第四章 平面向量數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 質(zhì)量檢測(cè)

1、第四章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入(自我評(píng)估、考場(chǎng)亮劍，收獲成功后進(jìn)入下一章學(xué)習(xí)！)(時(shí)間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1(2009·天津高考)i是虛數(shù)單位，()A12iB12iC12i D12i解析：12i.答案：D2已知向量a(5,6)，b(6,5)，則a與b ()A垂直 B不垂直也不平行C平行且同向 D平行且反向解析：已知向量a(5,6)，b(6,5)，a·b30300，則a與b垂直答案：A3(2010·利辛模擬)已知向量a(2,3)，b(1,2)，若(ma

2、b)(a2b)，則實(shí)數(shù)m( )A. B C. D.解析：mabm(2,3)(1,2)(2m1,3m2)，a2b(2,3)2(1,2)(4，1)(mab)(a2b)12m(3m2)×4.m.答案：B4如圖，已知a，b，3，用a，b表示，則等于 ()Aab B.abC.ab D.ab解析：()ab.答案：B5若在ABC中，|3，|5，|4，則|5| ()A4 B2 C2 D.解析：根據(jù)三邊邊長易知ABC為直角三角形cos，.|5|225|2|210|·|cos，160.|5|4.答案：A6(2010·鞍山模擬)已知復(fù)數(shù)z1i，則等于 ()A2i B2i C2 D2解析

3、：2i.答案：A7已知命題：“若k1ak2b0，則k1k20”是真命題，則下面對(duì)a，b的判斷正確的是 ()Aa與b一定共線 Ba與b一定不共線Ca與b一定垂直 Da與b中至少有一個(gè)為0解析：假設(shè)a與b共線，由已知得k1ak2b，如果a、b均為非零向量，與已知條件矛盾如果a、b中至少有一個(gè)非零向量，明顯的與已知矛盾，排除A、D.把k1ak2b0兩邊平方得a2b22k1k2a·b0，因?yàn)閗1k20，所以a·b不一定等于0，排除C.答案：B8若平面向量a(1,2)與b的夾角是180°，且|b|3，則b的坐標(biāo)為 ()A(3，6) B(3,6)C(6，3) D(6,3)解析

4、：由題意設(shè)ba(1,2)由|b|3得29.±3.因?yàn)閍與b的夾角是180°.所以3.答案：A9(2010·黃岡模擬)已知A、B、C是銳角ABC的三個(gè)內(nèi)角，向量p(1sinA,1cosA)，q(1sinB，1cosB)，則p與q的夾角是 ()A銳角 B鈍角 C直角 D不確定解析：銳角ABC中，sinAcosB0，sinBcosA0，故有p·q(1sinA)(1sinB)(1cosA)(1cosB)0，同時(shí)易知p與q方向不相同，故p與q的夾角是銳角答案：A10已知非零向量，和滿足·0，且·，則ABC為 ()A等邊三角形 B等腰非直角三角形

5、C非等腰三角形 D等腰直角三角形解析：、均為單位向量由·0，得| |.由·1×1×cosC，得C45°.故三角形為等腰直角三角形答案：D11如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是弧AB的三等分點(diǎn)，M，N是線段AB的三等分點(diǎn)，若OA6，則·的值為 ()A13 B26 C18 D36解析：·()·()····6×6cos60°6×2cos120°6×2cos120°2×2cos180°26.答案：B12設(shè)

6、a(a1，a2)，b(b1，b2)定義一種向量積：ab(a1，a2) (b1，b2)(a1b1，a2b2)已知m，n，點(diǎn)P(x，y)在ysinx的圖象上運(yùn)動(dòng) ，點(diǎn)Q在yf(x)的圖象上運(yùn)動(dòng)，滿足mn(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則yf(x)的最大值A(chǔ)及最小正周期T分別為 ()A2， B2,4 C.，4 D.，解析：設(shè)Q(x0，y0)，(x0，y0)，(x，y)，mn，(x0，y0)(x，y)，代入ysinx中得，2y0sin，所以最大值為，周期為4.答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分將答案填寫在題中的橫線上)13已知復(fù)數(shù)z1m2i，z234i，若為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m_.解析：是實(shí)數(shù)，

