2020屆河北省中考系統(tǒng)復習：第15講等腰三角形(8年真題訓練)

1、第15講等腰三角形10SJjt8g題訓絨a命題點1等腰三角形的性質(zhì)與判定P在線段AB的垂直平分線上.在1 . （2020 河北T8 3分）已知，如圖，點 P在線段AB夕卜，且PA= PB,求證：點 證明該結(jié)論時，需添加輔助線，則作法不正確的是（B）A. 作 APB的平分線 PC交AB于點CB. 過點P作PCL AB于點C且AC= BCC. 取AB中點C,連接PCD 過點P作PCL AB,垂足為 CA, B同時出發(fā)，并以等速駛向2 . （2020 河北T10 3分）如圖，碼頭A在碼頭B的正西方向，甲、乙兩船分別從某海域，甲的航向是北偏東35,為避免行進中甲、乙相撞，則乙的航向不能是(D)A.北偏

2、東55B .北偏西55C.北偏東35D .北偏西35Jt3. （2013 河北T8 3 分）如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東70方向的M處，它以每小時40海里的速度向正北方向航行，2小時后到達位于燈塔 P的北偏東40的N處，則N處與燈塔P的距離為（D）A. 40海里B. 60海里C. 70海里D. 80海里命題點2等邊三角形的性質(zhì)與判定4. （2020 河北 T16 2 分）如圖，為等邊三角形，則滿足上述條件的A. 1個B. 2個AOB= 120,PMN有 (D)C. 3個OP平分 AOB且 OP= 2.若點 M N分別在 OA OB上，且 PMND. 3個以上5. （2011 河北 T17

3、3 分）如圖 1,D的位置，得到圖2 ,則陰影部分的周長為,將 ABD沿 AC方向向右平移到 A B重難點1等腰三角形的性質(zhì)與判定在厶ABC中，AC= BC, ACB= 120 ,點D是線段 AB上一動點(D不與A, B重合).(1) 如圖1 ,當點D為AB的中點，過點 B作BF/ AC交CD的延長線于點 F,求證：AC= BF;(2) 連接CD.作 CDE= 30, DE交AC于點E.若DE/ BC時，如圖2. CDB= 120 ; 求證： ADE為等腰三角形； 在點D的運動過程中， ECD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出AED的度數(shù)；若不可以，請說明理由.PADB AI)Jfi圖I

4、2苗用畫【自主解答】解：證明： CA= CB CD是厶ABC的中線， AD= BD. BF/ AC, A= FBD. ADC= BDFACD BFD. AC= BF.(2)證明：I AC= BC, A= B. DE/ BC, EDA= B. A= EDAADE為等腰三角形.厶ECD可以是等腰三角形.理由如下：I .當 CDE= ECD時,EC= DE, ECD= CDE= 30 . AED= ECDF CDE AED= 60 . .當 ECD= CED時,CD= DE, v ECD CED CDE= 180 , CED=180 CDE=75 AED= 180/ CED= 105In .當 CE

5、D= CDE時,EC= CD ACD= 180/ CED- CDE= 180 30 30= 120 , ACB= 120 ,此時，點D與點B重合，不合題意.綜上， ECD可以是等腰三角形，此時 AED的度數(shù)為60或105 . 【變式訓練1】的度數(shù)是(B)A. 20(2020 湖州)如圖,B. 35AD CE分別是 ABC的中線和角平分線.若 AB= Aq CAD= 20,則 ACEC. 40D. 70【變式訓練2】C的度數(shù)為(B)A. 30 B(2020 河北大聯(lián)考.36 C . 40 D)如圖，在厶ABC中，AB= AC, D為BC邊上的一點，且 BA= BD, DA= Dq 則.45方法指

6、導1.在同一個三角形中證明邊相等或角相等的方法主要是等邊對等角或等角對等邊，在兩個不同三角形中，證明兩 條邊相等或角相等的方法是利用全等三角形.2 幾何常見圖形“ 8”字圖，其基本構(gòu)成過程是：(1) 把三角形的中線加倍，即CD是厶ABC的中線，延長 CD至F,使DF= CD(2) D 是 AB的中點，BF/ AC;(3) 沒有明確腰或底邊的等腰三角形或沒有明確頂角或底角的等腰三角形問題，解決時常常需要分類討論.K在厶 ABC中，AB= 6, AC= 4, BC= 8, BP平分 ABC CP平分 ACB.(1)如圖1 ,過點P作BC的平行線交 AB于點E,交AC于點卩，則厶AEF的周長為10;

