純相位繞射元件設(shè)計(jì)

1、純相位繞射元件設(shè)計(jì)Design Of Phase-only Diffractive Optical Elements林世穆* 賴聖棠Lin, Shi-Mu* Lai, Sheng-Tang 國立臺(tái)北科技大學(xué)光電技術(shù)研究所摘要繞射光學(xué)元件(DOE)，近來應(yīng)用日漸廣泛，可應(yīng)用於DVD讀寫頭，及光束整型、光束分離等。本文設(shè)計(jì)一光完全穿透而僅改變光波相位的純相位元件，採取疊代傅立業(yè)轉(zhuǎn)換法(Iterative Fourier Transform algorithm, IFT)，並採用步階量化的方式來產(chǎn)生二維的DOE元件。最後結(jié)合Pnoise法及二階段IFT法，對成像品質(zhì)再做改善，其繞射效率()、動(dòng)態(tài)範(fàn)圍

2、(DR)、訊號(hào)雜訊比(SNR)分別為75.43%、48.72%、2.39。關(guān)鍵詞 : 繞射光學(xué)元件、疊代傅立業(yè)轉(zhuǎn)換法。投稿受理時(shí)間：89年10月16日審查通過時(shí)間：89年12月17日ABSTRACTRecently, diffractive optical elements (DOE) have been applied to various aspects, such as the pick-up head of DVD, beam shaping and beam dividing, etc. We design a two-dimension phase-only DOE by usin

3、g IFT and step quantization algorithm. Performance of our design can be evaluated by diffraction efficiency (), dynamic range (DR) and signal-to-noise ratio (SNR). Finally, we combine Pnoise and two-stage IFT algorithms to improve the diffraction pattern. The results of diffraction efficiency, dynam

4、ic range, and signal to noise are 75.43%, 48.72%, and 2.39, respectively.Keywords: diffractive optical element，IFT algorithm.壹、 前言 繞射光學(xué)元件(DOE)是近十餘年才發(fā)展出來的新興光學(xué)工藝。傳統(tǒng)光學(xué)元件是利用折射及反射的原理來設(shè)計(jì)，如透鏡、反射鏡，往往都只具備單一功能。繞射光學(xué)元件是利用光的繞射原理來設(shè)計(jì)，而且一片的DOE就可取代數(shù)片傳統(tǒng)光學(xué)元件的功能。繞射光學(xué)元件是一種相位型光學(xué)元件，利用表面厚度變化的浮雕結(jié)構(gòu)(surface relief)來調(diào)制入射光波前，使得

5、最後在繞射場能得到所設(shè)計(jì)的光場分布。它的功用可做徑向強(qiáng)度調(diào)制，對入射光的波前做改變，使得在像平面產(chǎn)生預(yù)先設(shè)計(jì)的圖形分布，例如光束整形(Beam shaping)；可做軸向強(qiáng)度調(diào)制，在給定的範(fàn)圍內(nèi)產(chǎn)生預(yù)設(shè)的強(qiáng)度分布，例如DVD、CD-ROM的讀寫頭；也可做為分波傳輸及分波聚焦的元件，例如白光入射後可產(chǎn)生彩色的點(diǎn)陣分布。繞射元件的主要製作方式有半導(dǎo)體製程(semiconductor processing)、直接刻畫(direct writing)、全像術(shù)(holography)、及鑽石切削(point diamond turning)等，本研究以半導(dǎo)體製程為準(zhǔn)。 繞射元件的設(shè)計(jì)已發(fā)展許多種的演算法

6、。1972年由Gerchberg及Saxton所發(fā)表的疊代傅立業(yè)轉(zhuǎn)換演算法1，此法利用快速傅立業(yè)轉(zhuǎn)換(FFT)，對光柵面及成像面作正、逆傅立業(yè)轉(zhuǎn)換，並修正每次所造成的相位差，直到成像面的光場強(qiáng)度分布能愈來愈趨近設(shè)計(jì)圖案的強(qiáng)度分布。本方法的優(yōu)點(diǎn)是能很快的獲得不錯(cuò)的繞射效率，但對於光點(diǎn)間的均勻度卻不能有效的控制。模擬退火法(Simulated Annealing algorithm)2，這是利用熱力學(xué)上熱處理的原理，有時(shí)候要得到特定的分子結(jié)晶必須將材料先加熱再降溫，所以模擬退火法的概念是不斷的提高虛擬溫度，避免僅得到區(qū)域的極小值，而得到全部區(qū)域的最小值。利用此種思維的運(yùn)算法成像能達(dá)到最佳的狀態(tài)，但

