北京理工大學(xué)信號(hào)與系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)報(bào)告5 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

1、實(shí)驗(yàn)5連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析（綜合型實(shí)驗(yàn)）一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?）掌握拉普拉斯變換及其反變換的定義并掌握MATLAB實(shí)現(xiàn)方法。2）學(xué)習(xí)和掌握連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)函數(shù)的定義及復(fù)頻域分析方法。3）掌握系統(tǒng)零極點(diǎn)的定義，加深理解系統(tǒng)零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)特性的關(guān)系。二、實(shí)驗(yàn)原理與方法1.拉普拉斯變換連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)的拉普拉斯變換定義為 （1）拉普拉斯反變換為 （2）MATLAB中相應(yīng)函數(shù)如下： 符號(hào)表達(dá)式F拉氏變換，F(xiàn)中時(shí)間變量為t，返回變量為s的結(jié)果表達(dá)式。用t替換結(jié)果中的變量s。以s為變量的符號(hào)表達(dá)式L的拉氏反變換，返回時(shí)間變量為t的結(jié)果表達(dá)式。用x替換結(jié)果中的變量t。拉氏變換還可采用部分分式法，當(dāng)為有理分式時(shí)

2、，它可以表示為兩個(gè)多項(xiàng)式之比： （3）上式可以采用部分分式法展成以下形式 （4）再通過查找常用拉氏變換對(duì)易得反變換。利用residue函數(shù)可將X(s)展成（4）式形式，調(diào)用格式為：其中b、a為分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量，r、p、k分別為上述展開式中的部分分式系數(shù)、極點(diǎn)和直項(xiàng)多項(xiàng)式系數(shù)。2.連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是指系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的拉氏變換 （5）連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)還可以由系統(tǒng)輸入與輸出信號(hào)的拉氏變換之比得到。 （6）單位沖激響應(yīng)反映了系統(tǒng)的固有性質(zhì)，而從復(fù)頻域反映了系統(tǒng)的固有性質(zhì)。由（6）描述的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為的有理函數(shù) （7）3.連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零極點(diǎn)分析系

3、統(tǒng)的零點(diǎn)指使式（7）的分子多項(xiàng)式為零的點(diǎn)，極點(diǎn)指使分母多項(xiàng)式為零的點(diǎn)，零點(diǎn)使系統(tǒng)的值為零，極點(diǎn)使系統(tǒng)的值為無窮大。通常將系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)繪在s平面上，零點(diǎn)用表示，極點(diǎn)用表示，這樣得到的圖形為零極點(diǎn)分布圖?？梢酝ㄟ^利用MATLAB中的求多項(xiàng)式根的roots函數(shù)來實(shí)現(xiàn)對(duì)（7）分子分母根的求解，調(diào)用格式如下：r=roots(c)，c為多項(xiàng)式的系數(shù)向量，返回值r為多項(xiàng)式的根向量。求取零極點(diǎn)以及繪制系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖可以采用pzmap函數(shù)，調(diào)用格式如下：pzmap(sys)繪出由系統(tǒng)模型sys描述的系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖。p,z=pzmap(sys)這種調(diào)用方式返回極點(diǎn)與零點(diǎn)，不繪出零極點(diǎn)分布圖。還有兩

4、個(gè)專用函數(shù)tf2zp和zp2tf可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型和零極點(diǎn)增益模型的轉(zhuǎn)換。調(diào)用格式如下：z,p,k=tf2zp(b,a)b,a=tf2zp(z,p,k)研究系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布不僅可以了解系統(tǒng)沖激響應(yīng)的形式，還可以了解系統(tǒng)的頻率特性以及判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1） 零極點(diǎn)分布與沖激響應(yīng)的關(guān)系系統(tǒng)的極點(diǎn)位置決定著系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的波形，沖激響應(yīng)的幅值是由系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)共同確定的，系統(tǒng)的零點(diǎn)位置只影響沖激響應(yīng)的幅度和相位，不影響波形。2） 零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)頻率響應(yīng)的關(guān)系系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布不僅決定了系統(tǒng)函數(shù)H(s)，也決定了系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，根據(jù)系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布情況，可以由幾何矢量法分析系

5、統(tǒng)的頻率響應(yīng)。3） 零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有性質(zhì)，與激勵(lì)信號(hào)無關(guān)，由于系統(tǒng)函數(shù)包含了系統(tǒng)的所固有的性質(zhì)，因而可以根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因果系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是的全部極點(diǎn)位于s的左半平面。三實(shí)驗(yàn)內(nèi)容（1）已知系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，輸入信號(hào)，試采用復(fù)頻域的方法求解系統(tǒng)的響應(yīng)，編寫MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)。代碼：%DFTfifth_2_1.msyms th=heaviside(t)-heaviside(t-2);x=heaviside(t);H=laplace(h);X=laplace(x);Y=H*X;y=ilaplace(Y)>> DFTfifth_2

6、_1 y = t - heaviside(t - 2)*(t - 2)所以系統(tǒng)的響應(yīng)為y(t)=t-(t-2)*u(t-2)（2）已知因果連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別如下：1）2）試采用MATLAB繪出其零極點(diǎn)分布圖，求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)和頻率響應(yīng)，并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。1）>> b=1;>> a=1 2 2 1;>> sys=tf(b,a);>> p,z=pzmap(sys)p = -1.0000 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660iz = Empty matrix: 0-by-1>> pzmap

