初中數(shù)學(xué)--變量與函數(shù)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上14.1 變量與函數(shù)重要知識(shí)點(diǎn)講解1、常量與變量在一個(gè)變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量叫做_，始終不變的量叫做_。2、函數(shù)一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量和，并且對(duì)于的每一個(gè)確定的值，都有唯一的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說_是自變量，是的_。3、在一個(gè)函數(shù)關(guān)系式中，如果當(dāng)時(shí)，那么叫做當(dāng)自變量的值為時(shí)的_。4、自變量的取值范圍確定自變量的取值范圍時(shí)，不僅要考慮函數(shù)關(guān)系式有意義，而且還要注意_使實(shí)際問題有意義。5、函數(shù)的圖像（1）對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的_與_，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)，這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的_。（2）描點(diǎn)法畫函數(shù)

2、圖像的一般步驟是：_；_；_；（3）當(dāng)函數(shù)圖像從左向右上升時(shí)，函數(shù)值隨自變量的變大而_；當(dāng)圖像從左向右下降時(shí)，函數(shù)值隨自變量的變大而_。（4）函數(shù)的表示方法：共有_種，分別是_法、_法、和_法。答案：1、變量，常量；2、唯一，函數(shù)；3、函數(shù)值；4、自變量的取值；5、（1）橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，圖像；（2）列表，描點(diǎn)，連線；（3）變大，變小；（4）3，圖像，列表，解析式。重要知識(shí)點(diǎn)講解知識(shí)點(diǎn)一：變量和常量在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。詳解：如在行程問題中，當(dāng)速度保持不變時(shí)，行走的路程的長(zhǎng)短隨時(shí)間的變化而變化，那么在這一過程中，是常量，而和是變量。當(dāng)路程是個(gè)定值

3、時(shí)，行走的時(shí)間隨速度的變化而變化，那么在這一過程中，是常量，而和是變量。注意：（1）變量和常量往往是相對(duì)的，對(duì)于不同的研究過程而言，其中的變量和常量是不相同的，變量和常量的身份是可以相互轉(zhuǎn)換的，如：三者之間；（2）區(qū)分常量與變量，就是看某個(gè)變化過程中，該量的值是否可以改變（即是否會(huì)取不同的數(shù)值）；（3）在討論常量和變量的關(guān)系時(shí)要考慮變量的實(shí)際意義，如：長(zhǎng)度，天數(shù)，身高不能為負(fù)數(shù)，人數(shù)必須是非負(fù)整數(shù)等。例1 寫出下列各問題中所滿足的關(guān)系式，并支出各關(guān)系式中，哪些是常量，哪些是變量。（1）購(gòu)買單價(jià)是0.4元的鉛筆，總金額（元）與購(gòu)買的鉛筆之間的關(guān)系；（2）運(yùn)動(dòng)員在一周的跑道上訓(xùn)練，他跑一圈所用的時(shí)

4、間與跑步速度的關(guān)系。答案：（1）與之間的關(guān)系為：，其中，常量為0.4，變量為和。（2）與之間的關(guān)系式為，其中，常量為400，變量為與。知識(shí)點(diǎn)二：函數(shù)的概念一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量與，并且對(duì)于的每一個(gè)確定的值，都有唯一的值與其對(duì)應(yīng)，那么就說為自變量，是的函數(shù)。詳解：例如，一列貨車以的速度勻速行駛，如果行駛了，那么路程（）。這時(shí)的速度是不變的量，而和是變化著的量，可以在非負(fù)實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取任意值，對(duì)于的每一個(gè)確定的值，必可以求出唯一的一個(gè)確定的路程與之相對(duì)應(yīng)，因此路程是時(shí)間的函數(shù)。注意：對(duì)函數(shù)概念的理解，主要應(yīng)該抓住以下五點(diǎn)：（1）在某一個(gè)變化過程中必須有兩個(gè)變量與。如等。（2）對(duì)于自

5、變量的取值，必須使代數(shù)式有意義。如：中的自變量可以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取值；如中的被開放書要滿足。另外，在實(shí)際問題中，自變量的取值必須使實(shí)際問題有意義。如多邊形的內(nèi)角和是變數(shù)的函數(shù)，即，如果只是從代數(shù)式有意義的角度來考慮，是可以取任意實(shí)數(shù)的，但我們知道多邊形的邊數(shù)必須是大于2的正整數(shù)。（3）函數(shù)的實(shí)質(zhì)揭示了兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：每取一個(gè)值，都有唯一的值與之相對(duì)應(yīng)，否則就不是的函數(shù)。（4）判斷兩個(gè)函數(shù)是不是同一個(gè)函數(shù)，應(yīng)該從自變量的取值范圍，函數(shù)的取值范圍、函數(shù)解析式是否一致來判斷。如：和，其中中的可以取任意實(shí)數(shù)，中的取不等于0的實(shí)數(shù)，所以和不是同一個(gè)函數(shù)。（5）含有一個(gè)變量的代數(shù)式可以看作是這兩個(gè)變

6、量的函數(shù)。如，我們可以將和看作兩個(gè)變量，隨的變化而變化，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)每取一個(gè)值，就有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，所以是的函數(shù)。例2 判斷下面變量之間的關(guān)系是不是函數(shù)關(guān)系：（1）已知圓的半徑，則圓的面積；（2）長(zhǎng)方形的寬一定時(shí)，其長(zhǎng)與周長(zhǎng)；（3）王明的年齡和他的身高。答案：（1）和（3）不是函數(shù)關(guān)系，（2）是函數(shù)關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)三：自變量的取值范圍函數(shù)關(guān)系式中自變量的取值范圍必須使函數(shù)解析式有意義。（1）當(dāng)函數(shù)解析式是整式時(shí)，自變量的取值范圍可取全體實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)函數(shù)解析式是分式（分母中含有字母）時(shí)，自變量的取值范圍要使分母不等于零。（3）當(dāng)解析式是偶次根式時(shí)，自變量必須使被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)；（4）對(duì)于實(shí)際問題

