第四章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、 WORD格式整理版第 四 章微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、考核要求 知道羅爾定理成立的條件和結(jié)論，知道拉格朗日中值定理成立的條件和結(jié)論。 能識別各種類型的未定式，并會用洛必達(dá)法則求它們的極限。 會判別函數(shù)的單調(diào)性，會用單調(diào)性求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并會利用函數(shù)的單調(diào)性證明簡單的不等式。 會求函數(shù)的極值。 會求出數(shù)在閉區(qū)間上的最值，并會求簡單應(yīng)用問題的最值。 會判斷曲線的凹凸性，會求曲線的凹凸區(qū)間和拐點。 會求曲線的水平漸近線和垂直漸近線。二、基本概念、主要定理和公式、典型例題 微分中值定理今后，如果函數(shù)f(x)在某一點x0處的導(dǎo)數(shù)值=0，就說這一點是駐點，因此羅爾中值定理的結(jié)論也可以說f(x)在（a

2、，b）內(nèi)至少有一個駐點。從y=f(x)的幾何圖形（見下圖）可以看出，若y=f(x)滿足羅爾中值的條件，則它在（a，b）內(nèi)至少有一點，其切線是水平的，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道，該點的斜率=k=0。從函數(shù)y= f(x)的圖形看（見下圖），連接y= f(x)在a，b上的圖形的端點A與B，則線段AB的斜率為：將AB平行移動至某處，當(dāng)AB的平行線與曲線y=f(x)相切時，若切點為x=c，則根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知：或?qū)懽鞴蕪膸缀螆D形看，拉格朗日定理是成立的。典型例題例一：（單選）下列函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上滿足羅爾中值定理的條件的函數(shù)是（） ，-1，1； ，-1，1； ，1， 2； ，-1，1。解：在-1，1上處處有

3、意義，沒有無意義的點，因為他沒有分母，所以在b區(qū)間-1，1上處處連續(xù)滿足第一個條件。又f(-1)=1，f(1)=1，所以在端點上函數(shù)值相等，滿足第三個條件因此這函數(shù)在開間內(nèi)不是處處可導(dǎo)，只少在0這一點不可導(dǎo)的，因此不滿足第二個條件。 在x=o處不可導(dǎo)，也不滿足第二個條件。 f(1)=1，f(2)=4，在1，2上滿足第三個條件。 ，處處可導(dǎo)且處處連續(xù)，f(-1)=1， f(1)=1。在-1，1上滿足三個條件。例二：證明方程在（0，1）內(nèi)至少有一個根。證：用羅爾中值定理解：由于令在0，1上滿足羅爾定理的三個條件。所以在（0，1）內(nèi)至少存在一個數(shù)c (0c1) 使。 x=c 是方程的根。即 x=c是

4、方程的根。例三：證明不等式：arctanbarctanab-a ，(ab)解： 令f(x)= arctan x 處處存在。 f(x)= arctan x處處可導(dǎo)，處處連續(xù)，所以f(x)=arctanx 在a， b上滿足拉格朗日定理的二個條件，因此存在acb，使。即：arctanbarctanab-a在第三章我們曾知常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，即反過來會問：導(dǎo)數(shù)為零的函數(shù)是否一定是常數(shù)，下面我們證明證：在（a，b）任取兩數(shù)x1，x2，假定x2x1，證明這兩個函數(shù)值相等的。由于函數(shù)在a，b內(nèi)處處可導(dǎo)，因此根據(jù)拉格朗中值定理知道在區(qū)間內(nèi)部處處連續(xù)。因此函數(shù)在開區(qū)間x1，x2內(nèi)部只少存在一點c使，使在端點的函數(shù)值

5、f( x1)-f(x2)=(x2-x1)由于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部的導(dǎo)數(shù)值永遠(yuǎn)等于0，所以0f(x2)-f(x1)=0f(x2)f(x1)證畢。證：令(x)=f(x)-g(x) 在（a，b）內(nèi)=-=0 在（a，b）內(nèi)(x)=c，即 在（a，b）內(nèi)f(x)-g(x)=c 在（a，b）內(nèi)f(x)=g(x)+c洛必達(dá)法則當(dāng)limf(x)=0 且limg(x)=0時，或limf(x)= 且limg(x)=時，分式的極限不能用除法公式計算，上面的分式的極限可能存在，也可能是，還可能沒有極限，因此叫未定式，對于未定式的極限有下面的計算方法，叫洛必達(dá)法則，我們不加證明地介紹給學(xué)員使用在洛必達(dá)法則的條件和結(jié)論中，我們

