選修坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案

1、§極坐標(biāo)系（1） 學(xué)習(xí)目的：1、理解極坐標(biāo)的概念；2、能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫(huà)點(diǎn)的位置，體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫(huà)點(diǎn)的位置的區(qū)別；學(xué)習(xí)重點(diǎn)：理解極坐標(biāo)的意義學(xué)習(xí)難點(diǎn)：能夠在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)確定點(diǎn)位置學(xué)習(xí)過(guò)程：一、新知導(dǎo)入：情境1：軍艦巡邏在海面上，發(fā)現(xiàn)前方有一群水雷，如何確定它們的位置以便將它們引爆？情境2：如圖為某校園的平面示意圖，假設(shè)某同學(xué)在教學(xué)樓處。他向東偏方向走后到達(dá)什么位置？該位置惟一確定嗎？如果有人打聽(tīng)體育館和辦公樓的位置，他應(yīng)如何描述？問(wèn)題1：為了簡(jiǎn)便地表示上述問(wèn)題中點(diǎn)的位置，應(yīng)創(chuàng)建怎樣的坐標(biāo)系呢？問(wèn)題2：如何刻畫(huà)這些點(diǎn)的位置？二、建構(gòu)數(shù)學(xué)： 1、極坐標(biāo)系

2、的建立：在平面上取一個(gè)定點(diǎn)，自點(diǎn)引一條射線，同時(shí)確定一個(gè)單位長(zhǎng)度和計(jì)算角度的正方向（通常取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较颍@樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系。（其中稱為 ，射線稱為 。）2、極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定3、負(fù)極徑的規(guī)定一般地，如果是點(diǎn)的極坐標(biāo)，那么點(diǎn)也可表示成： 。三、例題講解例1： 寫(xiě)出下圖中各點(diǎn)的極坐標(biāo)思考：平面上一點(diǎn)的極坐標(biāo)是否唯一？若不唯一，那有多少種表示方法？坐標(biāo)不唯一是怎么引起的？不同的極坐標(biāo)是否可以寫(xiě)出統(tǒng)一表達(dá)式？變式訓(xùn)練：在上面的極坐標(biāo)系里描出下列各點(diǎn)例2：在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度；已知的極坐標(biāo)為且，說(shuō)明滿足上述條件的點(diǎn)所組成的圖形。變式訓(xùn)練：若兩點(diǎn)的極坐標(biāo)為求的長(zhǎng)以及

3、的面積。（為極點(diǎn)）例3 已知，分別按下列條件求出點(diǎn)的極坐標(biāo)。是點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；是點(diǎn)關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)。變式訓(xùn)練：在極坐標(biāo)系中，與點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)是 四、布置作業(yè)P16 3，5 ，10§極坐標(biāo)系（2）學(xué)習(xí)目的：掌握極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式學(xué)習(xí)重點(diǎn)：對(duì)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式的理解學(xué)習(xí)難點(diǎn)：互化關(guān)系式的掌握學(xué)習(xí)過(guò)程：一、新知引入：1、怎樣建立極坐標(biāo)系？極徑和極角的幾何意義是什么？情境1：若點(diǎn)作平移變動(dòng)時(shí)，則點(diǎn)的位置采用直角坐標(biāo)系描述比較方便;情境2：若點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)變動(dòng)時(shí)，則點(diǎn)的位置采用極坐標(biāo)系描述比較方便問(wèn)題1：如何進(jìn)行極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化？問(wèn)題

4、2：平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)是，這個(gè)點(diǎn)如何用極坐標(biāo)表示？二、建構(gòu)數(shù)學(xué) 直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位。平面內(nèi)任意一點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)分別為和，則由三角函數(shù)的定義可以得到如下兩組公式： 注：1、上述公式即為極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式2、通常情況下，將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，取。3、互化公式的三個(gè)前提條件（1 ）極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合;（2 ）極軸與直角坐標(biāo)系的軸的正半軸重合;（3 ）兩種坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度相同。三、例題講解例1、把下列點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)：（1） ; （2）例2、把下列點(diǎn)的直角坐標(biāo)化成極坐標(biāo)：（1）; (2) （3）R例3、若以極

