第四章4.3.2對數(shù)的運(yùn)算

1、4. 3.2對數(shù)的運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握積、商、耗的對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，理解其推導(dǎo)過程和成立條件2掌握換底公式 及其推論3能熟練運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡求值.知識梳理梳理教材夯實(shí)居礎(chǔ)；知識點(diǎn)一對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果，>0,且 M>0, N>0,那么(l)logn(A/ , N) = loggM+loggM M(2)logfl=10期加一 lo 理M(3Moga"=川 o&M( G R).拓展：log”", M" =§ogcM(n£R, ¥0)思考 當(dāng) M>0 , N>0 時(shí)，logfl(/W + N)=

2、 logW + 1。珈N , log.(MN) = logM log“N 是否成立？答案不一定.知識點(diǎn)二換底公式1 . logn=譚且 “Wl； c>0,且 c/1： Z?>0).2 .對數(shù)換底公式的重要推論(1 )log“N=oa(/V>0,日 NW 1； a>0,且 1). log (1 bm =§Oga僅4>0,且 4工 1 , /?>0).(3)logn/?- Iog/,C- log, J= lognJ(</>0, b>0, c>0, c/>0,且 “Wl,力#1, cWl).思考 換底公式中底數(shù)C是特定數(shù)還是

3、任意數(shù)?答案 是大于。且不等于1的任意數(shù).-預(yù)習(xí)小測自我檢驗(yàn)-1. log84+log82=.答案1解析 logs4 + log»2 = log»8 = 1.2. logslO-log52=.答案1解析 log510 - Iog52 = log55 = 1.3. .g/而=：(2)已知 In 4=0.2,則 ln=答案(1)； (2)0.81 1解析 lg V=lgl02=2； *lnd-0.2 = 08Iog2910g23 答案2題型探究解析磊力叫9 : 2.探究重點(diǎn)提升素系一、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用例1計(jì)算下列各式的值：(I)(lg5)2+21g2-(lg 2尸：1g 3+

4、,1g 9+lgV27 lg/3(2) Ig81-lg 27:7(3)log53521og5-+Iog57 log51.8.J解(1)原式=(愴5)2十(2-愴2)館2= (lg 5)2 + (l+lg5)lg2= (lg 5)2 + lg 2-lg5 + lg2= dg5 + lg 2)lg5 + lg2= lg5 + lg2= 1.原式=(1 十%lV91g3_ii(4 - 3)lg 3- 59原式=logs(5X7) - 2(logs7 - logs3)十 logs? - logs5 =logs5 + logs7 - 210gs7 + 210g53 + logs7 - 21ogs3 +

5、Iogs5=210g$5 = 2.反思感悟?qū)?shù)式化簡與求值的基本原則和方法基本原則：對數(shù)的化簡求值一般是正用或逆用公式,對真數(shù)進(jìn)行處理,選哪種策略化簡，取決于問題的實(shí)際情況，一般本著便于真數(shù)化簡的原則進(jìn)行.(2)兩種常用的方法：“收”，將同底的兩又?jǐn)\的和(差)收成積(商)的對數(shù)；“拆”，將積(商)的對數(shù)拆成同底的兩對數(shù)的和(差).跟蹤訓(xùn)練1計(jì)算下列各式的值：(1 班H 4g 群+>§7245:(2)lg 25+|lg 8 + lg5Xlg 204-(lg 2)2.解(1)方法一 原式二 *51g 2 - 21g 7) - gx|lg 2+ g(21g 7 +檢 5)=|lg 2

6、 - 1g 7 - 21g 2 + 1g 7 +54g 2 十 gig 5 二規(guī) 2 十 1g 5)= 1lg 10二:方法二原式二1 - Ig4 + lg二 ig*啜騙二 lg(娘 雄)二 ig (2)原式= 21g5 + 21g2 + lg5X (21g 2 + lg5) + (1g 2)2 = 21g 10 + (lg5 + lg 2)2 = 2 + (1g 10)2 = 2+l=3.二、換底公式的應(yīng)用例 2 (1)計(jì)算：(log43+log83)(log32+log92)；(2)已知 logi89=a,18"=5,用 a, b 表示 log3645 的值.解儂二(標(biāo)十顆喈十顆

7、(2)方法一 Vlog189 = tA 18 = 5 ,，logi85 二尻力 白 i 一 Iogis45 logi8(9X5)于正*45 = 1咱836 = 1咱 #8X2)logis9 + logis5 a + b a + b"1+1咱正方法二 Vlogis9 = </J8/? = 5 x Alogis5 = Z?.丁日.*(9X5) iogi«9 + logis5 "十 b于是 log5645 =.logjj： 210giS18-10g189 2”(教師)延伸探究若本例條件不變，求loggl5.(用a , b表示)解 因?yàn)?8”=5 ,所以logis5

