概率統(tǒng)計習題冊答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一、概率公式的題目1、已知 求 解：2、已知 求解：。3、已知隨機變量，即有概率分布律，并記事件。 求：（1）； （2） ； （3） 。解：（1）； （2）（3）4、甲、乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標被命中，它是甲射中的概率是多少？解： 設A=“甲射擊一次命中目標”，B=“乙射擊一次命中目標”， =5、為了防止意外，在礦內(nèi)同時設兩種報警系統(tǒng)，每種系統(tǒng)單獨使用時，其有效的概率系統(tǒng)為0.92，系統(tǒng)為0.93，在失靈的條件下，有效的概率為0.85，求：（1）發(fā)生意外時，這兩個報警系統(tǒng)至少有一個有效的概率；（2）失靈的條件下，有效的概

2、率。解：設“系統(tǒng)有效”, “系統(tǒng)有效”, , 6、由長期統(tǒng)計資料得知，某一地區(qū)在4月份下雨（記作事件）的概率為，刮風（記作事件）的概率為，既刮風又下雨的概率為，求。解：；。二、已知密度（函數(shù)）求概率的題目1、某批晶體管的使用壽命X(小時)的密度函數(shù) ，任取其中3只，求使用最初150小時內(nèi)，無一晶體管損壞的概率。解：任一晶體管使用壽命超過150小時的概率為 設Y為任取的5只晶體管中使用壽命超過150小時的晶體管數(shù)，則.故有2、某城市每天耗電量不超過一百萬千瓦小時，該城市每天耗電率（即每天耗電量/百萬瓦小時）是一個隨機變量X，它的分布密度為，若每天供電量為80萬千瓦小時，求任一天供電量不夠需要的概

3、率？解：每天供電量80萬千瓦小時，所以供給耗電率為：80萬千瓦小時/百分千瓦小時=0.8，供電量不夠需要即實際耗電率大于供給耗電率。所以。3、某種型號的電子管的壽命X（以小時計）具有以下的概率密度，現(xiàn)有一大批此種管子（設各電子管損壞與否相互獨立），任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時的概率是多少？解：一個電子管壽命大于1500小時的概率為令Y表示“任取5只此種電子管中壽命大于1500小時的個數(shù)”。則，4、某些生化制品的有效成分如活性酶，其含量會隨時間而衰減。當有效成分的含量降至實驗室要求的有效計量下，該制品便被視為失效。制品能維持其有效劑量的時間為該制品的有效期，它顯然是隨機變量，記

4、為X。多數(shù)情況下，可以認為X服從指數(shù)分布。設它的概率密度函數(shù)為： （的單位為月）（1）從一批產(chǎn)品中抽取樣品，測得有50的樣品有效期大于4個月，求參數(shù)的值。（2）若一件產(chǎn)品出廠12個月后還有效，再過12個月后它還有效的概率有多大？解：指數(shù)分布的分布函數(shù)為（）（）5、設K在（-1，5）上服從均勻分布，求的方程有實根的概率。解：要想有實根，則則，又因為，所以。三、分布函數(shù)、密度函數(shù)的題目1、設隨機變量X的分布函數(shù)為，(1) 求系數(shù)A ，B； (2) 求； (3) 求X的分布密度。解：（1）由F(x)在處的右連續(xù)性知 解之得（2）（3）因為，則2、設隨機變量的分布函數(shù)為 ，求：（1）常數(shù)； （2）；

5、（3）的密度函數(shù)。解：（1）由分布函數(shù)的右連續(xù)性知： ，所以；（2）； （3） 。3、設隨機變量的分布函數(shù)為 ，求：常數(shù)； ； 的密度函數(shù)。解：（1）由分布函數(shù)的右連續(xù)性知：，所以；（2）；（3） 。4、設隨機變量的分布函數(shù)為求：（1）系數(shù)； （2）； （3）的密度函數(shù)。解： (1) 由于在內(nèi)連續(xù)， 又 故 (2) =(3) 的密度函數(shù)為 5、設連續(xù)性隨機變量的分布函數(shù)為 ，求：(1)常數(shù)A，B； (2)； (3) 的密度函數(shù)。解：（1）由分布函數(shù)的右連續(xù)性及性質(zhì)知：，所以；（2）； （3） 。6、設隨機變量X的概率密度函數(shù)為 ，(1) 求常數(shù)A； (2) 求； (3) 求X的分布函數(shù)。解：