7、(2)如圖2,過點P作PM/ AB交BC于點 M PN/ AC交BC于點 叫則厶PMN勺周長為8;【變式1】如圖3 ,若點PABC的內(nèi)心，將 BAC平移使其頂點與 P重合，則圖中陰影部分的周長為8.【變式2】如圖4,若厶ABC的內(nèi)角平分線 BQ與外角平分線 CQ相交于點Q過點Q作QH/ BC交AB于點H,交AC于點R.若BH= 5, HR= 2,求CR的長.【思路點撥】(1)由角平分線及兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得到厶BEP CFP均是等腰三角形，從而有 EF= EB+ FC,所以 AEF的周長為 AB AC;對于(2)同理可得，PM= BM PN= CN 所以 PMN的周長BMF MN CN

8、= BC= 8, 對于變式2連接PB PC,根據(jù)中結(jié)論可得陰影部分的周長；對于變式 2可證得 BHQ CRC是等腰三角形.【自主解答】 解：. HQ/ BC, HQB= QBC.又 BQ平分 ABC HBQ= CBQ. HQB= HBQ/. HB= HQ同理可得 CR= RQ. CR= RQ= HQ- HR= BH- HR= 5 2= 3.【變式訓練 3】已知：如圖，點 。在厶ABC外 , BD, CD分別平分厶ABC的外角 GBC和 HCB過點D作DE/ BC,分別交BG CH于E, F兩點，貝U EF與BE CF之間存在怎樣的關系？寫出你的結(jié)論，并加以證明.證明： BD平分 EBq CD平

9、分 FCB EBD= CBD FCD= BCD. EF/ BC, EDB= CBD FDC= BCD. EBD= EDB FDC= FCD. BE= DE CF= DF. BE+ CF= DE+ DF= EF. BE+ CF= EF.方法指導1.角平分線+平行線可以得出等腰三角形.模型如下：如圖，OA/ BC, OC平分 AOB則厶BoC為等腰三角形.2 .利用等腰三角形的腰相等，可以實現(xiàn)化曲為直，實現(xiàn)線段求解或周長求解.變式點：1.內(nèi)心可以看作三角形三條角平分線的交點.2 平移可以看作平行線.3 .等腰三角形可以作一條線段繞其中一個端點旋轉(zhuǎn)一個角度，交于另一個端點連接得到的圖形.4 外心可以

10、看作三角形三邊垂直平分線的交點. 重難點2等邊三角形的性質(zhì)與判定J3（2020 廊坊安次區(qū)模擬）如圖， ABC是等邊三角形，點P是三角形內(nèi)的任意一點,PD/ AB, PE/ BC, PF/ AC.若厶 ABC的周長為 12 ,貝U PD PE+ PF= (C)A. 12B. 8C. 4D. 3【思路點撥】延長DP交AC于點M由等邊三角形的性質(zhì)及兩直線平行，同位角相等，易得MDC= C= 60,從而厶MDC是等邊三角形， MPE也是等邊三角形，有 MD= CM= MP PD= PE+ PD,又可得四邊形 AMPF是平行四邊形，所以 PF= AM所以 AC= PD+ PE+ PF= 4.【變式訓練

11、4】作EF丄BC于點A. 3【變式訓練5】 的周長為（C）（2020 河池）已知等邊厶F,過點F作FG丄AB于點B. 4如圖，六邊形C.ABCDEF中,ABC的邊長為12,點D是AB上的動點，過點 D作DEl AC于點E,過點E G.當點G與點D重合時，AD的長是（C）8 D . 9每一個內(nèi)角都是 120, AB= 12, BC= 30 , CD= 8, DE= 28.則這個六邊形A.125B.126C.116D.108方法指導這里依據(jù)兩個角為60的三角形是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，化曲為直，平移線段，將三條線段的和轉(zhuǎn)化成一條線段.體現(xiàn)了整體求值的數(shù)學思想.注：本題

12、的結(jié)論與“過等邊三角形內(nèi)一點向三邊作垂線段，三條垂線段”之和等于等邊三角形的高類似.口課后嵌礎過1 . （2020 宿遷）若實數(shù)m n滿足等式|m 2| + Jn 4 = 0,且m n恰好是等腰 ABC的兩條邊的邊長，則ABC的周長是（B）A. 12B. 10C. 8D.62. (2020 德州改編)如圖,A. 3B. 4OC為 AOB的平分線，CML OB OC= 5, OM= 4,則點C到射線OA的距離為（A）C. 5D. 63. （2020 黃岡）如圖，在 ABC中，DE是 AC的垂直平分線，且分別交 BC AC于點D和E, 則 BAD為（B）A. 50 B= 60, C= 25,B.