6、沒有寫明x的變化狀態(tài)，意思是xa 或x 這兩情形洛必達(dá)法則都正確洛必達(dá)法則的優(yōu)點在于，在大多情形下，極限的計算較困難，而極限的計算較易，便可將一個較難的計算變?yōu)檩^易的極限計算洛必達(dá)法則在使用時可以簡寫為即兩個無限小相除或兩個無究大相除都可用洛必達(dá)法則計算，需要法注意的前提是它們的導(dǎo)數(shù)必須存在且比值的極限必需是常數(shù)或。典型例題洛必達(dá)法則可以多次使用，需要注意的是使用它的前提必須是未定式或在使用洛必達(dá)法則求極限時不要忘記四則運算法則和等價替換原則，綜合使用時計算會顯得簡單。例如在例二中，下面的計算因為x0時，1-cosx，進行等價替換會更簡單。解：x0時，sin xx從例八同學(xué)們可以看出，無論a為

7、何值，均有：由例七，例八同學(xué)們可以看出， x+時，雖然lnx，(a0),都是無窮大量，但遠(yuǎn)大于，遠(yuǎn)大于lnx?；蛘哒f是比高階的無窮大，（a0）是比lnx高階的無窮大。從上邊可以看到，求不定式型或型的極限時，洛必達(dá)法則是一種很有效的方法，但同學(xué)們必需注意兩條：第一，只有不定式型或型才能使用洛必達(dá)法則，否則會犯錯誤。第二，有或時，等式才成立，也就是說，若不存在時，并不能說，也就是說，不能說也不存在，這時，只好用其它方法求極限，請看下面兩個例題。若不注意，錯誤地用洛必達(dá)法則，便得出錯誤的結(jié)果錯誤在于第一個等式，由于本題不是不定型，所以不能用洛必達(dá)法則。因為x時,sinx的值在（-1）與1之間波動，

8、不存在， 不存在，若由此得出結(jié)論，不存在那就錯了，原因在于不存在時，不能說。正確的解法是：下面介紹三種可以化為不定式型或型的極限。（1）(-)型由于()結(jié)果不定，可以是無窮小，也可以是無窮大，還可以是接近于常數(shù)A的量，如果希望用洛必達(dá)法則求它的極限，必須合并為一個分式化為型或型。（2）（0·）型，無窮小乘無窮大其結(jié)果也是不能直接確定的，為了用洛必達(dá)法則，要將被求極限寫成分式變?yōu)樾突蛐?。?）型，型和型，它們常見于冪指函數(shù)求極限。由于例十九若f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求。 函數(shù)的增減性及其判別定理證：用拉格朗日中值定理（1）在（a， b）內(nèi)任取，只需證明即可。 在（a， b）內(nèi)，當(dāng)然在（

9、a， b）內(nèi)可導(dǎo)， 在（a， b）內(nèi)連續(xù)。 在上連續(xù)，在()上可導(dǎo)， 在上滿足拉格朗日中值定理的兩個條件。根據(jù)拉格朗日中值定理知：在()內(nèi)至少存在一點，使同法可證（2）及（3）例一證明 在上是增加的。證：() 在上，0， 在上處處增加；（）在上，0，在上處處增加；（）在上可導(dǎo)， 在上連續(xù)，在上處處增加。注由本例可知，若函數(shù) 在(a， b)內(nèi)除個別點導(dǎo)數(shù)為0外，其余各點導(dǎo)數(shù)都大于0（或都小于0），并不影響增加性（或減少性），所以今后我們發(fā)現(xiàn)函數(shù) 在某個區(qū)間(a， b)上除個別點導(dǎo)數(shù)為零外，其余點導(dǎo)數(shù)都大于零（或都小于零），則對導(dǎo)數(shù)為零的點不再加說明。例三 證明不等式 f(0)=0 0x 時 f(