6、(1) 所以 (2) （3） 所以7、設連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為，求：系數(shù)； 的分布函數(shù)； 。解：（1）由，； （2）；（3）8、設隨機變量的密度函數(shù)為 ，求：（1）常數(shù)； （2）； （3）的分布函數(shù)。解：（1）由，； （2）； （3）9、設隨機變量的密度函數(shù)為 ，求（1）常數(shù)； （2）； （3）的分布函數(shù)。解：（1）由，； （2）；（3）四、變一般正態(tài)為標準正態(tài)分布求概率1、調(diào)查某地方考生的外語成績X近似服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)?2分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3% 。試求：（1）考生的外語成績在60分至84分之間的概率； （2）該地外語考試的及格率；（3）若已知第三名的成績是96分，求

7、不及格的人數(shù)。（ ， ）解：依題意，(1) (2) (3)設全班人數(shù)為n， 由(2) 知不及格率為0.1587， 則，則不及格人數(shù)為2、某高校入學考試的數(shù)學成績近似服從正態(tài)分布，如果85分以上為“優(yōu)秀”，問數(shù)學成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的考生大致占總人數(shù)的百分之幾。解：依題意，85分以上學生為優(yōu)秀，則所以優(yōu)秀學生為2.28%。3、設某工程隊完成某項工程所需時間X（天）近似服從。工程隊上級規(guī)定：若工程在100天內(nèi)完工，可獲得獎金7萬元；在100115天內(nèi)完工可獲得獎金3萬元；超過115天完工，罰款4萬元。求該工程隊在完成此項工程時，所獲獎金的分布律。（參考數(shù)據(jù)：）解：設所獲獎金為Y萬元，Y是X的函數(shù)，可取值

8、為4，3，7 Y-43 7P0.00130.49870.5000 所以，可獲獎金Y 的分布律為 ： 4、公共汽車門的高度是按男子與車門碰頭的機會在0.01以下來設計的，設男子的身高，問車門的高度應如何確定？（）解：設車門的高度為厘米，則， 所以。即車門的高度至少要厘米。5、公共汽車門的高度是按男子與車門碰頭的機會在0.01以下來設計的，設男子的身高，問車門的高度應如何確定？() 解：設車門的高度為厘米，則， 所以。即車門的高度至少要厘米。6、某地區(qū)18歲的女青年的血壓（以mm-Hg計）服從，在該地區(qū)任選一18歲女青年，測量她的血壓X。求：（1）P (X105)；（2）P (100<X 1

9、20)。（，）解：(2) 五、數(shù)學期望、方差的題目1、 設隨機變量的概率密度為：，求：解：所以 2、一工廠生產(chǎn)的某種設備的壽命(以年計) 服從指數(shù)分布,的密度函數(shù)為 工廠規(guī)定,出售的設備若售出一年之內(nèi)損壞可予以調(diào)換.若工廠售出一臺設備贏利100元,調(diào)換一臺設備廠方需花費200元.試求廠方出售一臺設備凈贏利的數(shù)學期望。解：設表示廠方出售一臺設備凈贏利,有 所以每臺的凈贏利的數(shù)學期望為元3、假設有10只同種電器元件，其中有兩只廢品，從這批元件中任取一只，如是廢品則扔掉重取一只，如仍是廢品則扔掉再取一只，求：在取到正品之前，已取出的廢品數(shù)的期望和方差。解：設為取到正品之前已取出的廢品數(shù)，則的分布為

10、故 4、一袋中有張卡片，分別記為，從中有放回的抽取張來，以表示取出的張卡片的號碼之和，求。解：設表示第次取出的號碼，則的分布律為 ，所以，則5、已知隨機變量的密度函數(shù)為，對獨立觀察3次，用表示觀察值大于的次數(shù)。求：（1）的分布律； （2）的分布函數(shù)； （3）解：令（1）的分布律為：（2） ； （3） 6、某車間生產(chǎn)的圓盤直徑在區(qū)間服從均勻分布，試求圓盤面積的數(shù)學期望。解：設為圓的直徑，為圓的面積，則 ，因為所以 的密度函數(shù)為 所以7、某廠生產(chǎn)一種化工產(chǎn)品，這種產(chǎn)品每月的市場需求量（噸）服從區(qū)間 0 ，5 上的均勻分布這種產(chǎn)品生產(chǎn)出來后，在市場上每售出1噸可獲利6萬元。如果產(chǎn)量大于需求量，則每多

