透平壓縮機(jī)機(jī)組的橫向振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分析CAE

1、透平壓縮機(jī)機(jī)組的橫向振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分析CAECAE, 壓縮機(jī), 機(jī)組, 振動(dòng)分析采用轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析軟件MADYN 2000，對(duì)一臺(tái)離心壓縮機(jī)進(jìn)行了橫向振動(dòng)分析，對(duì)一套軸流壓縮機(jī)機(jī)組進(jìn)行了扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分析，討論了轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析的重要性。0 引言 透平壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子在啟停機(jī)的升速或降速過(guò)程中，轉(zhuǎn)速達(dá)到某一數(shù)值時(shí)，轉(zhuǎn)子發(fā)生強(qiáng)烈振動(dòng)，轉(zhuǎn)速高于這一數(shù)值后，振幅又減??；振幅出現(xiàn)峰值的轉(zhuǎn)速稱(chēng)為臨界轉(zhuǎn)速。如果轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速停滯在臨界轉(zhuǎn)速附近，軸的變形將迅速增大，以至軸或軸上零件乃至整個(gè)機(jī)器遭到破壞。因此，透平壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速應(yīng)避開(kāi)臨界轉(zhuǎn)速。 隨著流程工藝復(fù)雜化，介質(zhì)類(lèi)型多樣化，機(jī)械設(shè)備朝著大型化、精密化、高效化和高可靠性

2、方向發(fā)展?？缍容^大、剛性較小、外伸端較長(zhǎng)的軸被大量采用，壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速都有不同程度的降低，更加容易引起共振。對(duì)于“轉(zhuǎn)子-齒輪-軸承”系統(tǒng)，整個(gè)軸系的扭轉(zhuǎn)臨界轉(zhuǎn)速相對(duì)降低了很多，壓縮機(jī)機(jī)組扭轉(zhuǎn)振動(dòng)問(wèn)題也引起了極大的重視。 對(duì)于這些，需要采用功能相對(duì)完備的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)軟件。能夠進(jìn)行橫向振動(dòng)、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)等方面的分析。可以考慮多種數(shù)據(jù)：包括軸的幾何尺寸，葉輪、葉片、盤(pán)套等的位置以及相關(guān)屬性，軸承的位置以及相關(guān)屬性，聯(lián)軸器相關(guān)屬性，齒輪的相關(guān)屬性，支撐的位置以及相關(guān)屬性，材料屬性，轉(zhuǎn)子速度，不平衡量的大小、相位角和位置，附加的外部載荷的位置以及與時(shí)間相關(guān)的屬性，外部激勵(lì)的位置以及諧波等。 轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析

3、軟件“MADYN 2000”軟件包，具有較強(qiáng)的功能和快捷的性能。該軟件包界面友好，易學(xué)易用、具有豐富的前處理、后處理功能?？梢詫?duì)“轉(zhuǎn)子-齒輪-軸承”系統(tǒng)進(jìn)行橫向振動(dòng)、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)、軸向振動(dòng)等方面的仿真分析。包括有臨界轉(zhuǎn)速分析、不平衡響應(yīng)分析、阻尼特征值分析及轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性分析、瞬態(tài)分析及非線(xiàn)性分析等?？梢钥紤]陀螺效應(yīng)的影響、軸承的影響、基礎(chǔ)的影響及密封的影響及齒輪的影響等。 “MADYN 2000”軟件包主要采用梁結(jié)構(gòu)，采用的梁理論是鐵木辛柯梁(Timoshenko Beam)；采用的計(jì)算分析方法是有限元法；采用的多項(xiàng)式是埃爾米特多項(xiàng)式。 這里，對(duì)一臺(tái)離心壓縮機(jī)進(jìn)行了橫向振動(dòng)分析，對(duì)一套軸流壓縮機(jī)機(jī)組

4、進(jìn)行了扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分析。 圖1計(jì)算模型 1 橫向振動(dòng)分析 1.1 計(jì)算模型的建立 這里計(jì)算分析一臺(tái)離心壓縮機(jī)。計(jì)算模型考慮了各軸段及葉輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，考慮了滑動(dòng)軸承8個(gè)動(dòng)態(tài)特性系數(shù)。計(jì)算模型如圖1所示。 計(jì)算模型建立之后，可立即計(jì)算出轉(zhuǎn)子的總質(zhì)量、總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、重心位置等，便于進(jìn)行數(shù)據(jù)核對(duì)。 1.2 計(jì)算及分析 在分析計(jì)算時(shí)，進(jìn)行了剛性支承下的特征值計(jì)算、滑動(dòng)軸承支承下的特征值計(jì)算、不平衡響應(yīng)分析等。一階不平衡響應(yīng)分析結(jié)果如圖2所示，二階不平衡響應(yīng)分析結(jié)果如圖3所示。 圖2一階不平衡響應(yīng)分析結(jié)果 圖3二階不平衡響應(yīng)分析結(jié)果 在不平衡響應(yīng)分析結(jié)果里，可直接顯示出橫向臨界轉(zhuǎn)速等數(shù)據(jù)，使用非常方便。 采用轉(zhuǎn)

