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1、2015屆高二數(shù)學(xué)單元測(cè)試(導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用)參考答案一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是最符合題目要求的.)題號(hào)123456789101112答案BAACBADCCCDB二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上.)13. 14. 15. 16. 三、解答題(本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.)17. (本小題滿(mǎn)分10分)求曲線與直線,所圍成平面圖形的面積.解:由,解得,故曲線與直線交于點(diǎn).由,解得,故曲線與直線交于點(diǎn).故所求平面圖形面積為:.18. (本小題滿(mǎn)分12分)已知函
2、數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng).(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)求的單調(diào)區(qū)間與極值.解:(1)由函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)知是奇函數(shù),故對(duì)一切成立,即對(duì)一切成立.,解得.(2)由(1)知,故.令,得或.當(dāng)變化時(shí),與的變化如下表:+00+極大值極小值故的減區(qū)間為,增區(qū)間為和.同時(shí),為的極大值點(diǎn),且極大值為;為的極小值點(diǎn),且極小值為.19. (本小題滿(mǎn)分12分)已知一工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品件的總成本(萬(wàn)元),該產(chǎn)品的單價(jià)(萬(wàn)元)與產(chǎn)品件數(shù)滿(mǎn)足:,且生產(chǎn)件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為萬(wàn)元.(1)設(shè)產(chǎn)量為件時(shí),總利潤(rùn)為(萬(wàn)元),求的解析式;(2)當(dāng)產(chǎn)量定為多少件時(shí),總利潤(rùn)(萬(wàn)元)最大?解:(1)由題意有解得.總利潤(rùn)=.(2)由(1
3、)得.令得,解得.又在上單調(diào)遞減,故當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.故是在上的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn).故當(dāng)產(chǎn)量定為件時(shí)總利潤(rùn)最大.20. (本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù),(1)求在上的最小值;(2)若對(duì),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍解:(1),令當(dāng)單調(diào)遞減;當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng);當(dāng)時(shí),.所以.(2)由題意對(duì)恒成立,故對(duì)恒成立.令,則.令得或(舍).故當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.因此為在上的極小值點(diǎn),也是最小值點(diǎn).故在上的最小值為.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.21. (本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù),其中.(1)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求的取值范圍;(2)若存在,使得不等式成立,求的取值范圍.解:(1)由題意知對(duì)成立,即對(duì)成立.因?yàn)楫?dāng)時(shí),所以.故的取值范圍是.(2)不等式等價(jià)于.,且等號(hào)不能同時(shí)取到.故當(dāng)時(shí),有,即.因此,不等式等價(jià)于.令,則.當(dāng)時(shí),故.故.所以在內(nèi)單調(diào)遞增.故當(dāng)時(shí),的最小值為.所以要存在,使得,應(yīng)有.故的取值范圍是.22. (本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù).(1)證明:當(dāng)時(shí),;(2)如果,且,證明:.證明:(1)令,則.故當(dāng)時(shí),故.又,故,從而有在內(nèi)單調(diào)遞增.所以,當(dāng)時(shí),即.(2),故且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以,在內(nèi)單調(diào)遞增;在內(nèi)單調(diào)遞減;在處取得最大值.若,則或.又,且為唯一的最大值點(diǎn),故.這與矛盾.若,則或
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