8、 = b.6rp i"1咱815 logl8(3X5)所以1吧15 =前演=咱gglogis3 + log i»5 logi8地 + b a - a4#+/:垣絲一 a -0a + b a + 2h二 a 二反思感悟 利用換底公式進(jìn)行化簡求值的原則和技巧跟蹤訓(xùn)練2 (1圖的值是()23A.q B.5 C. 1 D. 2 J4答案A解析 方法一 將分子、分母利用換底公式轉(zhuǎn)化為常用對數(shù)，1g 919,1§8,21a3 102_2即 log23 一史一 31g 2。3-3,檢2方法二 將分子利用換底公式轉(zhuǎn)化為以2為底的又?jǐn)\，酷9目陛2_絲身一強(qiáng)生二即 10g23 - 1

9、0g23 - 310g23 - 3,計(jì)算：1。呼飛9Iog5jlog7/4解原式。呼.弋910g5g 10g?-/41=logj V2 1og9 = logj 2-31og22 32 331 3="yloga2-3Iog23= - 2«三、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的綜合應(yīng)用2 1例3 設(shè)3。=，=36,求工+/勺值；(2)已知 2*=3''=5",且一+1+!=1,求尤，y, z. x y z解(1)方法一由3J# = 36,得 a = 1哨36 , b = Iog436 ,由換底公式得J = 10g363 , 1 = 10g364 z2 1，7 十萬二 21

10、0g363 + Iog364 = log3636 = 1.方法二 由3=4 二 36 ,兩邊取以6為底數(shù)的對數(shù)，得410g63 = Mog64 = log636 = 2 f - 1。陟3 , 1 = |log64 二 log62 ,2 1，/ 十石二 log63 + log62 = log66 = 1.(2)令 T = 3V = 5：= k(k>0),/ a = log2k , y = log,z = log火,二；= logx2 , 1 二 logx3 , 1 二 10gt5 ,1 1 1由一十一+一二1,-V y z得 1。&2 + log«3 + logx5 =

11、lo耿30二 1 ,二 30 ,Ax = log230= 1 + log215 ry = logj30 = 1 + logjlO , z = logs30 = 1 + logs6.反思感悟利用對數(shù)式與指數(shù)式互化求值的方法(1)在對數(shù)式、指數(shù)式的互化運(yùn)算中，要注意靈活運(yùn)用定義、性質(zhì)和運(yùn)算法則，尤其要注意條 件和結(jié)論之間的關(guān)系，進(jìn)行正確的相互轉(zhuǎn)化.(2)對于連等式可令其等于k(k>0),然后將指數(shù)式用對數(shù)式表示，再由換底公式可將指數(shù)的倒 數(shù)化為同底的對數(shù)，從而使問題得解.跟蹤訓(xùn)練3已知3。=5人=0,且冷=2,求c的值.解 / 3a = 5,f = c , a = logjc f b = l

12、ogsc ,：To&3 , Qo&5 ,弓十:Tog6由1。&15=2彳導(dǎo)c2=15 ,即c二隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用'1 .求值：210g510+唾50.25等于()A. 0 B. 1 C. 2 D. 4答案C解析 210g510 + logsO.25 = log5100 + Iogs0.25=log525 = 2.2 .若 a>0, “Wl,則下列各式:(10gaX)" = 10gaT；(10gaT)" = 10"： 10軻=-10 "；封 10goT = ogaT； 華£=觀即其中正確的有（）A. 2

13、個(gè)B. 3個(gè)C. 4個(gè)D. 5個(gè)答案A 解析 根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)log/"二noM（M>0 ,心0，且"1）知與正確.3 .己知 2。=5=10,則' + "=答案1 解析因?yàn)?。二5二10, 所以（i = logilO , b = logs 10.根據(jù)換底公式得“二七，=會, 所以% 1g 2 + 1g 5= 1.4 . log23 10g34 log”=.答案1解析 Iog23-log341og42 = ,21g4 + lg9 +；lg 0.36+lg 8答案2物垢力T 21g 4+lg92收122-12原式一謁愴0 36+M-1+愴0.6+愴2

14、-愴12課堂小結(jié)- 1.知識清單: 對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).換底公式.對數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.2.方法歸納：換底公式、轉(zhuǎn)化法.3.常見誤區(qū)：要注意對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的結(jié)構(gòu)形式，易混淆.課時(shí)對點(diǎn)練注重雙基強(qiáng)化落實(shí)N“基礎(chǔ)鞏固1. log242+log243+log244 等于()A. 1 B. 2 C. 24 D.1答案A解析 10g242 + 10g243 + 10g244 = log24(2 X 3 X 4)=log2424 = 1.2.化簡 4(log23)2 4k)g23 + 4 + log?得()A. 2B. 2-21og23C. -2D. 210g23-2答案B解析 (log23)2 - 410gz3