5、子動(dòng)力學(xué)分析軟件MADYN 2000，對(duì)一臺(tái)離心壓縮機(jī)進(jìn)行了橫向振動(dòng)分析，對(duì)一套軸流壓縮機(jī)機(jī)組進(jìn)行了扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分析，討論了轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析的重要性。該離心壓縮機(jī)的工作轉(zhuǎn)速為11700r/min,經(jīng)過(guò)計(jì)算，可得到一階臨界轉(zhuǎn)速為4099r/min,二階臨界轉(zhuǎn)速為21590 r/min，該轉(zhuǎn)子在設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)速下運(yùn)行時(shí)不會(huì)發(fā)生橫向振動(dòng)。 2 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分析 2.1 計(jì)算模型的建立 計(jì)算和分析了一套軸流壓縮機(jī)機(jī)組，該壓縮機(jī)機(jī)組由電機(jī)、齒輪箱、軸流壓縮機(jī)和膜片聯(lián)軸器組成。高速軸轉(zhuǎn)速：4545 r/min，低速軸轉(zhuǎn)速：1500 r/min，速比為3.030。計(jì)算程序采用MADYN 2000軟件，模型共分2個(gè)連續(xù)軸系，模

6、型分布圖如圖4所示。 圖4 機(jī)組的模型分布圖 圖5扭轉(zhuǎn)振動(dòng)CAMPBELL圖 2.2 計(jì)算及分析 在分析計(jì)算時(shí)，進(jìn)行了特征值分析、阻尼特征值分析等，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)CAMPBELL圖如圖5所示，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)一階振型圖如圖6所示，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)二階振型圖如圖7所示，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)三階振型圖如圖8所示。 圖6扭轉(zhuǎn)振動(dòng)一階振型圖 圖7扭轉(zhuǎn)振動(dòng)二階振型圖 圖8扭轉(zhuǎn)振動(dòng)三階振型圖 計(jì)算的一階扭轉(zhuǎn)臨界轉(zhuǎn)速為1173 r/min（19.55 Hz），二階扭轉(zhuǎn)臨界轉(zhuǎn)速為3810 r/min（63.50 Hz），三階扭轉(zhuǎn)臨界轉(zhuǎn)速為18217r/min（303.62 Hz）。根據(jù)有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)，要求機(jī)組各階扭轉(zhuǎn)臨界轉(zhuǎn)速應(yīng)避開(kāi)1倍，2倍工作轉(zhuǎn)速

7、10%這一范圍，從機(jī)組的扭振CAMPBELL圖和各階扭轉(zhuǎn)臨界轉(zhuǎn)速振型圖可以看出，該機(jī)組扭轉(zhuǎn)振動(dòng)計(jì)算結(jié)果滿(mǎn)足了相關(guān)要求。 3 結(jié)論 目前，各個(gè)方面對(duì)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析的要求都在不斷提高，進(jìn)行橫向振動(dòng)、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)等方面的分析也越來(lái)越多，振動(dòng)特性測(cè)試、振動(dòng)監(jiān)測(cè)保護(hù)等方面的工作也增加了很多。這樣，轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析、試車(chē)測(cè)試、監(jiān)測(cè)保護(hù)等工作可以有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，以便機(jī)組更平穩(wěn)地運(yùn)行。一、轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的概念 圖2-20 單盤(pán)轉(zhuǎn)子示意圖 圖2-21 圓盤(pán)的瞬時(shí)位置及受力轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是一類(lèi)特殊的工程機(jī)械，下面通過(guò)最簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)子模型來(lái)進(jìn)行討論，說(shuō)明轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的概念。 設(shè)有一轉(zhuǎn)子如圖2-20所示，其中是固定坐標(biāo)系，無(wú)質(zhì)