7、運(yùn)算相當(dāng)費(fèi)時(shí)且效率不高。虛擬區(qū)域(Dummy Area)法3，基本上仍然是GS演算法，但它在訊號(hào)區(qū)外加一些初始光場為0的虛擬區(qū)域來做疊代的流程，此法能大幅的壓低訊號(hào)雜訊比，但是必須增加空間頻寬。二階段IFT法4，第一階段仍為IFT法，第二階段則根據(jù)階數(shù)的不同來執(zhí)行不同的流程，用意在於希望不必增加虛擬區(qū)域，但一樣能達(dá)到壓低雜訊及改善光點(diǎn)均勻度的作用。YG演算法5，由羊國光和顧本元提出，此法較IFT法多出一個(gè)流程，可以處理非么正系統(tǒng)的問題。但二階段IFT法和YG演算法皆要比IFT法費(fèi)時(shí)。Pnoise趨近法6則是放寬對雜訊區(qū)域的限制來代替虛擬區(qū)域的引入，對雜訊的抑止相當(dāng)有效，而且不須增加空間頻寬。本

8、文設(shè)計(jì)的DOE是比較上述運(yùn)算法後，強(qiáng)調(diào)高效率及低雜訊，作成圖像顯示(image display)的元件，採用能夠迅速得到結(jié)果且有良好繞射效率的改良IFT法來設(shè)計(jì)。本文第一節(jié)是前言，第二節(jié)介紹IFT演算法的基本理論，第三節(jié)是由IFT演算法來模擬的一些結(jié)果，第四節(jié)結(jié)合Pnoise法及二階段IFT法對成像品質(zhì)做改進(jìn)，第五節(jié)作些簡單的結(jié)論。貳、理論及方法(A) 疊代傅氏轉(zhuǎn)換法由純量繞射理論，繞射元件面的光場複振幅可寫成g(u,v)=A(u,v)e (1)成像面的光場由Fresnel 繞射公式可寫成G(x,h)= (2)其中H(u,v,z)=exp(u2+v2)，k為傳播常數(shù)，Z是元件到成像面之間的距離

9、。在忽略元件本身對光造成折、反射及吸收的情況下，穿透DOE後的光場與入射光場成正比關(guān)係。 g(u,v)=g0(u,v)t(u,v) (3)其中g(shù)0(u,v)為入射光場，t(u,v)是元件的透過率函數(shù)，對純相位的元件而言t(u,v)=eiL(u,v)，L(u,v)是元件的相位，成像面的強(qiáng)度分布I(x,h)=|G(x,h)|2=|2 (4)其中為入射光振幅，相位部分為j(u,v)=j0(u,v)+L(u,v) (5)這裡的j0(u,v)為入射光場的相位，此時(shí)修正成像面的光場(x,h)=B0(x,h)G(x,h)|G(x,h)|-1 (6) 其中B0(x,h)=，I0(x,h)是所設(shè)計(jì)圖案的理想強(qiáng)度

10、分布。經(jīng)過逆Fresnel 繞射運(yùn)算之繞射元件面的光場為 g(u,v)= e-ikZ (7)再將元件面的光場替換成(u,v)= (8) 其中是DOE的孔徑範(fàn)圍。如此反覆運(yùn)算若干次，可以得到一個(gè)新的j(u,v)，並由(5)式得到DOE的相位L(u,v)。光學(xué)結(jié)構(gòu)如圖1所示。vDOEzug0(u,v)g(u,v)G()Z 圖1. DOE所造成的光場分布。(B) 演算流程參照圖2的流程圖，首先我們定像平面上目標(biāo)點(diǎn)分布函數(shù)為C(p)，C(p)的值皆設(shè)為1，其初始相位(p)是隨機(jī)賦予的，介於0到2之間。Step1 : G(p)=C(p)ei(p) 即為成像面的光波波場，經(jīng)過反傅立業(yè)轉(zhuǎn)換得到光柵平面的光波

11、波場g1(q)。假設(shè)光柵是純相位的，即材料對光是完全穿透的，不會(huì)改變光的強(qiáng)度，穿透率為1，故將複數(shù)函數(shù)g1(q)的振幅大小單一化(unity)，即強(qiáng)度部分皆是1，而相位部分保留。Step2 : 此時(shí)的相位是連續(xù)分布的，但實(shí)際上不太可能做出連續(xù)相位的繞射元件，所以必須對光柵相位進(jìn)行量化，一般是採用步階量化，即隨著疊代次數(shù)的增加而逐步的擴(kuò)大量化範(fàn)圍，而不在量化範(fàn)圍內(nèi)的相位仍舊保留連續(xù)分布的狀況。Step3 : 由g1(q)作傅立業(yè)轉(zhuǎn)換得到一新的繞射光場Gi+1(p)。由於我們對相角量化及振幅單一化，會(huì)對傅氏轉(zhuǎn)換後的結(jié)果產(chǎn)生誤差，所以必須對複數(shù)函數(shù)Gi+1(p)加以修正。修正的方法是只保留相位部分，