7、(sys)所有極點(diǎn)都位于s平面的左半平面，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。>> syms s>> Hs=1/(s3+2*s2+2*s+1);>> h=ilaplace(Hs) h = exp(-t) - exp(-t/2)*(cos(3(1/2)*t)/2) - (3(1/2)*sin(3(1/2)*t)/2)/3)所以系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為繪制時(shí)域和頻域的曲線：b=1;a=1 2 2 1;sys=tf(b,a);subplot(311);impulse(sys);xlabel('t');title('h(t)');subplot(312);H,

8、w=freqs(b,a);plot(w,abs(H);xlabel('w');ylabel('Magnitude');title('abs(H)');subplot(313);plot(w,angle(H);xlabel('w');ylabel('phase');title('phase(H)');2）>> b=1 0 1;>> a=1 2 -3 3 3 2;>> sys=tf(b,a)sys = s2 + 1 - s5 + 2 s4 - 3 s3 + 3 s2

9、+ 3 s + 2 Continuous-time transfer function.>> p,z=pzmap(sys)p = -3.1704 0.9669 + 0.9540i 0.9669 - 0.9540i -0.3817 + 0.4430i -0.3817 - 0.4430iz = 0 + 1.0000i 0 - 1.0000i>> pzmap(sys)由于s平面有半平面有極點(diǎn)，所以是不穩(wěn)定系統(tǒng)。繪制沖激響應(yīng)和頻域響應(yīng)的圖形方法同上一題圖形如下：（3）已知連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)位置分別如下所示（設(shè)系統(tǒng)無零點(diǎn)）：分別繪制以下六種不同情況下，系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖，

10、并繪制相應(yīng)沖激響應(yīng)的時(shí)域波形，觀察并分析系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)位置對(duì)沖激響應(yīng)時(shí)域特性的影響。1） p=0>> b=1;>> a=1 0;>> sys=tf(b,a)sys = 1 - s Continuous-time transfer function.>> pzmap(sys)>> syms t>> h=heaviside(t);>> ezplot(h,-5 5)>> title('h(t)')2） p=-2>> b=1;>> a=1 2;>> sys=

11、tf(b,a)sys = 1 - s + 2 Continuous-time transfer function.>> pzmap(b,a)>> syms t>> h=exp(-2*t)*heaviside(t);>> ezplot(h)3)p=2>> b=1;>> a=1 -2;>> sys=tf(b,a)sys = 1 - s - 2 Continuous-time transfer function.>> pzmap(b,a)>> syms t>> h=exp(2*t)

12、*heaviside(t);>> ezplot(h)4) >> b=1;>> a=1 0 4;>> sys=tf(b,a)sys = 1 - s2 + 4 Continuous-time transfer function.>> pzmap(b,a)>> syms t>> h=(1/2)*sin(2*t)*heaviside(t);>> ezplot(h)5) >> b=1;>> a=1 2 17;>> sys=tf(b,a)sys = 1 - s2 + 2 s

13、+ 17 Continuous-time transfer function.>> pzmap(b,a)>> syms t>> h=(1/2)*exp(-t)*sin(2*t)*heaviside(t);>> ezplot(h)6) >> b=1;>> a=1 -2 17;>> sys=tf(b,a)sys = 1 - s2 - 2 s + 17 Continuous-time transfer function.>> pzmap(b,a)>> syms t>> h=exp(

14、t)*sin(2*t)*heaviside(t)/2;>> ezplot(h)極點(diǎn)在左半平面時(shí)呈衰減趨勢(shì)，在左半平面坐標(biāo)軸上時(shí)呈指數(shù)衰減，在非坐標(biāo)軸位置上時(shí)成衰減振蕩；在右半平面時(shí)成增加趨勢(shì)，在右半平面坐標(biāo)軸上時(shí)呈增加趨勢(shì)，在非坐標(biāo)軸上時(shí)呈增幅振蕩；在縱軸上時(shí)，在非原點(diǎn)時(shí)呈等幅振蕩，在原點(diǎn)時(shí)為單位階躍響應(yīng)。（4）已知三個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，極點(diǎn)相同，零點(diǎn)不同，試用MATLAB分別繪制系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖及相應(yīng)沖激響應(yīng)的時(shí)域波形，觀察并分析系統(tǒng)函數(shù)零點(diǎn)位置對(duì)沖激響應(yīng)時(shí)域特性的影響。1）>> b=1;>> a=1 2 17;>> sys=tf(b,

15、a)sys = 1 - s2 + 2 s + 17 Continuous-time transfer function.>> pzmap(b,a)>> syms t>> h=(1/4)*exp(-t)*sin(4*t)*heaviside(t);>> ezplot(h)>> axis tight2）>> b=1 8;>> a=1 2 17;>> sys=tf(b,a)sys = s + 8 - s2 + 2 s + 17 Continuous-time transfer function.>&

16、gt; pzmap(b,a)>> syms s>> H=(s+8)/(s2+2*s+17);>> h=ilaplace(H) h = exp(-t)*(cos(4*t) + (7*sin(4*t)/4)>> clear>> syms t>>h=exp(-t)*(cos(4*t)+(7*sin(4*t)/4)*heaviside(t);>> ezplot(h)>> axis tight3）>> b=1 -8;>> a=1 2 17;>> sys=tf(b,a)sys = s - 8 - s2 + 2 s + 17 Continuous-time transfer function.>> pzmap(b,a)>> syms s>> H=(s-8)/(s2+2*s+17);>> h=ilaplace(H) h = exp(-t)*(cos(4*t) - (9*sin(4*t)/4)>>