材料力學(xué)壓桿的穩(wěn)定性

1、.11.1 11.1 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念(a)(b) 拉壓桿的強(qiáng)度條件為：拉壓桿的強(qiáng)度條件為： = FNA(a): 木桿的橫截面為矩形（木桿的橫截面為矩形（1 2cm), 高為高為 3cm，當(dāng)荷載重量為，當(dāng)荷載重量為6kN時(shí)桿還不致時(shí)桿還不致 破壞。破壞。(b): 木木桿的橫截面與桿的橫截面與(a)相同，高為相同，高為1.4m ( (細(xì)長(zhǎng)壓桿）細(xì)長(zhǎng)壓桿），當(dāng)壓力為當(dāng)壓力為0.1KN時(shí)桿時(shí)桿 被壓彎，導(dǎo)致破壞。被壓彎，導(dǎo)致破壞。 (a)和和(b)竟相差竟相差60倍，為什么？倍，為什么？一、概述.穩(wěn)定性：構(gòu)件在外力作用下保持其原有平衡狀態(tài)的能力，是桿件承載能力的一個(gè)方面。本章主要針對(duì)本章

2、主要針對(duì)細(xì)長(zhǎng)壓桿穩(wěn)定性細(xì)長(zhǎng)壓桿穩(wěn)定性失穩(wěn)（屈曲）：桿件因不能保持原有的直線平衡狀態(tài)，喪失了繼續(xù)承載的能力。壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性.二、工程示例壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性.1907年加拿大圣勞倫斯河上的魁北克橋年加拿大圣勞倫斯河上的魁北克橋（倒塌前正在進(jìn)行懸臂法架設(shè)中跨施工）（倒塌前正在進(jìn)行懸臂法架設(shè)中跨施工）壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性.倒塌后成為一片廢墟倒塌后成為一片廢墟壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性. 1925年蘇聯(lián)莫茲爾年蘇聯(lián)莫茲爾橋在試車時(shí)因橋梁橋在試車時(shí)因橋梁桁架壓桿失穩(wěn)導(dǎo)致破桁架壓桿失穩(wěn)導(dǎo)致破壞時(shí)的情景。壞時(shí)的情景。壓桿

3、的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性.這是這是1966年我國(guó)廣東鶴地水庫(kù)弧門由于大風(fēng)導(dǎo)致年我國(guó)廣東鶴地水庫(kù)弧門由于大風(fēng)導(dǎo)致支臂柱失穩(wěn)的實(shí)例。支臂柱失穩(wěn)的實(shí)例。壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性. 1983年年10月月4日，高日，高54.2m、長(zhǎng)、長(zhǎng)17.25m、總重總重565.4KN大型腳手架局部大型腳手架局部失穩(wěn)坍塌，失穩(wěn)坍塌，5人死亡、人死亡、7人人受傷受傷 。壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性三三 平衡的穩(wěn)定性平衡的穩(wěn)定性穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡隨遇平衡隨遇平衡壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性.FFcrFFcrFFcrFFcrF=FcrF=FcrFFcrFFcr壓桿平衡的穩(wěn)定性壓桿平衡的穩(wěn)定性穩(wěn)定平衡狀態(tài)穩(wěn)定平衡狀態(tài)隨

4、遇平衡狀態(tài)隨遇平衡狀態(tài)（臨界狀態(tài)）（臨界狀態(tài)）不穩(wěn)定不穩(wěn)定平衡狀態(tài)平衡狀態(tài). Pcr 臨界狀態(tài)是壓桿從穩(wěn)定平衡向不穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)化的極限狀態(tài)。 壓桿處于臨界狀態(tài)時(shí)的軸向壓力稱為臨界壓力或臨界載荷，一般用Pcr表示。 它和多方面因素有關(guān)，是判斷壓桿是否失穩(wěn)的一個(gè)指標(biāo)。 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性11.211.2 兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力 歐拉方法歐拉方法0dd222ykxy臨界載荷作用下的彎矩方程臨界載荷作用下的彎矩方程: yPxMcr)(當(dāng)當(dāng) p令令EIPkcr2EIyPEIxMxycr)(dd22lPPPcrPcrxyy推導(dǎo)：推導(dǎo)： 壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性邊界條件邊界條件

5、: : 解的形式為解的形式為: : kxBkxAycossin0 , 00lxxyy 0, sin0Akl,.)3 , 2 , 1( ,nnklEIPlnkcr22)(222lEInPcrlPcrPcrxyyn稱為半波數(shù)稱為半波數(shù)通解：通解：壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性(i) 0 B (ii) 0sinAkl. 臨界力是使壓桿在微小彎曲狀態(tài)下平衡的最小軸臨界力是使壓桿在微小彎曲狀態(tài)下平衡的最小軸向壓力向壓力選擇一個(gè)半波選擇一個(gè)半波: n=1, 22lEIPcr歐拉公式歐拉公式壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性關(guān)于歐拉公式的討論關(guān)于歐拉公式的討論: :22lEIPcr1）2）3）crPE21crPlcrPI壓