11、生產(chǎn)1噸要虧損4萬元如果產(chǎn)量小于需求量，則不虧損，但只有生產(chǎn)出來的那一部分產(chǎn)品能獲利。問：為了使每月的平均利潤達到最大，這種產(chǎn)品的月產(chǎn)量 應該定為多少噸？解：因為，的概率密度為 。 設為該廠每月獲得的利潤（單位：萬元），根據(jù)題意 。該廠平均每月利潤為： 。由 可解得 （噸）?？梢?，要使得每月的平均利潤達到最大，月產(chǎn)量應定為噸。8、設隨機變量的概率密度為 已知 求：（1）的值； （2）隨機變量的數(shù)學期望。解：（1） ，解方程組 ；（2）9、設一部機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為，機器發(fā)生故障時全天停止工作，若一周五個工作日里無故障，可獲利潤萬元，發(fā)生一次故障可獲利潤萬元，發(fā)生兩次故障獲利萬元，發(fā)生三

12、次或三次以上故障則虧損萬元，求一周內(nèi)的利潤期望。解：設一周5個工作日內(nèi)發(fā)生故障的天數(shù)為，則，設為一周內(nèi)獲得的利潤，則為離散型隨機變量，其所有可能取值為（萬元）其分布律為： 即可獲利潤T 的分布律為 ： T-2 0 510 P 0.057 0.205 0.410 0.328。六、點估計（矩估計和極大似然估計）的題目1、設總體概率密度為：，其中參數(shù)且未知，設為總體的一個樣本, 是樣本值，求的矩估計量和極大似然估計量。2、已知隨機變量的密度函數(shù)為，其中為未知參數(shù)，求的矩估計量與極大似然估計量。3、設總體概率密度為，其中為未知參數(shù)，為總體的一個樣本, 是樣本值，求參數(shù)的矩估計量和極大似然估計量。X12

13、34、設總體X具有分布律 ：其中為未知參數(shù)，已知取得了樣本值。試求的矩估計值和極大似然估計值。5、設總體的密度函數(shù)為：，其中為未知參數(shù), 是來自總體的樣本，求參數(shù)的矩估計量和極大似然估計量。6、設為總體的一個樣本, 的密度函數(shù)（其中未知參數(shù)），是樣本值，求參數(shù)的矩估計量和最大似然估計量。7、設為總體的一個樣本, 的密度函數(shù)，其中未知參數(shù)，是樣本值，求參數(shù)的矩估計量和最大似然估計量。8、已知隨機變量的密度函數(shù)為 ，其中為未知參數(shù)，設為總體的一個樣本, 是樣本值，求參數(shù)的矩估計量和極大似然估計量七、區(qū)間估計1、為考察某大學成年男性的膽固醇水平,現(xiàn)抽取了樣本容量為25的一個樣本,并測得樣本均值為,樣

14、本標準差為。假定膽固醇水平,與均未知,求總體標準差的置信度為90%的置信區(qū)間。（ ， ）2、設某異常區(qū)磁場強度服從正態(tài)分布，現(xiàn)對該地區(qū)進行磁測，今抽測16個點，算得樣本均值樣本方差，求出的置信度為的置信區(qū)間。參考數(shù)據(jù)：3、某單位職工每天的醫(yī)療費服從正態(tài)分布，現(xiàn)抽查了天，得，求職工每天醫(yī)療費均值的置信水平為的置信區(qū)間。（）4、某超市抽查80人，調(diào)查他們每月在醬菜上的平均花87費，發(fā)現(xiàn)平均值為元，樣本標準差元。求到超市人群每月在醬菜上的平均花費的置信度為 的區(qū)間估計。（，）5、隨機地取某種炮彈發(fā)做試驗，測得炮口速度的樣本標準差，設炮口速度服從正態(tài)分布，求這種炮彈的炮口速度的標準差的置信度為的置信區(qū)