10、x)f(0)=0即 0x 時 x-ln(1+x)0即 0x 時 xln(1+x)再證 0x 時， 0x 時， 分子是正的，分母也是正的，0 0x 時，增加 f(0)=0， 0x時。即 0x 時，即 0x 時，例四證明1x 時 函數(shù)的極值及極值的求法。例如，在下圖中，都是的極大值，點x1和點x3都是極大值點；，都是極小值，點x2和點x4都是極小值點。今后，我們把極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點。為了求函數(shù)的極值，我們分兩步進行，首先求出可能取極值的點，這種點一般是很少的，那些不能取極值的點就可以不再分析判斷；第二步才對這些可能取極值的點進行判斷，下面用定理的形式進行介紹：

11、定理一說明，在一切可導(dǎo)點中，只有駐點（即導(dǎo)數(shù)值為零的點）才可能是極值點，不是駐點絕不可能是極值點。請大家務(wù)必注意，定理一只是說在可導(dǎo)點中只有駐點才可能是極值點，沒有說不可導(dǎo)點不是極值點，其實，不可導(dǎo)點也可能是極值點，例如在點x=0處的函數(shù)值f(0)=0，而0， 所以x=0是的極小值點，然而在x=0處不可導(dǎo)，所以不可導(dǎo)點也可能是極值點。綜合上述，有下面結(jié)論：只有駐點和不可導(dǎo)點才可能是極值點。本定理的正確性是明顯的，在（）成立的條件下，它的圖形見下圖這時，在點的左側(cè)增加，在點的右側(cè)函數(shù)減少，是極大值在（）成立的條件下，它的圖形見下圖：這時，在點的左側(cè)減少，右點的右側(cè)函數(shù)增加，所以是極小值。在（ii

12、i）成立的條件下，它們的圖形見下圖由于在點左右兩側(cè)同號，所以f(x)在號的左右兩側(cè)要么都增加，要么都減少，所以不是極值。例一求的增減區(qū)間，極值。解：第一步，求駐點和不可導(dǎo)點第二步，用駐點，不可導(dǎo)點將定義區(qū)間（，）分成三部分（，0），（0，2）（2，），在每個區(qū)間內(nèi)不再有駐點，不可導(dǎo)點，所以在上述每個區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)不會變號。（i） 當(dāng)x0時，0，所以在區(qū)間（，0）內(nèi)增加；（ii）當(dāng)0x2時，函數(shù)導(dǎo)數(shù)沒變，還是 0，所以在區(qū)間（0，2）內(nèi)減少；（iii）當(dāng)2x時，0，所以在區(qū)間(2，+)內(nèi)增加；因此的增加區(qū)間為（，0）， （2，），減少區(qū)間為(0，2)。由于在點x=0的左側(cè)0，在x=0點的右鄰側(cè)0，x

13、=0是最大值點，極大值為f(0)=0；由于在點x=2的左鄰側(cè)0，點x=2的右鄰側(cè)0，所以點x=2是極小值點，極小值為f(2)=4。上面的結(jié)果我們經(jīng)常用下面的表格表示，表示的第一行寫出自變量x的取值，第二行為導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性，第三行寫出函數(shù)的狀態(tài)和函數(shù)值是否是極值例二求的增減區(qū)間和極值。解：第一步，寫出函數(shù)的定義域，Df：0x+第二步，求函數(shù)在它的定義域內(nèi)的可能取極值的點，即駐點和不可導(dǎo)點不可導(dǎo)點x=0及駐點x=1都不在定義域內(nèi)，所以不予討論，只有唯一駐點x=1在定義域內(nèi)，所以在定義域內(nèi)的駐點為x=1，此駐點x=1將定義區(qū)間（0，）分為兩部分（0，1）和（1，），下面列表分析當(dāng)x比1小的導(dǎo)數(shù)是負(fù)的，