5、點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正半軸,建立直角坐標(biāo)系.(1) 已知的極坐標(biāo)求它的直角坐標(biāo)；(2) 已知點(diǎn)和點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，求它們的極坐標(biāo). (3)在極坐標(biāo)系中,已知求兩點(diǎn)的距離.例4、在極坐標(biāo)系中,已知兩點(diǎn)。求中點(diǎn)的極坐標(biāo).四、布置作業(yè)課本P17 6, 7, 8，11§4.2.1 曲線的極坐標(biāo)方程的意義學(xué)習(xí)目的：1、掌握極坐標(biāo)方程的意義2、能在極坐標(biāo)中給出簡(jiǎn)單圖形的極坐標(biāo)方程學(xué)習(xí)重、難點(diǎn)：掌握極坐標(biāo)方程的意義學(xué)習(xí)過(guò)程：一、新知導(dǎo)入：1、引例：以極點(diǎn)O為圓心，5為半徑的圓上任意一點(diǎn)極徑為5，反過(guò)來(lái)，極徑為5的點(diǎn)都在這個(gè)圓上。 因此，以極點(diǎn)為圓心，5為半徑的圓可以用方程來(lái)表示。2、提問(wèn)：曲線上的點(diǎn)的

6、坐標(biāo)都滿足這個(gè)方程嗎？二、新知學(xué)習(xí)：1、定義：一般地，如果一條曲線上任意一點(diǎn)都有 極坐標(biāo)適合方程,且極坐標(biāo)適合方程的點(diǎn)在曲線上，那么這個(gè)方程稱為這條曲線的極坐標(biāo)方程，這條曲線稱為這個(gè)極坐標(biāo)方程的曲線。2、求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟：第一步 建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系；第二步 在曲線上任取一點(diǎn)第三步 根據(jù)曲線上的點(diǎn)所滿足的條件寫(xiě)出等式；第四步 用極坐標(biāo)表示上述等式，并化簡(jiǎn)得極坐標(biāo)方程；第五步 證明所得的方程是曲線的極坐標(biāo)方程。三、新知運(yùn)用： 例1求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與極軸垂直的直線的極坐標(biāo)方程。變式訓(xùn)練：已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為，那么過(guò)點(diǎn)且垂直于極軸的直線極坐標(biāo)方程。例2求圓心在且過(guò)極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程。變式訓(xùn)練：求圓心在

7、且過(guò)極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程。例3（1）化在直角坐標(biāo)方程為極坐標(biāo)方程，（2）化極坐標(biāo)方程 為直角坐標(biāo)方程。四、課堂作業(yè)：課本第32頁(yè)4、5題。§4.2.1常見(jiàn)曲線的極坐標(biāo)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、了解掌握極坐標(biāo)系中直線和圓的方程 2、鞏固求曲線方程的方法和步驟學(xué)習(xí)重點(diǎn)：求直線與圓的極坐標(biāo)方程學(xué)習(xí)過(guò)程：一、 新知導(dǎo)入：情境1： , , , 分別表示什么曲線？情境2：上述方程分別表示了直線與圓，把這些直線與圓一般化，它們的方程分別是什么？二、新知學(xué)習(xí)：1、若直線經(jīng)過(guò)，且直線的傾斜角為，求直線的極坐標(biāo)方程。運(yùn)用此結(jié)果可以推出哪些特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程。2、若圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為，求圓的極坐標(biāo)方

8、程。運(yùn)用此結(jié)果可以推出哪些特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程。二、 新知運(yùn)用：例1、 按下列條件寫(xiě)出直線的極坐標(biāo)方程：（1） 經(jīng)過(guò)極點(diǎn)和點(diǎn)的直線；（2） 經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且垂直于極軸的直線；（3） 經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且平行于極軸的直線；（4） 經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為的直線。例2、 按下列條件寫(xiě)出圓的極坐標(biāo)方程：（1）以為圓心，且過(guò)極點(diǎn)的圓；（2）以為圓心，且過(guò)極點(diǎn)的圓；（3）以極點(diǎn)O與點(diǎn)連接的線段為直徑的圓；（4）圓心在極軸上，且過(guò)極點(diǎn)與的圓。例3在圓心的極坐標(biāo)為,半徑為4的圓中，求過(guò)極點(diǎn)O的弦的中點(diǎn)的軌跡方程。四、課堂作業(yè)：課本第32頁(yè)1,2題。§4.4.1參數(shù)方程學(xué)習(xí)目的：1了解參數(shù)方程的定義，了解拋物運(yùn)動(dòng)軌跡

9、的參數(shù)方程及參數(shù)的意義；2理解直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用；理解圓和橢圓（橢圓的中心在原點(diǎn)）的參數(shù)方程及其簡(jiǎn)單應(yīng)用；學(xué)習(xí)重點(diǎn)：理解參數(shù)方程的概念；學(xué)習(xí)難點(diǎn)：理解直線、圓、橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用。 學(xué)習(xí)過(guò)程：一、新知導(dǎo)入：設(shè)炮彈發(fā)射角為，發(fā)射初速度為，怎樣求彈道曲線的方程（空氣阻力不計(jì)）？二、新知學(xué)習(xí)： 1、 參數(shù)方程的定義：一般地，在取定的坐標(biāo)中，如果曲線上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)和都可以表示為某個(gè)變量的函數(shù)：反過(guò)來(lái)，對(duì)于的每個(gè)允許值，由函數(shù)式： 所確定的點(diǎn)都在曲線C上，那么方程 叫做曲線C的參數(shù)方程，變量是參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)2、 關(guān)于參數(shù)幾點(diǎn)說(shuō)明：（1） 參數(shù)方程中參數(shù)可以是有物理意義，幾何意義，也可以沒(méi)有明