12、強(qiáng)度則以目標(biāo)點(diǎn)分布函數(shù)C(p)替換，至此為一個(gè)疊代迴圈。 反覆循環(huán)直到相位完全量化完畢後，迴圈終止。之後我們可以得到光柵面的gi+1(q)。並根據(jù)gi+1(q)的相位分布製作成繞射元件。圖2. IFT法流程圖。 在此引用一些參數(shù)可用來評價(jià)成像品質(zhì)15；其中G(p1) 是訊號(hào)區(qū)的光場分布，G(p2) 是雜訊區(qū)的光場分布；G(p) 是整個(gè)窗框的光場分布，w是窗框的寬度。 繞射效率(0)的定義為訊號(hào)區(qū)的光場強(qiáng)度占整個(gè)窗框光場強(qiáng)度的百分比，以(9)式表示： 0=100× (9)影像面的強(qiáng)度最好能大多落在訊號(hào)區(qū)中，故繞射效率愈大愈好。 動(dòng)態(tài)範(fàn)圍(DR)的定義是訊號(hào)區(qū)光場強(qiáng)度的最大值及訊號(hào)區(qū)光場

13、強(qiáng)度的最小值差值與訊號(hào)區(qū)光場強(qiáng)度的平均值的百分比以(10)式表示：DR=100 (10)DR是評價(jià)訊號(hào)區(qū)光點(diǎn)間強(qiáng)度的差值，DR愈小表光點(diǎn)愈平均。 訊號(hào)雜訊比(SNR)的定義是訊號(hào)區(qū)光場強(qiáng)度的最小值和雜訊區(qū)光場強(qiáng)度的最大值的比，以(11)式表示：SNR= (11)若雜訊區(qū)中有一個(gè)很大的值，將使得SNR變小，故我們想得到的是較大的SNR。 圖3. 理想的圖形。參、電腦模擬結(jié)果 本文首先利用疊代傅氏轉(zhuǎn)換法設(shè)計(jì)一個(gè)在64×64個(gè)單位的繞射場產(chǎn)生一個(gè)以(32，32)為圓心，內(nèi)徑16，外徑20的圓環(huán)，如圖3所示。整個(gè)程式是由Matlab執(zhí)行，並在反覆疊代90次後終止。圖4、圖5、圖6分別是繞射效

14、率、動(dòng)態(tài)範(fàn)圍、訊號(hào)雜訊比對疊代次數(shù)(count)的關(guān)係圖。程式完成時(shí)的繞射效率77.63%，動(dòng)態(tài)範(fàn)圍137.23%，訊號(hào)雜訊比1.22。圖4.繞射效率對疊代次數(shù)的關(guān)係圖。圖5.動(dòng)態(tài)範(fàn)圍對疊代次數(shù)的關(guān)係圖。圖6.訊號(hào)雜訊比對疊代次數(shù)的關(guān)係圖。肆、成像品質(zhì)之改進(jìn)本文中所設(shè)計(jì)的圓環(huán)其繞射效率還在可接受的範(fàn)圍，但光點(diǎn)間的均勻度則較差，訊號(hào)雜訊比也須做一些改善。所以引入Pnoise法嘗試對成像做修正，流程如圖7所示。Pnoise法基本上仍然是以IFT法為架構(gòu)，只是在每次疊代中放寬對虛擬區(qū)的限制，即振幅分佈變化和相位改變都接受；而訊號(hào)區(qū)則僅接受相位變化，振幅分佈必須修正。Pnoise法的目的是希望在犧牲部

15、分效率的情況下，能換來動(dòng)態(tài)範(fàn)圍及訊號(hào)雜訊比的大幅改善。 最後的繞射效率為68.81%、動(dòng)態(tài)範(fàn)圍是64.75%、訊號(hào)雜訊比1.47。結(jié)果相當(dāng)符合我們的預(yù)期，雖然犧牲了一點(diǎn)效率卻能換來其他效能的大幅改善。 圖7. Pnoise法流程圖。 參考文獻(xiàn)5中的二階段流程法並結(jié)合Pnoise法希望能對繞射效率再做一些提昇。此法是使用兩個(gè)階段來執(zhí)行IFT法的架構(gòu)。流程如圖8。由流程圖可以很明顯的看出第一階段和第二階段的區(qū)別僅在於第一階段中繞射元件的相位是不予量化的，即採用連續(xù)相位。而第二階段中繞射元件的相位是採取步階量化。因?yàn)檫B續(xù)相位的DOE可以產(chǎn)生較良好的繞射效率，所以先用連續(xù)相位執(zhí)行某一疊代次數(shù)後，再用得