15、間。6、從某商店一年來的發(fā)票存根中隨機抽取26張,算得平均金額為78.5元,樣本標準差為20元。假定發(fā)票金額服從正態(tài)分布,求該商店一年來發(fā)票平均金額的置信度為90%的置信區(qū)間。 八、假設檢驗1、設某次考試的學生成績服從正態(tài)分布，從中隨機地抽取25位考生的成績，算得平均成績?yōu)?66分，標準差20分，問在顯著性水平下，是否可以認為這次考試全體考生的平均成績?yōu)?1分？并給出檢驗過程。（參考數(shù)據(jù)：，）2、機器自動包裝食鹽，設每袋鹽的凈重服從正態(tài)分布，要求每袋鹽的標準重量為500克。某天開工后，為了檢驗機器是否正常工作，從已經(jīng)包裝好的食鹽中隨機取9袋，測得樣本均值樣本方差. 問這天自動包裝機工作是否正常

16、（）？（參考數(shù)據(jù)：）3、設有正態(tài)分布總體的容量為100的樣本，樣本均值均未知，而，在水平下，是否可以認為總體方差為？4、設總體服從正態(tài)分布,從中抽取一個容量為的樣本，測得樣本標準差，取顯著性水平，是否可以認為總體方差為?（；）5、設某次概率統(tǒng)計課程期末考試的學生成績服從正態(tài)分布，從中隨機地抽取36位考生的成績，算得平均成績?yōu)?分，樣本標準差為分，問在顯著性水平下，是否可以認為這次考試全體考生的平均成績?yōu)?0分？并給出檢驗過程。6、某百貨商場的日銷售額服從正態(tài)分布，去年的日均銷售額為53.6萬元，方差為36.今年隨機抽查了10個日銷售額，算得樣本均值萬元，根據(jù)經(jīng)驗，今年日銷售額的方差沒有變化。問

17、：今年的日平均銷售額與去年相比有無顯著性變化（）？（）7、某廣告公司在廣播電臺做流行歌曲磁帶廣告，它的廣告是針對平均年齡為21歲的年輕人。廣告公司想了解其節(jié)目是否為目標聽眾所接受。假定聽眾的年齡服從正態(tài)分布，現(xiàn)隨機抽取400位聽眾進行調(diào)查，得歲，以顯著性水平判斷廣告公司的廣告策劃是否符合實際？ 檢驗假設 ()六、點估計（矩估計、極大似然估計）的答案1、解：,令,得的矩估計量似然函數(shù)為.由 得的極大似然估計量 。2、解： 故 的矩估計量為 似然函數(shù), 故 3、解：令,得的矩估計量為 。似然函數(shù)為 .由 得的極大似然估計量為 。4、解 ： 令，所以為的矩估計量，矩估計值為。 ，令，得。5、解： 由

18、,令,得的矩估計量為。先寫出似然函數(shù) ,取對數(shù)得 . 似然方程為 解得的極大似然估計值為； 的極大似然估計量為。6、解： 令 故 的矩估計量為 似然函數(shù) 7、解： 令 故 的矩估計量為 似然函數(shù) 8、解： 故 的矩估計量為 似然函數(shù), 故 七、區(qū)間估計的答案1、解：由公式知的置信度為的置信區(qū)間為 . 而，,，代入可得的置信區(qū)間為(9.74,15.80).2、解：的置信區(qū)間為3、解：已知，所以的置信度為95%的雙側置信區(qū)間為：4、解：樣本容量,屬大樣本,則近似服從,按照正態(tài)分布均值的置信區(qū)間的求法, 而, ,可以類似得到醬菜平均花費的置信度為的置信區(qū)間是5、解：已知，所以的95%的置信區(qū)間為： 。6、解 ：設總體為,因未知,則發(fā)票平均金額的置信度為的置信區(qū)間是,將,代入得到的置信區(qū)間為(71.8,85.2)。八、假設檢驗的答案1、解： 由于所以接受，即在顯著水平0.05下，可以認為這次考試全體學生的平均成績?yōu)?1分。2、