6、桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性1、適用條件：理想壓桿（軸線為直線，壓力與軸線重合，材料均勻）線彈性，小變形兩端為鉸支座.分析：分析：壓桿總是在抗彎能力最小的縱向平面內(nèi)彎曲壓桿總是在抗彎能力最小的縱向平面內(nèi)彎曲minII xyzhb上圖矩形截面的壓桿應(yīng)在哪個(gè)平面內(nèi)失穩(wěn)彎曲？上圖矩形截面的壓桿應(yīng)在哪個(gè)平面內(nèi)失穩(wěn)彎曲？（繞哪個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)）（繞哪個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)）FPFP壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性.對(duì)于矩形截面：對(duì)于矩形截面：,1213bhIz3121hbIyhbzyIIzybhxyzhb所以該矩形截面壓桿應(yīng)在所以該矩形截面壓桿應(yīng)在xz平面內(nèi)平面內(nèi)失穩(wěn)彎曲；即，繞失穩(wěn)彎曲；即，繞 y 軸轉(zhuǎn)動(dòng)。軸轉(zhuǎn)動(dòng)。壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定

7、性.11.3 11.3 其他支座條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力一端固定一端自由22cr)2( lEIF對(duì)于其他支座條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿，求臨界壓力有兩種方法：1、從撓曲線微分方程入手2、比較變形曲線ABCll.其他支座條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力lABC0.7lcrF4l4lABCD2lcrF兩端固定22cr)5 . 0(lEIF 一端固定一端鉸支22cr)7 . 0(lEIF .其他支座條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力長(zhǎng)度系數(shù)（無(wú)量綱）相當(dāng)長(zhǎng)度（相當(dāng)于兩端鉸支桿）l歐拉公式的普遍形式：2)(2lEIFcr 兩端鉸支22cr)(lEIF xlyOFxF.其他支座條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力. 構(gòu)件約束形式的簡(jiǎn)化1）柱形鉸

8、約束xyxzxy平面簡(jiǎn)化兩端鉸支 1xz平面簡(jiǎn)化兩端固定 0.512）焊接或鉚接Fl1Fl2.3）螺母和絲桿連接d0l0001.5ld簡(jiǎn)化為固定鉸003ld簡(jiǎn)化為固定端簡(jiǎn)化為非完全鉸，可選取 0.735 . 100dl4）千斤頂2FPFP.5) 工作臺(tái)16) 彈性支承2FP0.7FP彈簧剛度:C0 2C 0.7C0 20.7FPFP20.7FP.11.411.4 歐拉公式的使用范圍歐拉公式的使用范圍 臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖1、臨界應(yīng)力22 Ecr.歐拉公式只適用于大柔度壓桿 桿長(zhǎng)l約束條件 截面形狀尺寸i 集中反映了桿長(zhǎng)、約束條件、截面形狀尺寸對(duì) 的影響。 cr 2、歐拉公式適用范圍1 pc

9、rE 22當(dāng)pE 2即pE 21令歐拉公式的使用范圍歐拉公式的使用范圍 臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖.3、中小柔度桿臨界應(yīng)力計(jì)算 bacrbas 2 (小柔度桿)(中柔度桿)scr a、b 材料常數(shù)pcrs 當(dāng)12 即經(jīng)驗(yàn)公式（直線公式）scr bas 2令歐拉公式的使用范圍歐拉公式的使用范圍 臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖.il 壓桿柔度AIi 四種取值情況，臨界柔度PE 21P 比例極限bas 2s 屈服極限2 (小柔度桿)21 (中柔度桿)臨界應(yīng)力1 (大柔度桿)歐拉公式22 Ecr bacr直線公式強(qiáng)度問題scr 歐拉公式的使用范圍歐拉公式的使用范圍 臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖.臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)

10、力總圖：臨界應(yīng)力與柔度之間的變化關(guān)系圖。 bacr s P S P22Ecr細(xì)長(zhǎng)壓桿。細(xì)長(zhǎng)壓桿。ilcro直線型經(jīng)驗(yàn)公式中柔度桿粗短桿大柔度桿細(xì)長(zhǎng)桿細(xì)長(zhǎng)桿發(fā)生彈性屈曲發(fā)生彈性屈曲 (p)中長(zhǎng)桿中長(zhǎng)桿發(fā)生彈塑性屈曲發(fā)生彈塑性屈曲 (s p)粗短粗短桿桿不發(fā)生屈曲，而發(fā)生屈服不發(fā)生屈曲，而發(fā)生屈服 ( s).歐拉公式的使用范圍歐拉公式的使用范圍 臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖.例題例題：兩端鉸支壓桿的長(zhǎng)度兩端鉸支壓桿的長(zhǎng)度 l = 1.2m，材料為，材料為 Q235 鋼，其彈性摸鋼，其彈性摸量量 E=200GPa， 1 1=200MPa， 2 2=235MPa。已知截面的面積。已知截面的面積A=900m

