個(gè)正整數(shù)能夠表示成兩個(gè)正整數(shù)平方和的充分必要條件

1、一個(gè)正整數(shù)能夠表示成兩個(gè)正整數(shù)平方和的充分必要條件在上面第1樓的帖子中，證明了這樣一個(gè)定理:第1樓帖子中定理 正整數(shù) M 能表示成兩個(gè)整數(shù)平方和的充分必要條件是：M 的素因子分解式中，所有形為4n 一1的素因子的幕指數(shù)都是偶數(shù)。2 2 注意，這個(gè)定理中說的是“整數(shù)平方和”不是“正整數(shù)平方和”所以，像9=30 ,2 2 2 249 =70, 441 =210這樣的兩整數(shù)平方和，都算是符合定理要求的。如果我們希望把上面這種帶0的整數(shù)平方和的例子排除在外，把定理中的“整數(shù)平方和”改為“正整數(shù)平方和”那么，定理又會(huì)是怎么樣的呢？為了證明這樣的定理，下面先證明一個(gè)引理。, 2 2 2p,q ,引理 若有

2、 x y = z ，其中x, y,z都是正整數(shù)，（X,y）=1，則必有正整數(shù)2 2(p,q)=1 ,而且 p,q 奇一偶，使得 z = p q 。證 x, y不會(huì)都是奇數(shù)，否則2 2x y 是形為4n 2的數(shù)，不可能等于2z 。又因?yàn)椋▁,y） =1 , x, y也不會(huì)都是偶數(shù)，所以x, y必定一奇一偶，不妨設(shè)x是奇數(shù)，y是偶數(shù)，這時(shí) z顯然也是奇數(shù)，而且 z x , （x, z） =1。z + X z X因?yàn)橐襒都是奇數(shù)，z X，所以,顯然都是正整數(shù)。2 2這時(shí)有(hi 2222因?yàn)閥是偶數(shù)，所以 上 是整數(shù)。又因?yàn)椋▁, z） =1，所以22中的任何一個(gè)素因子，或者全部在z亠X中，或者全部

3、在(寧Z 一 Xz - X）=1，所以2中。由于（）2中2的素因子的幕次都是偶數(shù)，所以中的素因子的幕次也都是偶數(shù)，可見z + x都是正整數(shù)，而且有因?yàn)閆 X丁都是完全平方數(shù)，所以p,qz - x都是完全平方數(shù)。2 2-q 二假如（p,q） = d . 1，則（p2,q2） = d2 1 , z = p2 q2 , x = p2 - q2 就有公 因子d21，與（x,z） =1矛盾，所以必有 （p,q）=1 。假如p, q都是奇數(shù)或 p,q都是偶數(shù)，貝V p2 q2 , x=p2-q2顯然都是偶 數(shù)，與（x,z） =1矛盾，所以 p,q必定是一奇一偶。定理正整數(shù)M能表示成兩個(gè)正整數(shù)平方和的充分必

4、要條件是要滿足下列兩條：（1） M 的素因子分解式中，所有形為4n-1的素因子的幕指數(shù)都是偶數(shù)。（2） 如果 M 的素因子分解式中，不含有形為4n 1的素因子，則必有 M = 2z2 , 其中z是正整數(shù)。證先證明充分性。2 2 2如果 M 中不含有形為 4n 1的素因子，貝U M =2z z z ,顯然這時(shí) M 可以表示成兩個(gè)正整數(shù)的平方和。如果 M 中含有形為 4n 1的素因子，再加上已知 M 中形為4n-1的素因子的 幕指數(shù)都是偶數(shù)，只要仿照 第1樓帖子中定理 的推導(dǎo)過程，就可證明這時(shí) M 能表示成兩 個(gè)正整數(shù)的平方和。再證明必要性。設(shè)已知M能表示成兩個(gè)正整數(shù)的平方和，有M =x2 y2。

5、由第1樓帖子中定理可知，這時(shí) M 中所有形為 4n-1的素因子的幕指數(shù)都是偶數(shù)。所以只要證明“如果M中不含有形為 4n 1的素因子，貝U必有M = 2z2”就可以了。因?yàn)?M 中不含有形為 4n -1的素因子，而所有形為4n -1的素因子的幕指數(shù)都是偶數(shù)，所以，M 只有兩種可能：或者有 M =2z2，或者有 M = z2 。下面用反證法證明：當(dāng)M 中不含有形為 4n 1的素因子時(shí)，不可能有M =x2 y2=z2 。2 2 2假設(shè)有 M =x y = z ，其中x,y,z都是正整數(shù)。設(shè)（x,y） =d，將 x,y,z 都除以 d，則有（x）2（y）（z）2 ,（x, y）才。d d d d d所

6、以，下面只要考慮（x, y） =1的情形就可以了。在滿足 x2 y z2 , x, y,z都是正整數(shù),（x,y） =1的解中，總可以找到z最小的一組解。顯然Z = 1 ，所以必有 z z2 。2 2 2因?yàn)閤 y =z , x, y,z都是正整數(shù)，（x, y） = 1 ，所以根據(jù)上面的 引理，可知必有正整數(shù) p, q , (p,q) =1，而且 p,q 一奇一偶，使得 z = p2 q2因?yàn)?p,q 一奇一偶，所以p2 q2是奇數(shù)，不含有因子 2。因?yàn)?M = z2中不含形為 4n 1的素因子，所以z中也不含形為 4n 1的素因 子。又因?yàn)?z可以表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和，由第1樓帖子中定理 可知，這時(shí)，z中形為4n1的素因子的幕指數(shù)都是偶數(shù)。由此可見，z是一個(gè)完全平方數(shù)，所以必有正整數(shù)z1，使得z2p2 q2 。2 2 2 2 2由于 乙=