高中最全立體幾何公式

1、109證明直線與直線的平行的思考途徑（1）轉化為判定共面二直線無交點；（2）轉化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉化為線面平行；（4）轉化為線面垂直；（5）轉化為面面平行.110證明直線與平面的平行的思考途徑（1）轉化為直線與平面無公共點；（2）轉化為線線平行；（3）轉化為面面平行.111證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉化為判定二平面無公共點；（2）轉化為線面平行；（3）轉化為線面垂直.112證明直線與直線的垂直的思考途徑（1）轉化為相交垂直；（2）轉化為線面垂直；（3）轉化為線與另一線的射影垂直；（4）轉化為線與形成射影的斜線垂直.113證明直線與平面垂直的思考途徑（1）轉化為該直線與

2、平面內任一直線垂直；（2）轉化為該直線與平面內相交二直線垂直；（3）轉化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉化為該直線垂直于另一個平行平面；（5）轉化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.114證明平面與平面的垂直的思考途徑（1）轉化為判斷二面角是直二面角；（2）轉化為線面垂直.115.空間向量的加法與數乘向量運算的運算律(1)加法交換律：ab=ba(2)加法結合律：(ab)c=a(bc)(3)數乘分配律：(ab)=ab116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣始點相同且不在同一個平面內的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量.117.共線向量

3、定理對空間任意兩個向量a、b(b0 )，ab存在實數使a=b三點共線.、共線且不共線且不共線.118.共面向量定理 向量p與兩個不共線的向量a、b共面的存在實數對,使推論 空間一點P位于平面MAB內的存在有序實數對,使，或對空間任一定點O，有序實數對，使.119.對空間任一點和不共線的三點A、B、C，滿足（），則當時，對于空間任一點，總有P、A、B、C四點共面；當時，若平面ABC，則P、A、B、C四點共面；若平面ABC，則P、A、B、C四點不共面四點共面與、共面（平面ABC）.120.空間向量基本定理 如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數組x，y，z，使p

4、xaybzc推論 設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序實數x，y，z，使.121.射影公式已知向量=a和軸，e是上與同方向的單位向量.作A點在上的射影，作B點在上的射影，則a，e=a·e122.向量的直角坐標運算設a，b則(1)ab；(2)ab；(3)a (R)；(4)a·b；123.設A，B，則= .124空間的線線平行或垂直設，則；.125.夾角公式 設a，b，則cosa，b=.推論 ，此即三維柯西不等式.126. 四面體的對棱所成的角四面體中, 與所成的角為,則.127異面直線所成角=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向

5、向量）128.直線與平面所成角(為平面的法向量).129.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個內角，則.特別地,當時,有.130.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個內角，則.特別地,當時,有.131.二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.132.三余弦定理設AC是內的任一條直線，且BCAC，垂足為C，又設AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為則.133. 三射線定理若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是,與二面角的棱所成的角是，則有 ;(當且僅當時等號成立).134.空間兩點

6、間的距離公式 若A，B，則 =.135.點到直線距離(點在直線上，直線的方向向量a=，向量b=).136.異面直線間的距離 (是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).137.點到平面的距離 （為平面的法向量，是經過面的一條斜線，）.138.異面直線上兩點距離公式 .（）. (兩條異面直線a、b所成的角為，其公垂線段的長度為h.在直線a、b上分別取兩點E、F，,). 139.三個向量和的平方公式 140. 長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有.（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.141. 面積射影定理 .(平面多邊形及其射影的面積分別是

7、、，它們所在平面所成銳二面角的為).142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的側棱長是,側面積和體積分別是和,它的直截面的周長和面積分別是和,則.143作截面的依據三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點或互相平行.144棱錐的平行截面的性質如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比（對應角相等，對應邊對應成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應邊的比的平方）；相應小棱錐與小棱錐的側面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比145.歐拉定理(歐拉公式) (簡單多面體的頂點數V、棱數E和面數F).（1）=各面多邊形邊數和的一半.特別地,若每個面的邊數為的多邊形，則面數F與棱數E的關系：；（2）若每個頂點引出的棱數為，則頂點數V與棱數E的關系：.146.球的半徑是R，則其體積,其表面積147.球的組合體 (1)球與長方體的組合體: 長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長. (2)球與正方體的組合體:正方體的內切球的直徑是正方體的棱長, 正方體的棱切球的直