平移變換幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用

1、平移變換在幾何中的應(yīng)用平移變換是幾何中的一種重要變換，運(yùn)用平移變換可以將分散的線段、角或圖形集中到一起，便于問題的研究和解決。這是平移變換中的常用方法，下面僅舉幾例，以作說明。一、平移變換在幾何證明中的應(yīng)用例1如圖，ABC中，BD=CE，求證：【解析】本題涉及到證明的幾條線段雖然都交于一點(diǎn)，但對(duì)于證明這樣一個(gè)幾何不等式不是很方便。再有BD=CE，運(yùn)用平移變換，將AEC平移到ABD的位置，問題迎刃而解?！敬鸢浮孔C明：如圖2, 分別過點(diǎn)D、B作CA、EA的平行線，GFDE 兩線相交于F點(diǎn)，DF于AB交于G點(diǎn)。 所以， 在AEC和FBD中，又CE=BD， 可證 AECFBD， 所以AC=FD，AE=

2、FB， 在AGD中，AG+DG>AD， 在BFG中，BG+FG>FB， 所以AG+DG-AD>0, BG+FG-FB>0, 所以AG+DG+BG+FG-AD-FB>0, 即AB+FD>AD+FB， 所以 AB+AC>AD+AE .【思考】本題還有沒有平移其他圖形的方法？例2如圖，梯形ABCD中，B+C=90°，點(diǎn)E、F分別為上下底邊的中點(diǎn)，求證：【解析】題目需要證明的幾條線段是分散的，通過平移變換可以將AB、EF、DC集中到一起。此時(shí)，其他條件也很能好好地得到應(yīng)用?！敬鸢浮孔C明：分別過點(diǎn)E、F作EG/AB,EH/CD交BC于點(diǎn)G、H 所以四邊

3、形ABGE,DEHC是平行四邊形.AE=BG,DE=CH,因?yàn)镕B=FC,所以FG=FH=所以EGC=B，EHB=C,又B+C=90°，所以EGC+EHB=90°，GEH=90°所以GEH是直角三角形.所以，EF=二、平移變換在幾何作圖中的應(yīng)用例3. 如圖，河流的河岸AB與CD平行，點(diǎn)A、B表示兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在河上架橋，滿足兩個(gè)條件：（1）橋與河岸垂直；（2）A、B兩個(gè)村莊之間的線路最短，請(qǐng)問橋應(yīng)架在何處？【解析】不管橋設(shè)計(jì)在何處，A、B兩個(gè)村莊之間的路程中總有一段是河岸間的距離，所以運(yùn)用平移變換，將河“平移”,使村莊A或B恰好在河岸上?！敬鸢浮窟^點(diǎn)A作AA垂直河

4、岸，且使AA長度等于河的寬度，連結(jié)交河岸于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD垂直于河岸交河岸于點(diǎn)D，連結(jié)AD，則CD為橋的位置?！舅伎肌咳绻鸄、B兩個(gè)村莊之間有兩條互相平行的小河，其他條件不變，橋的位置又該如何確定？圖3例4. 如圖3，ABC的三條中線分別為AD、BE、CF在圖3中利用圖形變換畫出并指明以AD、BE、CF的長度為三邊長的一個(gè)三角形（保留畫圖痕跡）；【解析】以三條中線為邊長的三角形，顯然要對(duì)這三條線段進(jìn)行“重新組合”，手段就是平移變換?！敬鸢浮咳?、平移變換在幾何計(jì)算中的應(yīng)用 例5. 如圖，六邊形ABCDEF中，對(duì)角線已知FD = 24 cm，BD = 18 cm.問六邊形ABCDEF的面積是多少

5、平方厘米？【解析】題目中給出了很多平行且相等的線段，這就很容易聯(lián)想到平移變換。通過平移變換，將圖形“整形”，從而求出六邊形的面積。【答案】如圖，將DEF平移到BAG的位置，將BCD平移到GAF的位置，則原六邊形分解組合成長方形BDFG.此長方形的邊恰是已知長度的BD與FD.易知長方形BDFG的面積為 24×28 = 432 cm2.所以，六邊形ABCDEF的面積是432 cm2. 例6. 已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)記為A，B，點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)P在拋物線上，求當(dāng)以O(shè)、A、P、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)。【解析】本題運(yùn)用平移變換在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用，這樣求平行四邊形的頂

6、點(diǎn)坐標(biāo)將會(huì)簡便。因?yàn)槠叫兴倪呅慰梢岳斫鉃橐粭l線段沿平面內(nèi)某一方向平移所掃過的圖形。【答案】 若OA為邊，則PMOA.設(shè)M(m,2m), OA=5， P(m+5,2m)或P(m-5,2m).當(dāng)P(m+5,2m)時(shí)， P點(diǎn)在拋物線上，, 解得.P(12,14).當(dāng)P(m-5,2m)時(shí)， P點(diǎn)在拋物線上，, 解得.P(-3,4)或P(20,50).若OA為對(duì)角線，則PM為另一條對(duì)角線.來源:Z&xx&kOA中點(diǎn)為(,0)，設(shè)M(m,2m), P(5-m,-2m). P點(diǎn)在拋物線上， , 解得.P(12,14). 綜上,符合條件的P點(diǎn)共有3個(gè)，它們分別是P1(12,14) 、P2(-3,4)、P3(20,50).【練習(xí)】1 已知，如圖，ABC中，AB=AC，D是AB上一點(diǎn)，E是AC延長線上一點(diǎn)，若BD=CE，求證：DE>BC.2 在HBC中，B=C，在邊HC上取點(diǎn)D，在邊BH上取點(diǎn)A，使HD=BA，連結(jié)AD.求證：AD3在ABC中，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)（1）如圖1，求證：AP（AB+BC）；（2）