相關(guān)性平均值標(biāo)準(zhǔn)差相關(guān)系數(shù)回歸線及最小二乘法概念

1、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)、回歸線及最小二乘法相關(guān)性線性相關(guān)數(shù)據(jù)在一條直線附近波動，則變量間是線性相關(guān)非線性相關(guān)數(shù)據(jù)在一條曲線附近波動，則變量間是非線性相關(guān)不相關(guān)數(shù)據(jù)在圖中沒有顯示任何關(guān)系，則不相關(guān)平均值N個數(shù)據(jù) 的平均值計算公式：標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差表示了所有數(shù)據(jù)與平均值的平均距離，表示了數(shù)據(jù)的散度，如果標(biāo)準(zhǔn)差小，表示數(shù)據(jù)集中在平均值附近，如果標(biāo)準(zhǔn)差大則表示數(shù)據(jù)離標(biāo)準(zhǔn)差比較遠(yuǎn)，比較分散。標(biāo)準(zhǔn)差計算公式：x、y兩個變量組成了笛卡爾坐標(biāo)系中的一個坐標(biāo)(x,y)，這個坐標(biāo)標(biāo)識了一個點的位置。各包含n個常量的X,Y兩組數(shù)據(jù)在笛卡爾坐標(biāo)系中以n個點來進(jìn)行表示。相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)用字母r來表示，表示兩組數(shù)據(jù)線性相關(guān)

2、的程度（同時增大或減小的程度），從另一方面度量了點相對于標(biāo)準(zhǔn)差的散布情況，它沒有單位。包含n個數(shù)值的X、Y兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)r的計算方法：簡單的說，就是r=(以標(biāo)準(zhǔn)單位表示的 x )X(以標(biāo)準(zhǔn)單位表示的 y )的平均數(shù)根據(jù)上面點的定義，將X、Y兩組數(shù)據(jù)的關(guān)系以點的形式在笛卡爾坐標(biāo)系中畫出，SD線表示了經(jīng)過中心點（以數(shù)據(jù)組X、Y平均值為坐標(biāo)的點），當(dāng)r0時，斜率=X的標(biāo)準(zhǔn)差/Y的標(biāo)準(zhǔn)差；當(dāng)r0時，斜率=-X的標(biāo)準(zhǔn)差/Y的標(biāo)準(zhǔn)差；的直線。通常用SD線來直觀的表示數(shù)據(jù)的走向：1、當(dāng)r0時，SD線的斜率大于0時，則說明數(shù)據(jù)正相關(guān)，此時當(dāng)x增大時y增大。3、相關(guān)系數(shù)r的范圍在-1,1之間，當(dāng)r=0時表示

3、數(shù)據(jù)相關(guān)系數(shù)為0(不相關(guān))。當(dāng)r=正負(fù)1時，表示數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)，此(x,y)點數(shù)據(jù)都在SD線上。4、r的值越接近正負(fù)1說明(x,y)越靠攏SD線，說明數(shù)據(jù)相關(guān)性越強，r的值越接近0說明(x,y)點到SD線的散度越大（越分散），數(shù)據(jù)相關(guān)性越小?；貧w方法主要描述一個變量如何依賴于另一個變量。y對應(yīng)于x的回歸線描述了在不同的x值下y的平均值情況，它是這些平均值的光滑形式，如果這些平均值剛好在一條直線上，則這些平均值剛好和回歸線重合。通過回歸線，我們可以通過x值來預(yù)測y值（已知x值下y值的平均值）。下面是y對應(yīng)于x的回歸線方程：簡單的說，就是當(dāng)x每增加1個SD，平均而言，相應(yīng)的y增加r個SD。從方程可以看

4、出：1、回歸線是一條經(jīng)過點 ，斜率為 的直線。2、回歸線的斜率比SD線小，當(dāng)r=1或-1時，回歸線和SD線重合。當(dāng)用回歸線從x預(yù)測y時，實際值與預(yù)測值之間的差異叫預(yù)測誤差。而均方根誤差就是預(yù)測誤差的均方根。它度量回歸預(yù)測的精確程度。y關(guān)于x的回歸線的均方根誤差用下面的公式進(jìn)行計算:由公式可以看出，當(dāng)r越接近1或-1時，點越聚集在回歸線附近，均方根誤差越小；反之r越接近0時，點越分散，均方根誤差越大。最小二乘法尋找一條直線來擬合所有的點，使得這條直線到所有的點之間的均方根誤差最小?？梢钥吹?，當(dāng)求兩個變量之間的關(guān)系時，最小二乘法求出的直線實際上就是回歸線。只不過表述的側(cè)重點不同：1、最小二乘法強調(diào)

5、求出所有點的最佳擬合直線。2、回歸線則是在SD線的基礎(chǔ)上求出的線，表示了樣本中已知變量x的情況下變量y的平均值。由以上可知，一個散點圖可以用五個統(tǒng)計量來描述：1、所有點x值的平均數(shù)，描述了所有點在x軸上的中心點。2、所有點x值的SD,描述了所有點距離x中心點的散度。3、所有點y值的平均數(shù)，描述了所有點在y軸上的中心點。4、所有點y值的SD,描述了所有點距離y中心點的散度。5、相關(guān)系數(shù)r，基于標(biāo)準(zhǔn)單位，描述了所有點x值和y值之間的關(guān)系。相關(guān)系數(shù)r將平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、回歸線這幾個概念聯(lián)系起來：1、r描述了相對于標(biāo)準(zhǔn)差，點沿SD線的群集程度。2、r說明了y的平均數(shù)如何的依賴于x - x每增加1個x標(biāo)準(zhǔn)差，平均來說，y將只增加r個y標(biāo)準(zhǔn)差。3、r通過均方根誤差公式，確定了回歸預(yù)測的精確度。注意：以上相關(guān)系數(shù)、回歸線、最小二乘法的計算要在以下兩個條件下才能成立：1、x、y兩組樣本數(shù)據(jù)是線性的，如果不是線性的先要做轉(zhuǎn)換。2、被研究的兩組樣本數(shù)據(jù)之間的關(guān)系必須有意義。R平方值=回歸平方和/總平方和其中：回歸平方和=總平方和-殘差平方和總平方和=y的實際值的平