23雙曲線習題課

1、2.3.3高二數(shù)學高二數(shù)學 選修選修2-1 第第二二章章 圓錐曲線圓錐曲線與方程與方程第第四四課時課時22yx.LC:1A,B35例例已已知知直直線線 與與雙雙曲曲線線相相交交于于兩兩點點. .與與雙雙曲曲線線的的漸漸近近線線相相交交于于C C, ,D D兩兩點點, , 求求證證: :| |A AC C| |= =| |B BD D| | 分析：只需證明線段分析：只需證明線段AB、CD的中點重合即可的中點重合即可.證明證明: (1)若若L有斜率，設有斜率，設L的方程為的方程為: y=kx+b22222y=kx+b(5k3)x10bkx5b150yx135 2AB210kbLCA,B,5k30,

2、xx35k 與與相相交交于于兩兩點點2AB210kbLCA,B,5k30,xx35k 與與相相交交于于兩兩點點22222y=kx+b(5k3)x10bkx5b0yx035 2CD210kbL,D,5k30,xx35k 與漸近線相交于C兩點與漸近線相交于C兩點2CD210kbL,D,5k30,xx35k 與漸近線相交于C兩點與漸近線相交于C兩點可可見見A AB B, ,C CD D的的中中點點橫橫坐坐標標都都相相同同, ,從從而而中中點點重重合合. .(2)若直線L的斜率不存在,由對稱性知結(jié)論亦成立.若直線L的斜率不存在,由對稱性知結(jié)論亦成立. 2. 過雙曲線過雙曲線x2-y2=4的右焦點的右焦

3、點F作傾斜角為作傾斜角為1050的的直線直線, 交雙曲線于交雙曲線于P、Q兩點兩點, 求求|FP|FQ |的值的值.|2,|FPFQePMQN |,|.22FPFQPMQN解解: 如右圖所示如右圖所示, 分別過點分別過點P、Q作作PM、QN垂直垂直于雙曲線于雙曲線x2-y2=4的右準線的右準線l:x= ,垂足分別為垂足分別為M、N. 則由雙曲線的第二定義可得則由雙曲線的第二定義可得2即得即得|cos752 2- 22,QNFQ又因為又因為 |cos75 2,2FQFQ即即所以所以2|.1cos752FQ 同理同理2|.1-cos752FP 所以所以222| |11-cos75cos752222

4、8 3.11 1cos1503-cos 75-222FPFQ點評：點評：雙曲線上一點與焦點的連線段稱為一條雙曲線上一點與焦點的連線段稱為一條焦半徑焦半徑, 焦半徑、點準距焦半徑、點準距(點到相應準線的距離點到相應準線的距離)、離心率三者之間的關系式是我們解決有關雙曲離心率三者之間的關系式是我們解決有關雙曲線距離的重要關系式線距離的重要關系式.3.已知直線已知直線y=ax+1與雙曲線與雙曲線3x2-y2=1相交于相交于A、B兩點兩點.(1)當當a為何值時，以為何值時，以AB為直徑的圓過坐標原點；為直徑的圓過坐標原點；(2)是否存在這樣的實數(shù)是否存在這樣的實數(shù)a,使使A、B關于關于y=2x對稱，對

5、稱，若存在若存在, 求求a; 若不存在若不存在, 說明理由說明理由.解：將解：將y=ax+1代入代入3x2-y2=1(6, 6),a 設設A(x1, y1), B(x2, y2), 得得(3-a2)x2-2ax-2=0, 它有兩個實根它有兩個實根, 必須必須0,1212222a2xx,x x3a3a 原點原點O(0, 0)在以在以AB為直徑的圓上，為直徑的圓上， OAOB，即，即x1x2+y1y2=0,即即 x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, (a2+1) x1x2 +a(x1+x2 )+1=0,解得解得a=1.22222a (a +1) +a+1=03a3a . (2)是否存在這樣

6、的實數(shù)是否存在這樣的實數(shù)a,使使A、B關于關于y=2x對稱對稱, 若存在若存在, 求求a; 若不存在若不存在, 說明理由說明理由.(3-a2)x2-2ax-2=0,4. 已知雙曲線已知雙曲線C的方程為的方程為 離心率離心率e= , 頂點到漸近線的距離為頂點到漸近線的距離為 . (1)求雙曲線求雙曲線C的方程；的方程； (2)P是雙曲線是雙曲線C上一點，上一點，A, B兩點在雙曲線兩點在雙曲線C的的兩條漸近線上，且分別位于第一，二象限兩條漸近線上，且分別位于第一，二象限. 若若 , , 2.求求AOB面積的取值范圍面積的取值范圍.2222-1(0,0),yxababAPPB 5522531解：解

7、：(1)由題意知，雙曲線由題意知，雙曲線C的頂點的頂點(0, a)到漸近到漸近線線ax-by=0的距離為的距離為 ,552所以所以222 5,5abab即即2 5.5abc由由2222555,2abccacab得得21 ,5abc所以雙曲線所以雙曲線C的方程為的方程為22-1.4yx 4. 已知雙曲線已知雙曲線C的方程為的方程為 離心率離心率e= , 頂點到漸近線的距離為頂點到漸近線的距離為 . (1)求雙曲線求雙曲線C的方程；的方程； (2)P是雙曲線是雙曲線C上一點，上一點，A, B兩點在雙曲線兩點在雙曲線C的的兩條漸近線上，且分別位于第一，二象限兩條漸近線上，且分別位于第一，二象限. 若

8、若 , , 2.求求AOB面積的取值范圍面積的取值范圍.2222-1(0,0),yxababAPPB 5522531APPB -2()(,),11mnmn(2)由由(1)知雙曲線知雙曲線C的兩條漸近線方程為的兩條漸近線方程為y=2x.設設A(m, 2m), B(-n, 2n), m0, n0.由由 得得P點的坐標為點的坐標為將將P點的坐標代入點的坐標代入 化簡得化簡得設設AOB=2 ,因為因為tan( )=2,又又22-1,4yx 2(1).4mn所以所以114tan,sin,sin2.255所以所以111| | sin22() 1.22AOBSOAOBmn 2 ,5,5nOBmOA 111(

9、 )() 1, ,2,23S189(1)2, ( ), (2),334SSS記記當當=1時，時，AOB的面積取得最小值的面積取得最小值2， 2 , 1 當當 時時, 函數(shù)函數(shù) 為增函數(shù)為增函數(shù))( S易證易證:當當 時時, 函數(shù)函數(shù) 為為減減函數(shù)函數(shù); )( S 1 ,31 當當= 時時,AOB的面積取得最大值的面積取得最大值 .313838所以所以AOB面積的取值范圍是面積的取值范圍是2, .,2ykxmyx2(,),2-2-mmkk,-2ykxmyx-2(,).22mmkk解法解法2: (2)設直線設直線AB的方程為的方程為y=kx+m.由題意知由題意知|k|0.得得A點的坐標為點的坐標為得得B點的坐標為點的坐標為由由 得得P點的坐標為點的坐標為,APPB 121(-),(),12-212-2mmkkkk由由由由2211| | |2211(-)()222-21 411() 1.2 4-2AOBAOQBOQABABSSSOQxOQxmmm xxmkkmk22-1,4yx 2224(1).4-mk將將P點坐標代入點坐標代入 得得設設Q為直線為直線AB與與y軸的交點軸的交點,則則Q點的坐標為點的坐標為(0,m).以下同解法以下同解法1. 點評：點評：求參數(shù)或式子的取值