14、比1大的導(dǎo)數(shù)是正的極小值f(1)=1-2ln1因此極小值等于1例三，求 的增減區(qū)間和極值解：第一步，寫出f(x)的定義域， 第二步，求f(x)在定義域內(nèi)的駐點和不可導(dǎo)點第三步用不可導(dǎo)點，駐點將定義域分為 分別列表分析。 x（-，0）0 （0，2） 2（2，）+x -0+ 極大值0 極小值 判斷駐點是否是極值點還可用下面的定理判別 同法可證明（ii）請學(xué)員練習(xí)當(dāng)函數(shù),f(x)的二階導(dǎo)數(shù)易求；且f(x)只有駐點，沒有不可導(dǎo)點時，用此種方法判斷駐點是否是極值點非常方便。 函數(shù)的最值（1）函數(shù)f(x)的最值的概念就說f(x1)是函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的最小值，f(x2)是函數(shù)f(x)在這間a，b上

15、的最大值（2）函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最大值和最小值的求法。由于若f(x0)是最值，且x0（a，b）內(nèi)一點，則x0必是極值點，自然x0是駐點或不可導(dǎo)點，除此，邊界點也可能是最值點，例如 f(x)=x2在0，2上的最小值為f(0)=0，最大值f(2)=4,它們都是邊界點，因此函數(shù)的最值點只能在駐點，不可導(dǎo)點，邊界點上產(chǎn)生，所以求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最值的方法為：第一步，求導(dǎo)數(shù)，寫出函數(shù)f(x)在閉區(qū)間內(nèi)所有的駐點和不可導(dǎo)點x1,x2,xn第二步，計算出函數(shù)f(x)在駐點，不可導(dǎo)點及邊界點處的函數(shù)值f(a),f(x1),f(x2),f(xn),f(b)第三步，選出f(a),f(x1

16、),f(x2)f(xn),f(b)中最大者是f(x)在a，b上的最大值，最小者是f(x)在a，b上的最小值。例一，求f(x)=x4-2 x2+5在閉間-2，2上的最大值和最小值解：第一步，求f(x),在（-2，2）內(nèi)的駐點和為可導(dǎo)點：第二步，計算邊界和駐點處的函數(shù)法f(-2)=f(2)=13，f(-1)=f(1)=4，f(0)=5最大值為f(±2)=13，最小值為f(±1)=4例二，求 第二步，計算邊界點，駐點，不可導(dǎo)點的函數(shù)值進行的比較，特別情形一 上面的結(jié)論的正確性是明顯的，它們的圖形見下圖解：例二，求f(x)=arctanxx在0,+)上的最大值解： 在0，+上 &l

17、t;0,且f(x)在點x=0處連續(xù)f(x)在0,+上的最大值為f(0)=0例三，證明不等式 解：（1）先證x>ln(1+x) x>0時，f(x)>0即：x>0時，xln(1+x)>0即：x>0時,x>ln(1+x)特別情形二上面的結(jié)論的正確性也是明顯的，它們的圖形下圖：例四，解： 例五，證明不等式證： 例六，欲在舊墻邊圍一塊面積為512平方料的矩形料場，問新建的墻兩邊分別為多少米時所用材料長度最少？解：圖形見下圖設(shè)矩形料場一邊長為x米，則另一邊長為 米 在定義域（0,+）內(nèi)只有一個駐點x0=16（x=-16,x=0舍去）這時一邊長 材料的最小總長為例七

18、，在一塊邊長為a的鐵皮的四個角上分別剪去一個邊長為 的小正方形，然后折疊起來加工成一個無蓋的長方體容器，問剪去的小正方形邊長x為何值時，加工成的長方體容器容積v最大。解：圖形見下圖 例八，欲加工一個容積為V0(米3)的無蓋圓柱形容器，它的底面每平方米的加工費是側(cè)面每平方米加工費的兩倍，問它的高h(yuǎn)和底半徑r分別為多少米時，總加工費最省。解：圖形見下圖 設(shè)側(cè)面每米2加工費為a（元）,則底面每平方米加工費為2a（元）設(shè)總費用為y因為底面積為，所以底面加工費為；因為側(cè)面積為 ，所以側(cè)面加工費為 例九，工廠A位于鐵路北100公里處，它在鐵路的垂足為B（見下圖），城市C位于鐵路線上且與B相距200公里，工