8、量的彈性軸的彎曲剛度為，在跨中安裝有質(zhì)量為的剛性薄盤(pán)。由于材料、工藝等因素使圓盤(pán)的質(zhì)心偏離軸線(xiàn)，偏心距為。當(dāng)轉(zhuǎn)子以等角速度自轉(zhuǎn)時(shí)，偏心引起的離心慣性力將使軸彎曲，產(chǎn)生動(dòng)撓度，并隨之帶動(dòng)圓盤(pán)公轉(zhuǎn)。設(shè)圓盤(pán)在瞬時(shí)的狀態(tài)如圖2-21所示，這時(shí)彈性軸因有動(dòng)撓度而對(duì)圓盤(pán)的作用力為，它在坐標(biāo)軸上的投影分別為 （2-100） 式中，為彈性軸在跨中的剛度系數(shù)，由材料力學(xué)可知，對(duì)于圖2-20所示的模型 （2-101） 設(shè)圓盤(pán)在運(yùn)動(dòng)中受到粘性阻尼力的作用，它的兩個(gè)分量為 （2-102） 式中，為粘性阻尼系數(shù)。 根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，可得： （2-103） 由圖2-21的幾何關(guān)系知 （2-104） 對(duì)上式求兩次導(dǎo)數(shù)，可得

9、 （2-105） 把（2-105）代入（2-103），得到轉(zhuǎn)子模型的運(yùn)動(dòng)微分方程 （2-106） 可改寫(xiě)為 （2-107） 式中， ， 把（2-107）式與有阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程作一比較，顯然兩者在數(shù)學(xué)形式上是完全相同的。因此引用其求穩(wěn)態(tài)解的方法，設(shè) (2-108） 把（2-108）代入（2-107）中，得到 （2-109） 由此可見(jiàn)，點(diǎn)繞固定坐標(biāo)系的軸在作圓周運(yùn)動(dòng)。對(duì)照幾何關(guān)系 可見(jiàn)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑就是軸的動(dòng)撓度，角速度等于軸的自轉(zhuǎn)角速度，因?yàn)橛凶枘?，?dòng)撓度與偏心之間存在相位差。即有 （2-110） 根據(jù)（2-110）式可繪出在不同值時(shí)，和隨值變化的曲線(xiàn)，分別如圖2-22與圖2-

10、23所 示。由于的存在，在一般情況下，、和三點(diǎn)并不在一條直線(xiàn)上，而總是成一個(gè)三角形，而且的形狀在轉(zhuǎn)子以等角速度旋轉(zhuǎn)過(guò)程中保持不變。只有當(dāng)時(shí)，這三點(diǎn)才近似在一直線(xiàn)上，點(diǎn)位于和之間，即所謂圓盤(pán)的重邊飛出。當(dāng)時(shí)，這三點(diǎn)又近似在一直線(xiàn)上，但點(diǎn)位于和之間，即所謂圓盤(pán)的輕邊飛出，這種現(xiàn)象稱(chēng)為自動(dòng)定心，也叫偏心轉(zhuǎn)向。 圖2-22 轉(zhuǎn)子動(dòng)撓度的幅值-轉(zhuǎn)速曲線(xiàn) 圖2-23 轉(zhuǎn)子動(dòng)撓度的相位-轉(zhuǎn)速曲線(xiàn) 根據(jù)國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，臨界轉(zhuǎn)速定義為：系統(tǒng)共振時(shí)發(fā)生主響應(yīng)的特征轉(zhuǎn)速，在這里就是使動(dòng)撓度取得極值的轉(zhuǎn)速，于是可利用條件 （2-111） 來(lái)確定臨界轉(zhuǎn)速，并以表示。由（2-111）式得 由此解得 （2-112） 可見(jiàn)外阻尼總

11、使得轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速稍大于其橫向自然頻率，這在圖2-22中也可以看出，各曲線(xiàn)的峰值都偏在線(xiàn)的右邊，這一點(diǎn)應(yīng)特別注意。 對(duì)于小阻尼情況 （2-113） 對(duì)于無(wú)阻尼的理想情況，即，在臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，動(dòng)撓度將達(dá)到無(wú)限大。而相位角在臨界轉(zhuǎn)速之前為零，之后為，即在臨界轉(zhuǎn)速前后有相位突變，、和三點(diǎn)始終在一條直線(xiàn)上。實(shí)際轉(zhuǎn)子系統(tǒng)總存在一定阻尼，動(dòng)撓度不會(huì)無(wú)限大，但比一般轉(zhuǎn)速下的動(dòng)撓度大得多，足以造成轉(zhuǎn)子破壞，因此，工程上要嚴(yán)格避免轉(zhuǎn)子在臨界轉(zhuǎn)速附近工作?？梢?jiàn)，正確的臨界轉(zhuǎn)速分析計(jì)算，在轉(zhuǎn)子設(shè)計(jì)和處理實(shí)際問(wèn)題中都很重要。 為了形象地表示自動(dòng)定心（偏心轉(zhuǎn)向）及在臨界轉(zhuǎn)速時(shí)的相位差，把、及三點(diǎn)在不同轉(zhuǎn)速時(shí)的相對(duì)位置表示

