.2約分的關(guān)鍵是確定分式的分子與分母的

5、公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系數(shù)的最大公約數(shù)與相同因式最低次冪的積；當(dāng)分式的分子、分母中含有多項式時，要先將其分解因式，使之轉(zhuǎn)化為分子與分母是不能再分解的因式積的形式，然后再進(jìn)行約分.要點(diǎn)六、分式的通分與分?jǐn)?shù)的通分類似，利用分式的根本性質(zhì)，使分式的分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分.要點(diǎn)詮釋：1通分的關(guān)鍵是確定各分式的最簡公分母：一般取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母. 2如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)與相同字母的最高次冪的乘積；如果各分母都是多項式，就要先把它們分解因式，然后

6、再找最簡公分母. 3約分和通分恰好是相反的兩種變形，約分是對一個分式而言，而通分那么是針對多個分式而言.【典型例題】類型一、分式的概念【高清課堂403986 分式的概念和性質(zhì) 例1】1、指出以下各式中的整式與分式：，【思路點(diǎn)撥】判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母那么是分式，如果不含有字母那么不是分式【答案與解析】解：整式有：，；分式有：，【總結(jié)升華】判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母此題判斷容易出錯的地方有兩處：一個是把也看作字母來判斷，沒有弄清是一個常數(shù)；另一個就是將分式化簡成整式后再判斷，如和，前一個是整式，后一個是分式，它們表示的意義和取值范圍是不相同的類型二、分式有意

7、義，分式值為0【高清課堂403986 分式的概念和性質(zhì) 例2】2、 當(dāng)取什么數(shù)時，以下分式有意義？當(dāng)取什么數(shù)時，以下分式的值為零？1；2；3【答案與解析】解：1當(dāng)，即時，分式有意義 為非負(fù)數(shù)，不可能等于1， 對于任意實(shí)數(shù)，分式都有意義；當(dāng)時，分式的值為零2當(dāng)即時，分式有意義；當(dāng)即時，分式的值為零3當(dāng)，即時，分式有意義；當(dāng)時，分式的值為零，由得時，由得，互相矛盾 不管取什么值，分式的值都不等于零【總結(jié)升華】分母不為零時，分式有意義；分子的值為零，而分母的值不為零時，分式的值為零舉一反三：【變式1】假設(shè)分式的值為0，那么的值為_.【答案】2； 提示：由題意，所以.【變式2】當(dāng)取何值時，分式的值恒為

8、負(fù)數(shù)？【答案】 解： 由題意可知或解不等式組該不等式組無解解不等式組得所以當(dāng)時，分式的值恒為負(fù)數(shù)類型三、分式的根本性質(zhì)【高清課堂403986 分式的概念和性質(zhì) 例4】3、不改變分式的值，使以下分式的分子與分母的最高次項的系數(shù)是正數(shù). (1) ； (2)； (3) .【答案與解析】解：(1)；(2) ；(3).【總結(jié)升華】(1)、根據(jù)分式的意義，分?jǐn)?shù)線代表除號，又起括號的作用；(2)、添括號法那么：當(dāng)括號前添“號，括號內(nèi)各項的符號不變；當(dāng)括號前添“號，括號內(nèi)各項都變號.舉一反三：【變式】以下分式變形正確的選項是 A BC D【答案】D；提示：將分式變形時，注意將分子、分母同乘或除以同一個不為0的

9、整式這一條件其中A項分子、分母乘的不是同一整式，B項中這一條件不知是否成立，故A、B兩項均是錯的C項左邊可化為：，故C項亦錯，只有D項的變形是正確的類型四、分式的約分、通分4、約分：1；2；通分：3與；4，【答案與解析】解：1；2；3最簡公分母是，4最簡公分母是，【總結(jié)升華】如果分子、分母都是單項式，那么可直接約去分子、分母的公因式，也就是分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)與相同字母的最低次冪通分的關(guān)鍵是確定幾個分式的最簡公分母，假設(shè)分母是多項式，那么要因式分解，要防止遺漏只在一個分母中出現(xiàn)的字母以及符號的變化情況 類型五、分式條件求值5、假設(shè)，求的值【思路點(diǎn)撥】此題可利用分式的根本性質(zhì)，采用整體代入

10、法，或把分式的分子與分母化成只含同一字母的因式，使問題得到解決【答案與解析】解法一：因為，可知，所以解法二：因為，所以，且，所以【總結(jié)升華】此題的整體代入思想是數(shù)學(xué)中一種十分重要的思想一般情況下，在條件中含有不定量時，不需求其具體值，只需將其作為一個“整體代入進(jìn)行運(yùn)算，就可以到達(dá)化簡的目的舉一反三：【變式】，求的值【答案】解： 設(shè)，那么， 【穩(wěn)固練習(xí)】一.選擇題1假設(shè)分式的值為0，那么的值為 A3B3C±3D22.把分式中的都擴(kuò)大倍0，那么分式的值 A擴(kuò)大倍B縮小倍C不變D不能確定3假設(shè)分式有意義，那么滿足的關(guān)系是 AB CD4假設(shè)分式的值是負(fù)數(shù)，那么滿足 A0B1 C1D15下面四

11、個等式：其中正確的有 A0個B1個C2個D3個6化簡的正確結(jié)果是 ABCD二.填空題7.使分式有意義的條件為_8.分式有意義的條件為_9當(dāng)_時，分式的值為零10填空：11填入適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式，使等式成立1212. 分式約分的結(jié)果是_三.解答題13.假設(shè)的值為零，求的值14.，求的值15.1閱讀下面解題過程：求的值解：即2請借鑒1中的方法解答下面的題目：求的值【答案與解析】一.選擇題1. 【答案】B； 【解析】由題意且，解得.2. 【答案】C； 【解析】.3. 【答案】D； 【解析】由題意，所以.4. 【答案】D； 【解析】因為所以即1.5. 【答案】C； 【解析】正確.6. 【答案】B； 【解析】.二.填空題7.