19、廠的產(chǎn)品需運送到城市C，現(xiàn)欲在鐵路上建一轉(zhuǎn)運站D，已知公路運費為每噸貨物每公里5元，鐵路運費每噸貨物每公里3元問轉(zhuǎn)運站D應(yīng)位于何處？才能使1噸貨物由工廠A運送城市C的點運費最少。解： 設(shè)轉(zhuǎn)運站D與B相距BD=x（公里） 1噸貨物總運費為y鐵路1噸貨運費=3（200- x）公路1噸貨運費 得駐點由于在本例中運費有最小值，駐點只有一個，因為只有駐點才能取最小值，所以x=75是最小值點，故例十，在拋物線上求一點，使過該點的切線與x軸，y軸圍在第一象限的圖形的面積最小。解：圖形見下圖 設(shè)該求點為在（0，1）內(nèi)只有一個駐點,因為本例中有最小面積，且只有一個駐點所以此駐點 是最小值點即在點處的切線與x軸，

20、y軸所圍圖形面積最小，最小面積為 例十一，某商店年進貨某商品5000臺，分批進貨，每批進貨費40元，每件商品進貨價200元，年保管費率20%，若年庫存量剛好為每批進貨量的一半，求最優(yōu)訂貨批量解：設(shè)每批進貨量x件由于年進貨量=每批進貨量×進貨批次設(shè)年總費用為y則y=年進貨費年保管費=每批進貨費×年進貨批數(shù)每件年保管費×年庫存量即每批進貨量100件時，總費用最少。最少總費用為例十二，某產(chǎn)品每件售價P與產(chǎn)量Q的關(guān)系為P=200-3Q,它的平均成本 ，求產(chǎn)品Q多大時,利潤最多。解：收入=每件售價·產(chǎn)量 最大利潤為：L(25)=5000-2500=2500例十三，

21、用一周長為20的等腰ABC繞它的底邊ABC旋轉(zhuǎn)一周而生成一旋轉(zhuǎn)體，問AB為多少時，該旋轉(zhuǎn)體體積最大。 解：設(shè)底邊長AB=2x，則腰長BC=10-x，它的高為 曲線的凹凸性及拐點定義：（1）當(dāng)x在區(qū)間 上取值時，曲線上任意兩點連線都在曲線上方，就說在區(qū)間上曲線凹的，并且說區(qū)間是區(qū)間的凹區(qū)間；（圖形見下圖）（2）當(dāng)x在區(qū)間上取值時，區(qū)間上任意兩點連線都在曲線下方，就說在區(qū)上曲線是凸的，并且說區(qū)間是曲線的凸區(qū)間。（圖形見下圖）例如 曲線的圖形是開口向上的拋物線；曲線的圖形是開口向下的拋物線（見下圖）可見拋物線的圖形在上是凹的；拋物線的圖形在上是凸的對于拋物線，它的二階導(dǎo)數(shù)；對于拋物線，它的二階導(dǎo)數(shù)這

22、個結(jié)果具有一般性，下面我們不加證明的介紹下面的曲線的凹凸性的判別定理。典型例題例一，驗證曲線在它的定義域上的圖形是凸的。例二，驗證曲線，在上是凹的證： 例三，求曲線的凹向區(qū)間和拐點名詞：連續(xù)曲線的凹凸分界點叫拐點解： （1）當(dāng)；（2）當(dāng) ； （3） 例四，設(shè)點M(1,3)是 若拐點是可導(dǎo)點，則在拐點處應(yīng)有 曲線的漸近線定義：如果曲線上的點P趨向于無窮遠(yuǎn)時，P與直線l的距離趨向于零。就說直線l是曲線的漸近線。下面我們給出兩種比較簡單的漸近線的求法它們的圖形見下圖：（1）（2）典型例題：求下列曲線的水平漸近線和垂直漸近線。 解：（i）（ii） （3）解： （i） （ii） 解：（i）（ii） 三、

23、同步練習(xí)題（1）判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否滿足羅爾定理的三個條件，若滿足，求出相應(yīng)的中值c（2）設(shè) （3）判斷函數(shù)在給定的閉區(qū)間0，2上是否滿足拉格朗日中值定理的兩個條件，如果滿足，求出中值c（4）證明： （5）用洛必達(dá)法則求下列極限 （7）極限是否可用洛必達(dá)法則計算？為什么？如不能，則應(yīng)如何求它的值（8）極限是否可用洛必達(dá)法則計算？為什么？如不能，則應(yīng)如何求它的值（9）求下列函數(shù)的增減區(qū)間以及極值 （10）的極小值為y(1)=-1，且點（0,1）是它的拐點，求a,b,c（11）求下列函數(shù)的區(qū)間上的最大值和最小值 （12）證明不等式 （14）求曲線的凹向區(qū)間，拐點（15）用截面的直徑為d的圓