13、70C. 754. (2020 福建)如圖，等邊 ABC中，ADL BC,A. 15 B . 30 C . 45 D . 60垂足為 D,點E在線段AD上， EBC= 45,則 ACE等于(A)5. (2020 昆明)在厶AoC中，OB交AC于點A. 90B. 95C.D,量角器的擺放如圖所示，則CDO勺度數(shù)為100D. 120(B)6 如圖是四張形狀不同的紙片，用剪刀沿一條直線將它們分別剪開（只允許剪一次），不能得到兩個等腰三角形紙7. （2020 棗莊）如圖，在Rt ABC中， C= 90,以頂點 A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AC, AB于點MN,再分別以點 M, N為圓心，大于2m

14、N的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,作射線AP交邊BC于點D.若CD= 4, AB=15,則厶ABD的面積是(B)A. 15B. 30C. 45D. 608. （2020 玉林）如圖， AOB= 60 , OA= OB動點C從點O出發(fā)，沿射線 OB方向移動，以AC為邊在右側(cè)作等邊 ACD連接BD,則BD所在直線與OA所在直線的位置關系是（A）A平行B.相交C.垂直D.平行、相交或垂直9. (2020 南充)如圖，在 ABC中，AF平分 BAC AC的垂直平分線交 BC于點E, B= 70 C= 24., FAE= 19 ,則10 . (2020 吉林)我們規(guī)定：等腰三角形的頂角與一個底角度數(shù)的比值

15、叫做等腰三角形的“特征值”1=2,則該等腰三角形的頂角為 36度.,記作k.若k11 .證：(2020 嘉興)如圖，在 ABC中，AB= AC ABC是等邊三角形.DF BC垂足分別為E, F, 且 DE= DF.求證明： DEl AB DF BC AED- CFD- 90 .TD為AC的中點， Ac= DC. 在 Rt ADE和 Rt CDF中，AD= DCDE= DF, Rt ADE Rt CDF(HL). A= C. BA= BC. AB= AC, AB= BC= AC. ABC是等邊三角形.12 . (2020 紹興)數(shù)學課上，張老師舉了下面的例題：例1等腰三角形ABC中， A= 11

16、0,求 B的度數(shù).(答案：35 )例2 等腰三角形 ABC中， A= 40,求 B的度數(shù).(答案：40或70或100 )張老師啟發(fā)同學們進行變式，小敏編了如下一題：變式 等腰三角形 ABC中， A= 80,求 B的度數(shù).(1) 請你解答以上的變式題；(2) 解(1)后，小敏發(fā)現(xiàn)， A的度數(shù)不同，得到 B的度數(shù)的個數(shù)也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，設 A= X ,當 B有三個不同的度數(shù)時，請你探索X的取值范圍.解：(1)若 A為頂角，則 B= (180 A) 2 = 50 ;若/ A 為底角， B為頂角，則 B= 180 - 2 80 =20 ;若/ A為底角， B為底角，則 B= 80;

17、故 B= 50 或 20 或 80;(2)分兩種情況： 當90 XV 180時， A只能為頂角， B的度數(shù)只有一個；180 一 X 當0V X V 90時，若 A為頂角，則 B= (2) ；若 A為底角， B為頂角，則 B= (180 2x) ;若 A為底角， B為底角，則 B= X.當 180X 180 2x 且 180 2x X 且180- X X ,即 X 60 時， B有三個不同的度數(shù)綜上所述，可知當0v XV 90且X 60時， B有三個不同的度數(shù).13 . (2020 武漢)如圖，在Rt ABC中， C= 90 ,以 ABC的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個頂點在 ABC的其他

18、邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)最多為(D)A. 4B. 5C. 6D. 714 .如圖，在等邊厶 ABC中，AC= 8,點O在AC上，且AC= 3,點P是AB上一動點，連接 OP,將線段 OP繞點O逆 時針旋轉(zhuǎn)60得到線段OD.要使點D恰好落在BC上，則AP的長是5.15 . (2020 河北模擬)如圖1,在等邊 ABC和等邊 ADP中，AB= 2,點P在厶ABC的高CE上(點P與點C不重合)， 點D在點P的左側(cè)，連接 BD ED.(1) 求證：BD= CP(2) 當點P與點E重合時，延長 CE交BD于點F,請你在圖2中作出圖形，并求出 BF的長；(3) 直接寫出線段DE長度的最小值.圖 Il2解： 證明： ABC是等邊三角形， AB= AC, BAC= 60 . ADP是等邊三角形， AD= AP, DAP= 60 . DAB BAP= BAP CAP. DAB= CAP.