無窮小與無窮大極限運(yùn)算法則講義

1、標(biāo)題：無窮小與無窮大教學(xué)目標(biāo)：1.理解無窮小、無窮大的概念； 2.掌握無窮小與無窮大的關(guān)系。教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)：1.無窮小的概念；2.無窮小與無窮大的關(guān)系。教 學(xué) 內(nèi) 容 （教 學(xué) 時(shí) 數(shù)： 2 ）一、無窮小若當(dāng)（或）時(shí)的極限為零，就稱為當(dāng)（或）時(shí)的無窮小，即有定義1：對若，使得當(dāng)時(shí)，有成立，就稱為當(dāng)時(shí)的無窮小，記為。注：除上兩種之外，還有的情形。：無窮小不是一個(gè)數(shù)，而是一個(gè)特殊的函數(shù)（極限為0），不要將其與一個(gè)絕對值非常小的數(shù)混淆，因?yàn)槿我怀?shù)不可能任意地小，除非是0，即0是唯一可作為無窮小的常數(shù)?！纠?】 因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)為無窮小；同理：，所以當(dāng)時(shí)為無窮小，定理1：當(dāng)自變量在同一變化過程（或）中

2、，（i）具有極限的函數(shù)等于其極限值與一個(gè)無窮小之和，即：為的極限。（ii）若一函數(shù)可表示為一常數(shù)與無窮小之和，那么該常數(shù)就是其極限。備注：二、無窮大 若當(dāng)或時(shí)，就稱為當(dāng)或時(shí)的無窮大。定義2：若對，使得當(dāng)時(shí)，有，就稱當(dāng)時(shí)的無窮大，記作:。注：同理還有時(shí)的定義。 ：無窮大也不是一個(gè)數(shù)，不要將其與非常大的數(shù)混淆。 ：若或，按通常意義講，的極限不存在?！纠?】 可證明，所以當(dāng)時(shí)為無窮大。 曲線的漸近線：一般地，若是曲線y=f(x)的一條水平漸近線。若是曲線y=f(x)的一條垂直漸近線。定理2：當(dāng)自變量在同一變化過程中時(shí)，（i）若為無窮大，則為無窮小。（ii）若為無窮小，且，則為無窮大。（證明略）三、練

3、習(xí)題1、凡是無窮小者皆以_為極限；2、在_條件下，直線是函數(shù)的水平漸近線；3、在同一過程中，若為無窮大，則_為無窮小。作業(yè)題，思考題：標(biāo)題：極限運(yùn)算法則教學(xué)目標(biāo)：1.掌握無窮小的性質(zhì)；2.掌握極限運(yùn)算法則。教學(xué)重點(diǎn)：1.無窮小的性質(zhì)；2.極限運(yùn)算法則。教學(xué)難點(diǎn)：無窮小的性質(zhì)。教 學(xué) 內(nèi) 容 （教 學(xué) 時(shí) 數(shù)： 2 ）一、無窮小的性質(zhì)定理1：有限個(gè)無窮小的和仍為無窮小，即設(shè)注：可以推廣到有限多個(gè)無窮小的代數(shù)和的情形。但是，無窮多個(gè)無窮小的和不一定是無窮小，如：定理2：有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小，即設(shè)有界，; 推論1：常數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小，即若為常數(shù)，。推論2：有限個(gè)無窮小的乘積仍為

4、無窮小，設(shè)。二、極限四則運(yùn)算法則定理3：若，則存在，且。證明： 只證，過程為，對，當(dāng) 時(shí)，有，對此，當(dāng)時(shí)，有，取，當(dāng)時(shí)，有 所以。 其它情況類似可證。注：本定理可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形。備注：定理4：若，則存在，且。證明略。推論1：（為常數(shù)）。推論2：（為正整數(shù)）。定理5：設(shè)，則。證明略。注：以上定理對數(shù)列亦成立。定理6：如果，且，則?！纠?】?！纠?】。推論1：設(shè)為一多項(xiàng)式，當(dāng)。推論2：設(shè)均為多項(xiàng)式，且，由定理5，?！纠?】?！纠?】（因?yàn)椋Ｗⅲ喝?，則不能用推論2來求極限，這時(shí)需采用其它手段?！纠?】求。解：當(dāng)時(shí)，分子、分母均趨于0，因?yàn)椋s去公因子，所以 【例6】求解：當(dāng)極限均不存在，故

5、不能直接用定理3，但當(dāng)時(shí)，所以?！纠?】求。解：當(dāng)時(shí)，故不能直接用定理5，又，考慮：， 由無窮小與無窮大的關(guān)系?！纠?】設(shè)為自然數(shù)，則 。證明：當(dāng)時(shí)，分子、分母極限均不存在，故不能用§1.6定理5，先變形： 【例9】作業(yè)題，思考題：標(biāo)題：無窮小的比較教學(xué)目標(biāo)：1.掌握無窮小階的概念；2.會(huì)對無窮小進(jìn)行比較；3.會(huì)用無窮小的等價(jià)替換求有關(guān)極限。教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)：利用等價(jià)無窮小求極限。教 學(xué) 內(nèi) 容 （教 學(xué) 時(shí) 數(shù)： 2 ）一、無窮小階的定義在上一節(jié)中我們討論了無窮小的和、差、積的情況，對于無窮小的商會(huì)出現(xiàn)不同的情況，例如： （為常數(shù)，為自然數(shù)）定義：設(shè)與為在同一變化過程中的兩個(gè)無窮小，(i) 若，就說是比高階的無窮小，記為；(ii) 若，就說是比低階的無窮??；(iii) 若，就說與是同階的無窮??；(iv) 若，就說與是等價(jià)無窮小，記為。定理1：是等價(jià)無窮小的充分必要條件為 。證明略?！纠?】 當(dāng)時(shí)，是的高階無窮小，即；反之是的低階無窮??； 與是同階無窮?。慌c是等價(jià)無窮小，即。定理2：若均為的同一變化過程中的無窮小，且，及，那么。 定理2表明：求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子、分母都可用等價(jià)無窮小來代替。備注：【例2】 求。解：