12、在圖2-24上。 圖2-24 在不同轉(zhuǎn)速時(shí)的偏心位置 二、振動(dòng)傳感器的基本原理 一個(gè)完整的振動(dòng)傳感器，可以分為兩部分，即機(jī)械接收部分和機(jī)電變換部分。機(jī)械接收部分的作用是將被測(cè)的機(jī)械量（如振動(dòng)位移、速度、加速度等）接收為另一個(gè)適合于機(jī)電變換的中間量。機(jī)電變換部分再將中間量變換為電量輸出。 振動(dòng)傳感器常用的機(jī)械接收原理有相對(duì)式和慣性式兩種。下面以慣性式傳感器的接收為例來(lái)討論振動(dòng)傳感器的基本原理。慣性接收傳感器的接收部分可以簡(jiǎn)化為由質(zhì)量、彈簧和阻尼構(gòu)成的單自由度系統(tǒng)，如圖2-25所示。設(shè)傳感器的底座完全剛性地固定在測(cè)量對(duì)象上，與被測(cè)體具有完全相同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。設(shè)測(cè)量對(duì)象的振動(dòng)為，質(zhì)量相對(duì)于底座的相對(duì)振

13、動(dòng)為，則表示接收關(guān)系的相對(duì)振動(dòng)微分方程為 圖2-25 慣性傳感器的接收部分簡(jiǎn)化模型 （2-114） 可改寫(xiě)為 （2-115） 其中， ，為傳感器底座完全剛性固定不動(dòng)時(shí)接收部分的自然頻率，也稱(chēng)為“固定安裝共振頻率”，為接收部分的阻尼比。后面將會(huì)看到，固定安裝共振頻率及阻尼比是決定傳感器使用頻率范圍的兩個(gè)最主要的參數(shù)。下面分兩種情況討論。 1. 位移計(jì)型慣性接收（，） 設(shè)輸入的被測(cè)振動(dòng)的復(fù)數(shù)形式為 （2-116） 經(jīng)接收后輸出的相對(duì)振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 （2-117） 代入（2-115）式，可得： （2-118） 式中，為輸入對(duì)輸出的幅值比，它相當(dāng)于機(jī)械接收部分的靈敏度，為無(wú)量綱動(dòng)力放大系數(shù)，為輸出對(duì)

14、輸入的相位 （2-119） b （2-120） 其中，稱(chēng)為頻率比。 在圖2-26（a）、（b）中分別給出了、隨的變化規(guī)律，從圖中可以看出： （1）使用頻率范圍。當(dāng)以后，曲線(xiàn)逐漸進(jìn)入平坦區(qū)，并隨著的增加而趨向于1。這一平坦區(qū)就是位移計(jì)型傳感器的使用頻率范圍。因此，對(duì)于位移計(jì)型慣性接收的傳感器來(lái)說(shuō)，測(cè)量頻率要大于傳感器的自然頻 圖2-26 位移計(jì)型慣性式接收特性曲線(xiàn) （a）輻頻特性曲線(xiàn)；（b）相頻特性曲線(xiàn) 率。為了壓低使用頻率下限，一般引進(jìn)的阻尼比，這樣，曲線(xiàn)在過(guò)了之后，很快進(jìn)入平坦區(qū)。在的范圍內(nèi)，接收靈敏度急劇下降，因此，位移計(jì)型慣性接收不適用于比傳感器自然頻率更低的振動(dòng)測(cè)量。理論上講，測(cè)量頻率