11、m2，若截面的形狀分別為正方形和，若截面的形狀分別為正方形和 d/D = 0.7的空心圓管，的空心圓管，試計(jì)算各桿的臨界力。試計(jì)算各桿的臨界力。 歐拉公式的使用范圍歐拉公式的使用范圍 臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖.11.511.5 壓桿的穩(wěn)定計(jì)算壓桿的穩(wěn)定計(jì)算 一、安全系數(shù)法一、安全系數(shù)法 FF stcrnFstn 穩(wěn)定安全系數(shù)stcrnFFn工作安全系數(shù)壓桿穩(wěn)定性條件stcrcrnFFnstcrnn或crF 壓桿臨界壓力F 壓桿實(shí)際壓力.二二 穩(wěn)定校核步驟穩(wěn)定校核步驟il1 計(jì)算確定最大柔度max 。2 由max ， 確定壓桿計(jì)算公式，求 cr 或 Pcr 。 3 穩(wěn)定校核stcrcrnPPn

12、壓桿的穩(wěn)定計(jì)算壓桿的穩(wěn)定計(jì)算 .例題例題：已知連桿材料為優(yōu)質(zhì)碳鋼已知連桿材料為優(yōu)質(zhì)碳鋼, ,P=60kN, ,nst=4, ,l1=800mm, ,l2=770mm。b=20mm, ,h=45mm。求：校核連桿的穩(wěn)定性。求：校核連桿的穩(wěn)定性。PPxl1l2xyzyzhbyzbh 壓桿的穩(wěn)定計(jì)算壓桿的穩(wěn)定計(jì)算 12100,60.例題 已知：空心壓桿兩端鉸支，D1=10mm， d1=7mm，l=351mm，E=210GPa， ；求：1）壓桿的臨界應(yīng)力；2）若采用面積相同的實(shí)心桿兩者臨界應(yīng)力之比；FPld1D1D解：1）空心壓桿的臨界應(yīng)力mmdDAIi05. 342121111115liMPaEcr

1360.結(jié)論: 空心桿抗失穩(wěn)能力強(qiáng)2）實(shí)心壓桿的臨界應(yīng)力3) 比較cr1 cr157532.9614)(421212dDDmmdDD14. 72121mmDi78. 141197liMPaEcr5322FPld1D1D1）空心壓桿的臨界應(yīng)力MPaEcr157221.例題：例題：如圖所示，一端固定、一端自由的正方形截面壓桿，材如圖所示，一端固定、一端自由的正方形截面壓桿，材料為料為Q235鋼，其鋼，其 ，試求能應(yīng)用歐拉公，試求能應(yīng)用歐拉公式時(shí)，壓桿長(zhǎng)度式時(shí)，壓桿長(zhǎng)度 l 與截面邊長(zhǎng)與截面邊長(zhǎng) a 的最小比值，并求出這時(shí)的的最小比值，并求出這時(shí)的臨界應(yīng)力。臨界應(yīng)力。alFP1

14、210,100EGPa.例題：例題：如圖所示的結(jié)構(gòu)中，各桿的重量不計(jì)，桿如圖所示的結(jié)構(gòu)中，各桿的重量不計(jì)，桿AB 可視為可視為剛性桿。已知?jiǎng)傂詶U。已知 。桿。桿CD 長(zhǎng)長(zhǎng) ，橫，橫截面為邊長(zhǎng)截面為邊長(zhǎng) 的正方形，材料的彈性模量的正方形，材料的彈性模量 比例極限比例極限 ，穩(wěn)定安全系數(shù)，穩(wěn)定安全系數(shù) 。求結(jié)構(gòu)的。求結(jié)構(gòu)的許可外力許可外力 。,GPa200Ecm50,cm100bam2Lcm5hMPa200P3stnP歐拉公式的使用范圍歐拉公式的使用范圍 臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖.例題：例題：.歐拉公式歐拉公式22()PcrEIFl越大越穩(wěn)定越大越穩(wěn)定PcrF1) 減小壓桿長(zhǎng)度減小壓桿長(zhǎng)度 l2) 減小長(zhǎng)度系數(shù)減小長(zhǎng)度系數(shù)（增強(qiáng)約束）（增強(qiáng)約束）3) 增大截面慣性矩增大截面慣性矩 I（合理選擇截面形狀）（合理選擇截面形狀）4) 增大彈性模量增大彈性模量 E（合理選擇材料）（合理選擇材料）11.6 11.6 .1) 減小壓桿長(zhǎng)度