24、形木材加工成截面為矩形的梁，如果它的寬為b，高為h,則梁的強度W=kbh2(k是常數(shù))，問b和h分別為何值時？梁的強度W最大（16）對某零件的長度測定n次，其值測得的結(jié)果分別為x ,x2 ，xn用x表示該零件的長度，令 問x為何值時？可使 最?。?7）在一塊長為8寸，寬為5寸的矩形鐵杖的四個角上分別剪去相同的小正方形，然后折疊成一個無蓋的長方體容器，問剪去的小正方形邊長為多少寸時可使加工成的長方體容器的容積最大。（18）某產(chǎn)品的固定成本為60000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品需增加20元成本，設(shè)產(chǎn)銷平衡，該產(chǎn)品的單位售價為：其中Q表示產(chǎn)量問產(chǎn)量Q為多少時？該產(chǎn)品利潤最多，并求最大利潤（19）某商店每周購

25、進一批商品，進價為6元/件，若售量Q與每件售價P的尺度為p=a-bQ,且每件售價為10元時可售出120 件，每件售價降低0.5元時，售量增加20件，向價格p定為多少時？每周利潤最多，求最大利潤（20）假設(shè)在航行中的燃料費與速度的立方成正比，已知=10公里/小時的燃料費為6元/小時，其他費用為96元/小時問為何值時？該船航行每公里的費用總和最?。?1）求下列曲線的水平漸近線和垂直漸近線： 第 四 章微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用打印本頁（三）同步練習(xí)題（1），在x=1處不可導(dǎo)，在（0，2）內(nèi)不處處可導(dǎo)。在0，6上有意義，在0，6上連續(xù)，且，在（0,6）內(nèi)可導(dǎo)，f（0）=f（6）=0，在0,6上滿足羅爾

26、定理三個條件，中值c=4，在x=-1不可導(dǎo)， f（x）在（-2，0）不滿足羅爾定理的三個條件，所以不處處可導(dǎo)。（2）f（x）在0,1上連續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（0）=f（1）=0,根據(jù)羅爾定理，在（0，1）所以內(nèi)至少存在一點0c1，使，二至少存在一點0c1，使x=c是方程的根。同理可得方程內(nèi)至少有一根。由于是一元二次方程，只有二個根，故方程在（0,1）和（1,2）中各恰有一根。（3），f（x）在（0，2）在連續(xù)，在（0,2）內(nèi)可導(dǎo)，故f（x）在0,2上滿足拉格朗日定理的條件，故在（0,2）內(nèi)至少存在0c2。使：（5）用洛必達(dá)法則求下列極限（6）所以當(dāng)x趨于0時，原式就等于e0=1 （7）

27、極限是否可用洛必達(dá)法則計算？為什么？如不能，則應(yīng)如何求它的值？，此極限不存在。不能用洛必達(dá)法則計算正確的解法是：（8），此極限不存在， 不能用洛必達(dá)法則計算正確的解法是：（9）求下列函數(shù)的增減區(qū)間以及極值列表得：列表得：列表得：列表得：列表得：列表得：（10）的極小值為y（1）= 1，且點（0,1）是它的拐點，求a,b,c解：極小值為y（1）=-1得，-1=a+b+c在x=1處取極值，得0=3a+b點（0，1）是拐點，（0，1）在曲線上。得1=ca=1，b=-3，c=1（ 12）證明不等式f（x）=x-arctanx，在 0，+上的最小值為f（0）=0x0 時f（x）0，即x0時x-arcta

