線性代數(shù)復(fù)習(xí)題_第1頁
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線性代數(shù)復(fù)習(xí)題_第3頁
線性代數(shù)復(fù)習(xí)題_第4頁
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文檔簡介

1、一、n 階行列式1、n階行列式定義,n階排列的逆序數(shù),展開式的項(xiàng)數(shù)及判斷某一項(xiàng)的符號,行列式性質(zhì)及推論。2、n階行列式元素 的代數(shù)余子式 的概念及計(jì)算。n行列式按一行展開定理及推論。 展開定理。3、行列式計(jì)算(利用性質(zhì)、按一行展開定理、 展開、利用已知行列式值,并含計(jì)算分塊矩陣及一些特殊方陣的行列式)。二、 n維向量1、向量定義及其運(yùn)算。(向量的線性運(yùn)算即加法和數(shù)乘、向量的內(nèi)積的定義和運(yùn)算規(guī)律)2、向量組的線性組合。一組(或一個)向量可由另一組向量線性表出、兩組向量等價(jià)。定義和判定定理及有關(guān)結(jié)論。3、向量組的線性相關(guān)性(定義、判定向量組線性相關(guān)或線性無關(guān),及相關(guān)的定理和推論)。4、向量組的秩及

2、極大線性無關(guān)組。(定義、相關(guān)結(jié)論、求秩及極大線性無關(guān)組)5、標(biāo)準(zhǔn)正交向量組(正交向量組必是線性無關(guān)的)及施密特標(biāo)準(zhǔn)正交化(這是將一組線性無關(guān)的向量化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組的有效方法)。6*、n維向量空間 :定義、維數(shù)、一組基、 中向量在一組基下的坐標(biāo)。三、線性方程組(下述矩陣 為 矩陣)1、線性方程組有解的判定: 1)齊次線性方程組 有非零解 2)線性方程組 有解2、線性方程組解的性質(zhì):三條3、線性方程組解的結(jié)構(gòu)1) 中 時,基礎(chǔ)解系通解:2)非齊次方程組 ,當(dāng) 時, 為方程組一個特解, 為其導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系,則通解為4、線性方程組具體求解方法1)討論非齊次線性方程組 解的存在性。將增廣矩陣 經(jīng)

3、過行初等變換化階梯形,從而可得知與 ,當(dāng)且僅當(dāng) 時 有解。2)齊次線性方程組 求通解的方法:(1) 階梯形,求出一般解。(2)求基礎(chǔ)解系,并寫出通解3)非齊次線性方程組 求通解的方法:(1) 階梯形,求出一般解。(2)求出一個特解。(3)寫出導(dǎo)出組的一般解,并求導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系。(4)寫出通解。四、矩陣1、矩陣運(yùn)算及其運(yùn)算法則:加法、數(shù)乘、乘法(沒有交換率、沒有消去率、由 得不出 或 )、轉(zhuǎn)置、求逆。2、n階矩陣A的伴隨矩陣 (定義)。 性質(zhì):1) 2) 3) 4) 5)A 為n階矩陣:3、可逆矩陣: 1)矩陣A可逆的定義 2)A可逆,求 的方法: 3)矩陣A可逆的充分必要條件 4)化簡及

4、求解矩陣方程 4、矩陣的秩: 1)定義,由定義知 2)矩陣的秩等于它行(列)向量組的秩。 3)矩陣的秩的求法:矩陣經(jīng)初等變換化階梯形。 4)A 為 矩陣,B為 矩陣,且 AB=0, 則 。 5)矩陣運(yùn)算后秩的變化:數(shù)乘、轉(zhuǎn)置、求逆、加法、乘法。5、方陣運(yùn)算后的行列式關(guān)系: A,B均為n階方陣, 。6、矩陣的初等變換。 1)矩陣的行(列)三種初等變換。 2)矩陣經(jīng)初等變換,秩不變。 3)初等矩陣。(1)定義。(2)初等矩陣在將矩陣作初等變換轉(zhuǎn)化為矩陣乘法的等式時的特殊作用。 7、矩陣的分塊運(yùn)算: 矩陣與向量組的轉(zhuǎn)化,矩陣方程和線性方程間的轉(zhuǎn)化。8、特殊矩陣(定義及性質(zhì)): 零矩陣、單位矩陣、數(shù)量

5、矩陣、上(下)三角矩陣、對角矩陣、對稱矩陣、反對稱矩陣、正交矩陣、正定矩陣。9、兩矩陣間的關(guān)系: 1)n階矩陣A與B相似:定義( )、性質(zhì)。 2)n階矩陣A與B互為可逆矩陣。(AB=I) 3)n階矩陣A與B合同:定義(可逆矩陣C使 )10、求n階矩陣A的 : 1)若存在可逆矩陣U,使則 2) 則 五、矩陣的對角標(biāo)準(zhǔn)形1、n階矩陣A特征值與特征向量。 1)定義,及按定義求方陣A的特征值與特征向量的方法。 2)相關(guān)結(jié)論3)屬于A 的不同特征值的特征向量線性無關(guān)。2、n階方陣A能夠與對角形矩陣相似的充要條件為A有n個線性無關(guān)的特征向量。(若能,求可逆矩陣U,使 為A的對角標(biāo)準(zhǔn)形。) 判斷A與對角形矩

6、陣相似的方法: 1)若A的特征值均為單根,則A與對角形矩陣相似。 2)若A的特征值有重根,且 則A與對角形矩陣相似。 A 與對角形矩陣相似,那么A的k重根 對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量個數(shù) 3、實(shí)對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。 實(shí)對稱矩陣特征值均為實(shí)數(shù),不同特征值對應(yīng)的特征向量正交。 對于n階實(shí)對稱矩陣A,存在正交矩陣T使即實(shí)對稱矩陣必正交相似(或稱相似且合同)于實(shí)對角矩陣。六、二次型1、二次型定義及其相關(guān)概念:二次型的(系數(shù))矩陣,矩陣表達(dá)式,二次型的秩,二次型的標(biāo)準(zhǔn)型、規(guī)范型,正慣性指數(shù)。2、可逆線性變換 (C為實(shí)可逆矩陣)。 二次型經(jīng)可逆線性變換 ,得新的二次型的矩陣B與原二次型矩陣A合同,即有3、二次型化標(biāo)準(zhǔn)形 1)用正交變換

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