15、上限無(wú)限制。 （2）阻尼與相移。引進(jìn)阻尼雖然改善了附近接收靈敏度曲線(xiàn)的平坦度，但是，阻尼使相移大大增加，從圖中相移曲線(xiàn)上可以看到，在的區(qū)域內(nèi)，值的取值越大，相移角偏離無(wú)相移線(xiàn)的差角也越大。這在傳感器使用中應(yīng)當(dāng)注意。 （3）幅值上限。位移計(jì)型慣性接收的傳感器在其使用頻率范圍內(nèi)，其內(nèi)部慣性質(zhì)量的相對(duì)振動(dòng)位移的幅值接近于被測(cè)振動(dòng)位移幅值。因此，它不允許測(cè)量超過(guò)其內(nèi)部可動(dòng)部分行程的振動(dòng)位移。 需要說(shuō)明的是，位移計(jì)型慣性接收的傳感器不等于是位移傳感器，這還取決于傳感器所采用的機(jī)電變換原理。 2. 加速度計(jì)型慣性接收()令被測(cè)的振動(dòng)加速度的復(fù)數(shù)形式為 （2-121） 式中，為加速度的復(fù)振幅，它與位移復(fù)振幅

16、的關(guān)系為 （2-122） 由（2-115）可求得輸出的相對(duì)振動(dòng)位移與輸入的振動(dòng)加速度的復(fù)振幅比（表示為無(wú)量綱形式）為 （2-123） 上式中，仍為傳感器固定安裝時(shí)的自然頻率，仍代表接收靈敏度。為輸出相對(duì)于輸入的相位滯后。 （2-124） （2-125） 在圖2-27（a）、（b）上，分別繪制了和隨的變化曲線(xiàn)，從這兩組曲線(xiàn)看出： 圖2-27 加速度計(jì)型慣性接收的特性曲線(xiàn)（a）輻頻特性曲線(xiàn)；（b）相頻特性曲線(xiàn) （1）使用頻率范圍。加速度計(jì)型慣性接收是利用曲線(xiàn)上之間平坦段作為使用頻率范圍。在這一平坦段內(nèi)，相對(duì)振動(dòng)位移正比于被測(cè)振動(dòng)加速度。當(dāng)時(shí)有，因此，加速度計(jì)型慣性接收具有零頻率的響應(yīng)的特點(diǎn)。如果傳

17、感器的機(jī)電變換部分和測(cè)量電路部分都具有零頻率響應(yīng)，則構(gòu)成的整個(gè)測(cè)量系統(tǒng)也有零頻率響應(yīng)?？梢杂糜跍y(cè)量特低頻振動(dòng)和恒加速度運(yùn)動(dòng)。使用頻率上限除了受自然頻率和安裝剛度的限制外，還與引進(jìn)的阻尼比值有關(guān)。為了擴(kuò)展其頻率上限，某些加速度傳感器也引入的阻尼比。 （2）阻尼與相移，在壓電式加速度傳感器中，由于采用壓電式機(jī)電變換，其固有頻率可達(dá)幾十，而阻尼比只有的量級(jí)。因此，在其使用的或范圍內(nèi)，只有極小的相移，但對(duì)于引入了較大阻尼的加速度傳感器（如金屬絲電阻 加速度傳感器）中，相移應(yīng)多注意。 （3）加速度計(jì)型慣性接收的傳感器，在其使用頻率范圍內(nèi)，內(nèi)部的相對(duì)振動(dòng)位移總是遠(yuǎn)小于測(cè)量對(duì)象的振動(dòng)位移。因此，一般不存在類(lèi)

18、似的位移計(jì)型的行程問(wèn)題。 習(xí) 題 2.1 彈簧不受力時(shí)原長(zhǎng)為65厘米，下端掛上重1公斤的物體后，彈簧長(zhǎng)度增大到85厘米。設(shè)用手把物體托住，使彈簧回到原來(lái)長(zhǎng)度時(shí)，突然釋放，物體初始為零。試求物體的運(yùn)動(dòng)方程、振幅、周期以及彈簧力的最大值。答： ， 厘米 ， 秒， 千克2.2 由吊索懸掛的礦籠重噸，以速度米/秒勻速下降。設(shè)吊索突然嵌入滑輪側(cè)面的縫隙，吊索上端被卡住，立即停止不動(dòng)。求此后礦籠的運(yùn)動(dòng)，以及吊索中的最大張力。吊索的懸垂部分，重量可以不計(jì)，剛度系數(shù)為噸/厘米。答： 噸2.3 求圖示物體的周期，三個(gè)彈簧都成鉛垂，且。答： 2.4 一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面作自由振動(dòng)，如圖所示。試列出振動(dòng)微分方程