15、+ 4 = y(log23 - 2)2=2 - log23.:.原式=2 - log23 + logz3-1 =2 - 210g23.3 . O.25+Iog23.log34 的值為()c 1-2B 1- 4A7- 4-44 3 1g館 lxl 3-2 1g館 1+1 1-2X 3-2 1L吆 + 1-2 - 1 - 47 -4-4 .己知有下列四個(gè)等式：lg3") = lg a+lg b lg ©=lgIgb;破g U=i點(diǎn)lg(")=1次,其中正確的是()10gn/?l UB.C.D.答案D解析 式成立的前提條件是</>0 , /?>0 ；式

16、成立的前提條件是ub于1 ,只有式成立.5 .已知1g 2=小1g 3=3則log36等于()答案B 解析1咱6二氤二、除3二丁 6 . 1g巾+ lg回的值是.答案1解析 1g巾 + lg/20 = lg/100 = 1g 10= 1.7 .若log法log/<,lo&3=2,則的值為答案73解析方法一由已知可嘴需黑=2, 即鑒二2 ,，lg3 = 21g，涼二3,4二小.方法二由已知得1。酎黯墨二2, 即 1003二2/二小.8 .若 lgx+lgy=21ga_2y),貝葉=y答案4解析 因?yàn)?lg a- + 1g >' = 21g(x - 2y),r a>

17、;0 f y>0 ,所以4 x - 2y>0 , 由 xy - (x - 2y-,知 x2 - 5xy + 4y2 - 0 f 所以x 二 ),或.T = 4y.又.v>0 , y>0 且 x - 2y>0 , 所以舍去x ，故x = 4y ,貝4二4.9 .求值：(1)電5期 400+(電2d)2；10 ) flog33 J + log0.2s|+910g5正 一 log。1 .解 原式= lg5.(2 + 21g 2) +(V21g 2)2=21g 5 + 21g 2-lg5 + 2(lg 2)2=21g 5 + 21g 2.(lg5 + lg 2) = 21

18、g5 + 21g2 =2.if i log3 32+ logo.25, + 910gsy8 - log/ 11 I 9 232+1+9X5-。=i十1十二彳.10.計(jì)算下列各式的值：(l)log5354- 21ogj >/2-log5- log514：5 一(2)(log21 25 + log425 + Iogs5)-(log52 + log254 + logl258) .I解 原式=10g535 + log550 - Iog514 + 2 log 1 2 235X50 二 1唆一4+ °gi 2 =log553 - 1 = 2.(2)方法一原式- log225 I log25

19、Vlogs4 logs8 '一(1。段5 + 10g24 + iOg28 A,og52 + log525 + Iog5125,+勰+超(%2+勰+耀=(3+1+； 方法二原式=Hg 125 , lg25 , lg5Vlg2 , lg4 1g 8 AI lg2 + lg4 十lg8人lg5十lg25十lgl25j_f31g5 21g5 lg5Vlg2 21g2 31g2-Ug2 十21g 2十31g 2人 1g 5十21g 5十31g 5)=(器*5y綜合運(yùn)用11.已知 log3=2, log/>v= 1 > logm=4(d, bt c, X>0 且,a9 b, c,

20、 xWl),則 log/abc)等于 ()7-4 D 7-2 c 2-7B 4-7 A答案D解析x = a2 = b = c4 ,所以(“機(jī)r=x1 ,17所以 abc = X4 .gP ogx(abc)=不12.設(shè) logs3=p, log35=% 則 lg5 等于()A. jr+cf1B.!(3+2q)C.惡D. pq答案c解析,唯3二版二墨二,，lg 3 = 3plg 2.og35 二黯二 g，A 1g 5 = lg 3 = 3pIg 2 = 3pq( - 1g 5) f“5 二3Pq1 + 3Pq13.已知函數(shù)外)=1匕 則./Uog23)+.f(logq)=答案1解析logz3 +

21、log' = log23 - logz3 = 0 ,11 3X 1A - x) +/(.¥)=+=+= 1.3-'+1 3 yl 3'+1 3 rl.A10g23) +/(10g4= 1.14.已知函數(shù)./U)=alog2x+ 10gM+2,且/(h篙)=4，則/(2020)=.答案0解析 由/(T52O)= "I°g2&5 + M°g3r5 十 2 = 4 ,得-ulog22 020 - /?log32 020 = 2.alog22 020 + hlog32 020 = - 2.M2 020) = aloga2 020 + felog32 020 + 2= - 2 + 2 = 0.y拓廣探究15.已知小b, c是不等于1的正數(shù)，且=/=，；+!=0,則"機(jī)的值為一