7、64m0，故m.答案：14(文)若向量a(12，23)與b(4,1)共線，則_.解析：依題意得4(23)(12)0，由此解得.答案：(理)已知a(3,2)，b(1,2)，(ab)b，則實(shí)數(shù)_.解析：(ab)b，(ab)·ba·bb2150，.答案：15已知平面向量a，b，c滿足abc0，且a與b的夾角為135°，c與b的夾角為120°，|c|2，則|a|_.解析：根據(jù)已知條件，組成以|a|，|b|，|c|為邊長的三角形，由正弦定理得，又|c|2，所以|a|.答案：16在直角坐標(biāo)系xOy中，i、j分別是與x軸，y軸平行的單位向量，若直角三角形ABC中，ij

8、，2imj，則實(shí)數(shù)m_.解析：本題考查了向量的運(yùn)算由已知可得i(m1)j.當(dāng)A90°時(shí)，·(ij)·(2imj)2m0，m2.當(dāng)B90°時(shí)，·(ij)·i(m1)·j(1m1)m0，m0.當(dāng)C90°時(shí)，·(2imj)·i(m1)j2m(m1)m2m20，此時(shí)m不存在故m0或2.答案：0或2三、解答題(本大題共6小題，共74分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z滿足：|z|13iz，化簡(jiǎn)解：設(shè)zabi(a，bR)，而|z|13iz，即13iabi0，則，z43

9、i.34i.18(本小題滿分12分)如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)，已知c，d，試用c，d表示，.解：法一：設(shè)a，b，則ad(b)， bc(a)， 將代入得ad()c(a)adc，代入得bc()(dc)cd.故dc，cd.法二：設(shè)a，b.所以b，a，因而，即(2dc)，(2cd)19(本小題滿分12分)已知向量a(cos()，sin()，b(cos()，sin()(1)求證：ab；(2)若存在不等于0的實(shí)數(shù)k和t，使xa(t23)b，ykatb，滿足xy，試求此時(shí)的最小值解：(1)證明：a·bcos()·cos()sin()·sin()

10、sincossincos0.ab.(2)由xy得：x·y0，即a(t23)b·(katb)0，ka2(t33t)b2tk(t23)a·b0，k|a|2(t33t)|b|20.又|a|21，|b|21，kt33t0，kt33t.t2t3(t)2.故當(dāng)t時(shí)，有最小值.20(本小題滿分12分)在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊長分別為a、b、c，已知向量m(1,2sinA)，n(sinA,1cosA)，且滿足mn，bca.(1)求角A的大??；(2)求sin的值解：(1)mn，1cosA2sin2A，即2cos2AcosA10，解得cosA1(舍去)，cosA.又0A，A.

11、(2)bca，由正弦定理可得sinBsinCsinA.又C(AB)B，sinBsin，即sinBcosB，sin.21(本小題滿分12分)已知向量a(cosx，sinx)，b(cosx，cosx)，c(1,0)(1)若x，求向量a，c的夾角；(2)當(dāng)x，時(shí)，求函數(shù)f(x)2a·b1的最大值解：(1)設(shè)a，c的夾角為，當(dāng)x時(shí)，cosa，ccosxcoscos.0a，c，a，c.(2)f(x)2a·b12(cos2xsinxcosx)12sinxcosx(2cos2x1)sin2xcos2xsin(2x)x，2x，2，sin(2x)1，當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)max1.22(本小題滿分14分)已知ABC的面積為S，滿足S3，且·6， 與的夾角為.(1)求角的取值范圍；(2)求函數(shù)f()sin22sin·cos3cos2的最