16、到的成像面相位代入第二階段中，這時(shí)候的並不是處於亂數(shù)分布的狀態(tài)，而是繞射效率高達(dá)九成以上的成像面相位分布。所以再經(jīng)由第二階段的疊代運(yùn)算，理論上應(yīng)該可以得到較佳的成像品質(zhì)。因?yàn)檫€想把動(dòng)態(tài)範(fàn)圍及訊號(hào)雜訊比均做壓抑，故第二階段中使用先前Pnoise的做法，在成像面的振幅調(diào)制上僅調(diào)制屬於訊號(hào)區(qū)的部分，屬於雜訊區(qū)的則不予調(diào)制。圖(8) 結(jié)合Pnoise法與二階段IFT法的流程圖。 接著做電腦模擬，其中第一階段直到繞射效率達(dá)到預(yù)期的結(jié)果後才停止疊代，第二階段中的步階量化是在疊代90次後完成。最後程式終止時(shí)的繞射效率75.43%，動(dòng)態(tài)範(fàn)圍48.72%，訊號(hào)雜訊比2.39。結(jié)果相當(dāng)符合預(yù)期，此法犧牲了更少的效

17、率卻一樣能換來動(dòng)態(tài)範(fàn)圍、繞射效率的大幅提昇。表（1）中顯示的是各種演算法的比較圖，其中動(dòng)態(tài)範(fàn)圍改善了64.50%，訊號(hào)雜訊比也改善了96.20%，只有繞射效率稍微衰退了2.83%。而Pnoise法只有動(dòng)態(tài)範(fàn)圍獲得較佳的結(jié)果，其餘的評價(jià)函數(shù)並不理想。所以可知此結(jié)合法優(yōu)於前面兩種方法。表(1) 演算法之參數(shù)比較IFTPnoisePnoise & two stage(%)77.6368.8175.43DR(%)137.2364.7548.72SNR1.221.472.39圖9是採取會(huì)獲得較佳評價(jià)函數(shù)的結(jié)合法所設(shè)計(jì)出的DOE的相位分布圖。圖9. DOE的相位分布圖。圖9中不同灰階度分別對應(yīng)元件

18、上不同的浮雕(relief)厚度，此厚度是由入射光的波長與繞射元件的材料折射率來決定，最後將元件以半導(dǎo)體製程或準(zhǔn)分子雷射蝕刻而成的厚度分布如圖9，入射一道同調(diào)光即可可在繞射場產(chǎn)生趨近於所設(shè)計(jì)的圓環(huán)圖像，如圖10。圖10. 由圖3之理想圖形經(jīng)由運(yùn)算後所產(chǎn)生的圖樣。伍、結(jié)論繞射光學(xué)元件具有重量輕、體積小、可大量複製等優(yōu)點(diǎn)，除可產(chǎn)生各種繞射圖像，亦可作為光學(xué)連結(jié)元件；在光通訊及半導(dǎo)體製程等技術(shù)日漸進(jìn)步，應(yīng)用將更為普遍，相當(dāng)值得我們?nèi)パ芯?。本文首先使用IFT法，產(chǎn)生的繞射圖像效率還不錯(cuò)但光點(diǎn)間均勻度不佳，雜訊也稍大。後來使用Pnoise法嘗試對成像做修正，結(jié)果還算令人滿意，但還是使得效率降低了10%左

19、右。 最後，結(jié)合Pniose法與二階段IFT法，結(jié)果更符合預(yù)期。此外，本研究的目標(biāo)是希望能利用此理論設(shè)計(jì)做出多波分工器中的繞射元件，以及將NTUT的?；請D樣圖11作為彩色圖像顯示。圖11. NTUT?；請D。謝誌本文作者感謝工研院光電所林晃嚴(yán)博士及中正理工學(xué)院電子系陸儀斌博士曾經(jīng)給予的討論。REFERENCES 1 R. W. Gerchberg and W. O. Saxton, ”A practical algorithm for the determination of phase from image and diffraction plane pictures”, Optik, 35, p237-246, (1972).2S. Kirkpatrick and C.D. Gelatt, ”O(jiān)ptimization by Simulated Anneling”, Science, 220, p671-680, (1983).3Hiroshi Akahori, ”Spectrum leveling by an iterative algorithm with a dummy area for