10、顯意義。（2） 同一曲線選取的參數(shù)不同，曲線的參數(shù)方程形式也不一樣（3） 在實(shí)際問(wèn)題中要確定參數(shù)的取值范圍3、 參數(shù)方程的意義：參數(shù)方程是曲線點(diǎn)的位置的另一種表示形式，它借助于中間變量把曲線上的動(dòng)點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)間接地聯(lián)系起來(lái)，參數(shù)方程與變通方程同等地描述，了解曲線，參數(shù)方程實(shí)際上是一個(gè)方程組，其中，分別為曲線上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。4、 參數(shù)方程求法（1）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)P坐標(biāo)為 （2）選取適當(dāng)?shù)膮?shù)（3）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì)，物理意義，建立點(diǎn)P坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)式5、 關(guān)于參數(shù)方程中參數(shù)的選取選取參數(shù)的原則是曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)參數(shù)的關(guān)系比較明顯關(guān)系相對(duì)簡(jiǎn)單。與運(yùn)動(dòng)有關(guān)的問(wèn)題

11、選取時(shí)間做參數(shù)與旋轉(zhuǎn)的有關(guān)問(wèn)題選取角做參數(shù)或選取有向線段的數(shù)量、長(zhǎng)度、直線的傾斜斜角、斜率等。三、新知應(yīng)用例1求橢圓的參數(shù)方程（見(jiàn)教材P.43例1）變式訓(xùn)練1、已知橢圓 (為參數(shù))求 （1）時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo) （2）直線OP的傾斜角 §4.4.2參數(shù)方程與普通方程的互化學(xué)習(xí)目的：會(huì)進(jìn)行曲線的參數(shù)方程與普通方程的互化。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：參數(shù)方程與普通方程的互化學(xué)習(xí)難點(diǎn)：如何進(jìn)行互化，參數(shù)的取值范圍的確定學(xué)習(xí)過(guò)程：例1：化下列曲線的參數(shù)方程為普通方程，并指出它是什么曲線。（1）（t是參數(shù)） （2）（t是參數(shù)，p是正常數(shù)） （3）（、b為正常數(shù)，為參數(shù)）（4）注：參數(shù)方程化為普通方程的過(guò)程就是消參

12、過(guò)程常見(jiàn)方法有三種：（1） 代入法：利用解方程的技巧求出參數(shù)t，然后代入消去參數(shù)（2） 三角法：利用三角恒等式消去參數(shù)（3） 整體消元法：根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，從整體上消去?；瘏?shù)方程為普通方程為：在消參過(guò)程中注意變量、取值范圍的一致性，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定和值域得、的取值范圍。例2 、已知直線過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為，寫(xiě)出直線的普通方程，并選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)將它化為參數(shù)方程。例3、選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，將圓的方程化為參數(shù)方程。布置作業(yè)：課本第56頁(yè) 2， 3, 4， 6§4.4.3參數(shù)方程的應(yīng)用學(xué)習(xí)目的：利用圓錐曲線的參數(shù)方程來(lái)確定最值，解決有關(guān)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：參數(shù)方程的應(yīng)用。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：合理地選擇參數(shù)求點(diǎn)的軌跡。學(xué)習(xí)過(guò)程：一、新知導(dǎo)入：如何利用曲線的參數(shù)方程來(lái)研究曲線的相關(guān)性質(zhì)？二、新知學(xué)習(xí)： 1、應(yīng)用參數(shù)方程來(lái)求最值的一般步驟是：2、應(yīng)用參數(shù)法求軌跡方程的一般步驟是：3、常見(jiàn)的幾種參數(shù)的選擇方法：三、新知應(yīng)用例1：已知是橢圓上在第一象限的點(diǎn)，和是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，為原點(diǎn)，求四邊形的面積的最大值。變式：(1) AB為過(guò)橢圓中心的弦，為焦點(diǎn)，求ABF1面積的最大值。(2) 已知橢圓和直線，試在橢圓的第一象限內(nèi)求一點(diǎn)，使得到直線的距離最大，并求出最大距離。例2：已知是圓的直