角的平分線的性質(zhì)

1、角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)如圖所示，在如圖所示，在S區(qū)建一個(gè)工廠，使區(qū)建一個(gè)工廠，使它到兩條鐵路的距離相等，假如它到兩條鐵路的距離相等，假如你是設(shè)計(jì)者，你會(huì)怎樣設(shè)計(jì)？你是設(shè)計(jì)者，你會(huì)怎樣設(shè)計(jì)？1、在準(zhǔn)備好的角上標(biāo)好字母；、在準(zhǔn)備好的角上標(biāo)好字母；A,O,B, 。把角。把角AOB對(duì)折，使得這個(gè)角的兩邊重合。對(duì)折，使得這個(gè)角的兩邊重合。2、在折痕（即平分線）上任意找一點(diǎn)、在折痕（即平分線）上任意找一點(diǎn)P。作。作PD垂直與垂直與OA，垂足為，垂足為D。3、過(guò)點(diǎn)、過(guò)點(diǎn)P作作OB邊的垂線邊的垂線PE，垂足為，垂足為E。問(wèn)：點(diǎn)問(wèn)：點(diǎn)D與點(diǎn)與點(diǎn)E重合嗎，由此你可得到什么結(jié)論重合嗎，由此你可得到什么結(jié)論

2、BOAPPED角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等離相等 由小組討論的結(jié)果，我們可以得由小組討論的結(jié)果，我們可以得到什么？到什么？如何用尺規(guī)作角的平分線如何用尺規(guī)作角的平分線畫(huà)法：畫(huà)法：以為圓心，適當(dāng)以為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交于，長(zhǎng)為半徑作弧，交于，交于交于分別以，為分別以，為圓心大于圓心大于 1/2 的長(zhǎng)的長(zhǎng)為半徑作弧兩弧在為半徑作弧兩弧在的內(nèi)部交于的內(nèi)部交于作射線作射線射線即為所求射線即為所求已知：已知：OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC。求證：求證：OCOC平分平分AOBAOB。想一想：想一想：為什么為什么OCOC是角平分線呢？是角平分線呢？證明證明

3、：在：在OMCOMC和和ONCONC中，中， OM=ONOM=ON， MC=NCMC=NC， OC=OCOC=OC， OMC OMC ONCONC（SSSSSS） MOC=NOCMOC=NOC 即：即：OCOC平分平分AOBAOB O Ow角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等. .已知已知: :如圖如圖,OC,OC是是AOBAOB的平分線的平分線,P,P是是OCOC上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分別是垂足分別是D,E.D,E.求證求證:PD=PE.:PD=PE.分析:要證明PD=PE,只要證明它們所在的OPDOPE，而OPD

4、OPE的條件由已知易知它滿足公理(AAS). 故結(jié)論可證.OCB1A2PDE證明：證明：PDOA,PEOB. PDO=PEO=90 OC為為AOB的平分線的平分線 1=2 在在PDOPDO和和PEOPEO中，中， PDO=PEO 1=2 OC=OCOC=OC， OMC OMC ONCONC（AASAAS） PD=PE OCB1A2PDE我們得角的平分線的性質(zhì)：我們得角的平分線的性質(zhì)： 在角的平分在角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等能否用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)翻譯能否用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)翻譯“角平分線上的點(diǎn)到角角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的兩邊的距離相等”這句話請(qǐng)?zhí)钕卤恚哼@句話請(qǐng)

5、填下表：OC平分平分AOB，PDOA, PEOB, D、E為垂為垂足足PD=PE到角的兩邊距離相等的點(diǎn)是否在角的平分線上呢？到角的兩邊距離相等的點(diǎn)是否在角的平分線上呢？根據(jù)下表中的圖形和已知事項(xiàng)，猜想由已知事項(xiàng)可推出的事項(xiàng)，并用符號(hào)語(yǔ)言填寫(xiě)下表：點(diǎn)P在AOB的平分線上 證明：證明：PDOA,PEOB. PDO=PEO=90 OC為為AOB的平分線的平分線 在在PDOPDO和和PEOPEO中中, , PD=PE PD=PE OC=O OMC OMC ONCONC（HLHL） 1=2 OC為為AOB的平分線的平分線OCB1A2PDE已知已知: :如圖如圖, P, P是是OCOC上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)

6、PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分別是垂足分別是D,E.D,E.且且PD=PE.PD=PE.求證求證: : 1=2同學(xué)們思考一下，這節(jié)課所學(xué)的這兩個(gè)性質(zhì)有什么聯(lián)系嗎？證明：證明：過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作作PD 、PE、PF分別垂直于分別垂直于AB、 BC、CA，垂足分別為，垂足分別為D、E、F BM是是ABC的角平分線，點(diǎn)的角平分線，點(diǎn)P在在BM上上 PD=PE（在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊 的距離相等）的距離相等） 同理同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即點(diǎn)即點(diǎn)P到邊到邊AB、BC、 CA的距離相等的距離相等想一想，點(diǎn)想一想，點(diǎn)P在在A A 的的 平分線上嗎？這平分線上嗎？這說(shuō)明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？說(shuō)明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？PABCMNEDF例例 已知：如圖，已知：如圖，ABC的角平分線的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P到三邊到三邊AB、BC、CA的距離相等的距離相等.暢 談 收 獲練習(xí)練習(xí)1： 如圖,求作一點(diǎn)P,使PC=PD,并且點(diǎn)P到AOB的兩邊的距離相等. CDABO練習(xí)練習(xí)2：如圖，如圖，的的的外角的平的外角的平分線與分線與的外角的平分線相交于的外角的平分線相交于點(diǎn)求證：點(diǎn)到三邊，點(diǎn)求證：點(diǎn)到三邊，所在直線的距離相等所在直線的距離相等F FGH知識(shí)拓展知識(shí)拓展 ：