28、nx0在 （0 +）上，在 0 +上f（x）的最小值為f（0）=0 x0 時f（x）0 ；即 x0 時， f（x）在 0 +上的最小值為f（0）=0 x0 時f（x） 0即 x0 時xsinx（13） 若在（a,b）內(nèi)在（a,b）的增減性。 0，（axb） 在（a ,b）上F（x）增加。（14）求曲線的凹凸區(qū)間及拐點。列表得凸區(qū)間為（-，2）；凹區(qū)間為（2，+）（15）用截面的直徑為d的圓形木材加工成截面為矩形的梁，如果它的寬為b，高為h,則梁的強度W=kbh2 （k是常數(shù)），問b和h分別為何值時？梁的強度W最大。因為只有一個駐點， 時，強度w最大。（16） 對某零件的長度測定n次，其值測得的

29、結(jié)果分別為x1,x2，xn用x表示該零件的長度，令問x為何值時？可使最小?唯一駐點是極小值點 此極小點是最小值點。（17）在一塊長為8寸，寬為5寸的矩形鐵杖的四個角上分別剪去相同的小正方形，然后折疊成一個無蓋的長方體容器，問剪去的小正方形邊長為多少寸時可使加工成的長方體容器的容積最大。設(shè)剪去小正方形邊長為x，容器體積為y，則y=x（5-2x）（8-2x）（x5/2） 駐點為x=1, 唯一駐點是極大點， 也是最大值點，即x=1時容器體積最大，最大體積為y（1）=18寸3（三）同步練習(xí)題（1），在x=1處不可導(dǎo)，在（0，2）內(nèi)不處處可導(dǎo)。在0，6上有意義，在0，6上連續(xù)，且，在（0,6）內(nèi)可導(dǎo)，f

30、（0）=f（6）=0，在0,6上滿足羅爾定理三個條件，中值c=4，在x=-1不可導(dǎo)， f（x）在（-2，0）不滿足羅爾定理的三個條件，所以不處處可導(dǎo)。（2）f（x）在0,1上連續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（0）=f（1）=0,根據(jù)羅爾定理，在（0，1）所以內(nèi)至少存在一點0c1，使，二至少存在一點0c1，使x=c是方程的根。同理可得方程內(nèi)至少有一根。由于是一元二次方程，只有二個根，故方程在（0,1）和（1,2）中各恰有一根。（3），f（x）在（0，2）在連續(xù)，在（0,2）內(nèi)可導(dǎo)，故f（x）在0,2上滿足拉格朗日定理的條件，故在（0,2）內(nèi)至少存在0c2。使：（5）用洛必達(dá)法則求下列極限（6）所以

31、當(dāng)x趨于0時，原式就等于e0=1 （7）極限是否可用洛必達(dá)法則計算？為什么？如不能，則應(yīng)如何求它的值？，此極限不存在。不能用洛必達(dá)法則計算正確的解法是：（8），此極限不存在， 不能用洛必達(dá)法則計算正確的解法是：（9）求下列函數(shù)的增減區(qū)間以及極值列表得：列表得：列表得：列表得：列表得：列表得：（10）的極小值為y（1）= 1，且點（0,1）是它的拐點，求a,b,c解：極小值為y（1）=-1得，-1=a+b+c在x=1處取極值，得0=3a+b點（0，1）是拐點，（0，1）在曲線上。得1=ca=1，b=-3，c=1（ 12）證明不等式f（x）=x-arctanx，在 0，+上的最小值為f（0）=0x

32、0 時f（x）0，即x0時x-arctanx0在 （0 +）上，在 0 +上f（x）的最小值為f（0）=0 x0 時f（x）0 ；即 x0 時， f（x）在 0 +上的最小值為f（0）=0 x0 時f（x） 0即 x0 時xsinx（13） 若在（a,b）內(nèi)在（a,b）的增減性。 0，（axb） 在（a ,b）上F（x）增加。（14）求曲線的凹凸區(qū)間及拐點。列表得凸區(qū)間為（-，2）；凹區(qū)間為（2，+）（15）用截面的直徑為d的圓形木材加工成截面為矩形的梁，如果它的寬為b，高為h,則梁的強度W=kbh2 （k是常數(shù)），問b和h分別為何值時？梁的強度W最大。因為只有一個駐點， 時，強度w最大。（16） 對某零件的長度測定n次，其值測得的結(jié)果分別為x1,x2，xn用x表示該零件的長度，令問x為何值時？可使最小?唯一駐點是極小值點 此極小點是最小值