復(fù)變函數(shù)講稿第一章節(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上序言1.研究對(duì)象復(fù)數(shù)變量之間的依賴(lài)關(guān)系復(fù)變函數(shù)、主要是解析函數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)。2.研究方法利用分析和幾何的方法研究解析函數(shù)。3.理論的建立與展開(kāi)參照高等數(shù)學(xué)，尤其前幾章基本是高等數(shù)學(xué)理論的平行推廣。復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1 復(fù)數(shù)及其運(yùn)算一、復(fù)數(shù)的概念及代數(shù)表示1.定義 設(shè)為實(shí)數(shù)，形如的數(shù)稱(chēng)為復(fù)數(shù)，記為復(fù)數(shù)的代數(shù)表示。其中稱(chēng)為復(fù)數(shù)的實(shí)部；稱(chēng)為復(fù)數(shù)的虛部；稱(chēng)為虛單位。如顯然有：等。全體復(fù)數(shù)構(gòu)成復(fù)數(shù)域，記為。注：復(fù)數(shù)代數(shù)式中的“+”非運(yùn)算符號(hào)，有時(shí)還記為。特別地，當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為虛數(shù)，如等（注意習(xí)慣說(shuō)法，如）；當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為實(shí)數(shù)，如等；當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為純虛數(shù)，如等。2.基本關(guān)系復(fù)數(shù)相等：

2、設(shè)，則。特別地，。復(fù)數(shù)無(wú)大小之分：比如，若，則應(yīng)有，矛盾；若，則同樣應(yīng)有，矛盾。二、代數(shù)運(yùn)算與共軛復(fù)數(shù)1.代數(shù)運(yùn)算 設(shè)，則；多項(xiàng)式乘法；分母實(shí)數(shù)化。容易證明：上述和、差、積、商運(yùn)算滿(mǎn)足交換、結(jié)合、分配律等。為實(shí)數(shù)運(yùn)算的推廣。2.共軛復(fù)數(shù)稱(chēng)實(shí)部相同，虛部符號(hào)相反的數(shù)為的共軛復(fù)數(shù)，記為。同時(shí)構(gòu)成度量復(fù)數(shù)間關(guān)系的基本單位。由定義容易證明，共軛復(fù)數(shù)有性質(zhì)：反身性：；，；。僅證明，。例1 設(shè)，求。解 ，。例2 設(shè)，求。解 ， 。例3 設(shè)，求。解 由題設(shè)關(guān)系式知， 。三、復(fù)數(shù)的幾何意義1.復(fù)平面復(fù)數(shù)平面點(diǎn)：虛軸yi y z=x+yi r (x,y) 實(shí)軸xO x ：由復(fù)數(shù)的全體實(shí)部和虛部實(shí)數(shù)構(gòu)成的平面稱(chēng)為

3、復(fù)平面，如圖：復(fù)數(shù)向量：，如圖：其大?。悍Q(chēng)為復(fù)數(shù)的模；其方向：稱(chēng)為復(fù)數(shù)的幅角，顯然，。注：10.當(dāng)時(shí)，幅角不確定、無(wú)意義或無(wú)幅角。20.對(duì)，幅角有無(wú)窮多。規(guī)定位于間的幅角為的主值，記為，即。確定的方法如下：例4 設(shè)，求。解 ，；又，且在第四象限，從而， N P z y S x。2.復(fù)球面 取一個(gè)切復(fù)平面于原點(diǎn)的球面（如右圖），切點(diǎn)S稱(chēng)為南極；過(guò)S點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)交球面于N，稱(chēng)為北極。連任一點(diǎn)與N點(diǎn)的線(xiàn)段交球面于P點(diǎn)。則有下列性質(zhì)或結(jié)論：，但除北極N外。一定程度可用球面上的點(diǎn)P表示平面上的點(diǎn)z。注意到，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)z將遠(yuǎn)離原點(diǎn)S，即，從而規(guī)定：復(fù)平面上有唯一“無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)”極復(fù)數(shù)中有唯一“無(wú)窮大數(shù)”上的“無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)”，記為。此時(shí)，復(fù)數(shù)球面點(diǎn)，稱(chēng)此球面為復(fù)球面。并將含點(diǎn)的復(fù)平面稱(chēng)為擴(kuò)充復(fù)平面，記為，即；而不含點(diǎn)的復(fù)平面稱(chēng)為有限復(fù)平面或復(fù)平面。復(fù)數(shù)唯一：，幅角不確定、無(wú)意義。對(duì)。運(yùn)算：對(duì)，對(duì)。但是，無(wú)意義。四、基本問(wèn)題（復(fù)變量與實(shí)變量表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換）1.已知圖形，求方程 對(duì)實(shí)表達(dá)式，利用代換化為復(fù)表達(dá)式。例5 化為復(fù)數(shù)式。解 原方程為：，代入上式，得即為所求。注：圓周的一般復(fù)方程：。2.已知方程，求圖形 對(duì)復(fù)表達(dá)式，利用代換化為實(shí)表達(dá)式。例6 指出方程表示什么曲線(xiàn)，并圖