19、，并求出其固有圓頻率。圖2-28 題2.3圖 圖2-29 題2.4圖答： 運(yùn)動(dòng)方程 固有圓頻率 2.5 求圖示系統(tǒng)微幅扭振的周期。兩個(gè)摩擦輪可分別繞水平軸與轉(zhuǎn)動(dòng)，互相嚙合，不能相對(duì)滑動(dòng)，在圖示位置（半徑與在同一水平線(xiàn)上），彈簧不受力，彈簧系數(shù)為與摩擦輪可看為等厚均質(zhì)圓盤(pán)，質(zhì)量為與。答： 圖2-30 題2.5圖 圖2-31 題2.6圖 2.6 輪子可繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，輪緣繞有軟繩，下端掛有重量的物體，繩與輪緣之間無(wú)滑動(dòng)。在圖示位置，由水平彈簧維持平衡。半徑與都是已知的。求微幅振動(dòng)的周期。答： 2.7 用彈簧懸掛的物體，質(zhì)量為，原成靜平衡。突然有質(zhì)量為的物體從高度落下，撞到后不再回

20、跳，求此后的運(yùn)動(dòng)。答： 2.8 求圖所示周盤(pán)系統(tǒng)對(duì)軸1的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸1與2是平行軸。及分別為兩圓盤(pán)的半徑及對(duì)軸1，2的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。圖2-32 題2.7圖 圖2-33 題2.8圖 答： 2.9 半徑為的均質(zhì)圓柱，可以在半徑的圓筒內(nèi)滾動(dòng)而無(wú)滑動(dòng)。圓柱與圓筒的軸線(xiàn)都成水平。試求圓柱在靜平衡位置附近振動(dòng)的頻率。答：圖2-34 題2.9圖 圖2-35 題2.10圖 2.10 如圖所示為一測(cè)低頻振幅用的測(cè)振儀的倒置擺。1. 試導(dǎo)出系統(tǒng)的靜態(tài)穩(wěn)定平衡條件； 2. 給定整個(gè)系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，求系統(tǒng)的固有頻率。答：（1）提示：一個(gè)系統(tǒng)的靜態(tài)平衡是否穩(wěn)定定于它的勢(shì)能是極小值還是極大值，再由等效剛度的正負(fù)

21、來(lái)判別。（2）2.11 用能量法求圖示三個(gè)擺微幅振動(dòng)的固有頻率。擺錘重為，桿重不計(jì)。（b）與（c）中每個(gè)彈簧的剛度系數(shù)為。圖2-36 題2.11圖答： 2.12一質(zhì)量為，長(zhǎng)為的等直桿，以等角速度繞垂直軸旋轉(zhuǎn)，如圖所示，以表示桿與垂直軸的夾角1. 確定桿的穩(wěn)定的相對(duì)平衡位置； 2. 導(dǎo)出桿在平衡位置附近作微擺的微分方程，并求其固有圓頻率； 3. 求當(dāng)很大時(shí)的固有頻率。 答：（1）（2）（3） 當(dāng)時(shí)，此時(shí)即等直桿接近水平位置。圖2-37 題2.12圖2.13 重量為的物體，掛在彈簧的下端，產(chǎn)生靜伸長(zhǎng)。在上下運(yùn)動(dòng)時(shí)所遇到的阻力與速度成正比。要保證物體不發(fā)生振動(dòng)，求阻尼系數(shù)的最低值。答： 2.14圖示

22、簡(jiǎn)化系統(tǒng)，假定系數(shù)以及彈簧下端的運(yùn)動(dòng)均為已知。試寫(xiě)出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方城，并求出臨界阻尼。圖2-38 題2.14圖 圖2-39 題2.15圖 答： 2.15一彈簧與阻尼器并聯(lián)于無(wú)質(zhì)量的水平板上，今將一質(zhì)量輕放在板上后立即釋手，系統(tǒng)即作衰減振動(dòng)。問(wèn)質(zhì)量的最大振幅是多少？發(fā)生在何時(shí)？最大速度是多少？發(fā)生在何時(shí)？設(shè)。答： 2.16掛在彈簧下端的物體重為0.49公斤，彈簧系數(shù)為0.20公斤/厘米，求在鉛垂擾力作用下強(qiáng)迫振動(dòng)的規(guī)律。答： 2.17空桶重4噸，浮在水面上，而水面的高度按照米的規(guī)律上下波動(dòng)。桶的水平截面積可以認(rèn)為常數(shù)，等于。試求桶沿鉛垂方向的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，假定阻尼可以不計(jì)，且在初瞬時(shí)桶的位移與速度都等于零。答： 2.18導(dǎo)出圖示彈簧與阻尼串聯(lián)的單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，求出其振動(dòng)解。答： 常數(shù)可由初始條件決定。圖2-40 題2.1