7、中的函數(shù)，除使解析式有意義外，還要使實(shí)際問題有意義；（5）自變量的取值范圍可以是有限的或無限的，也可以是幾個(gè)數(shù)或單獨(dú)的一個(gè)數(shù)。例如：中，自變量的取值范圍是；中，自變量的取值范圍是。（6）在一個(gè)函數(shù)關(guān)系式中，當(dāng)自變量同時(shí)含在分式和二次根式中時(shí)，函數(shù)自變量的取值范圍是使它們分別有意義的取值的公共部分。例3 求下列函數(shù)中自變量的取值范圍：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）例4 已知：等腰三角形的周長(zhǎng)為，設(shè)底邊長(zhǎng)為，腰長(zhǎng)為，試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并確定的取值范圍。若底邊長(zhǎng)為，求腰長(zhǎng)是多少？答案：由題意，得，所以。由解析式本身有意義，得為全體實(shí)數(shù)。又由使實(shí)際問題有意義，則要考慮邊長(zhǎng)

8、為正數(shù)，且要滿足三角形三邊關(guān)系定理。所以有：即，解得。當(dāng)時(shí)，解得。所以腰長(zhǎng)是。知識(shí)點(diǎn)四：函數(shù)值對(duì)于一個(gè)函數(shù)，當(dāng)自變量時(shí)，我們可以求出與它對(duì)應(yīng)的的值，我們就說這個(gè)值是時(shí)的函數(shù)值。詳解：（1）當(dāng)已知函數(shù)解析式時(shí)，求函數(shù)值就是求代數(shù)式的值；當(dāng)已知函數(shù)解析式，給出函數(shù)值，求相應(yīng)的自變量的值就是解方程。（2）對(duì)于一個(gè)函數(shù)，可能有若干個(gè)函數(shù)值。取不同的值，函數(shù)值可能不相等。因此我們應(yīng)該說明自變量取什么值時(shí)的函數(shù)值，如：函數(shù)，當(dāng)時(shí)的函數(shù)值是-3，時(shí)的函數(shù)值就是0.而不能簡(jiǎn)單地說函數(shù)的函數(shù)值是-3。例5 已知：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，。（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的值。答案：（1）；知識(shí)點(diǎn)五：函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法

9、，一般有三種：解析式法、列表法和圖像法，其中解析式法應(yīng)用較多。有的函數(shù)可以用三種方法中的任何一種來表示，而有的只能用其中的一種或兩種來表示。詳解：解析式（函數(shù)關(guān)系式）：用來表示的函數(shù)關(guān)系式的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式，例如以前我們學(xué)過的代數(shù)式都是解析式。（1）解析式法：用解析式來表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做解析式法。解析式法能揭示變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，便于我們研究、分析變化趨勢(shì)，但較抽象，且并不是所有的函數(shù)都能列出解析式。如：人的體重和時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系，就很難用解析式法來表示。（2）列表法：用表格來表示函數(shù)關(guān)系的方法，這種方法比較具體，但有時(shí)很難找出兩個(gè)變量之間的內(nèi)在聯(lián)系。（3）圖像法：用圖

10、像來表示函數(shù)關(guān)系的方法，這種方法直觀，通過圖像可以直觀地發(fā)現(xiàn)兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系及變化發(fā)展趨勢(shì)，但不精確。三種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，在學(xué)習(xí)應(yīng)用中，應(yīng)視具體情況，選擇適當(dāng)?shù)谋硎痉?，或?qū)⑷N方法結(jié)合適用。例6 下列圖形不能體現(xiàn)是的函數(shù)關(guān)系的是（ ）答案：C知識(shí)點(diǎn)六：圖像的概念一般地，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果你把自變量和函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)所組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖像。詳解：如：對(duì)于函數(shù)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)。由幾何知識(shí)（到一個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的角平分線）知，這樣的點(diǎn)組成的圖形是一條直線（第一、三象限角平分線），這條直線就是函數(shù)

11、的圖像，如下圖所示。函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)與其解析式之間的關(guān)系：由函數(shù)圖像的定義可知圖像上任意一點(diǎn)中，是解析式方程的一個(gè)解。反之，以解析式方程的任意一個(gè)解為坐標(biāo)的點(diǎn)一定在函數(shù)的圖像上。通常判定點(diǎn)是否在函數(shù)圖像上的方法：將這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，如果滿足函數(shù)解析式，這個(gè)點(diǎn)就在函數(shù)的圖像上；如果不滿足函數(shù)解析式，這個(gè)點(diǎn)就不在函數(shù)的圖像上。說明：兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)，就是這兩個(gè)函數(shù)解析式所組成的方程組的解。 由于實(shí)際問題的制約，自變量的取值范圍，應(yīng)符合以下條件：使函數(shù)表達(dá)式有意義；符合題意與實(shí)際情況。例7 小明晚飯后出去散步，從家里出發(fā)走20分鐘到一個(gè)離家900米的報(bào)亭看報(bào)10分鐘后，用15分鐘返回

12、家，下列圖中表示小明離家的距離（米）與離家的時(shí)間（分）之間的函數(shù)關(guān)系式是（ ）答案：D知識(shí)點(diǎn)七：由函數(shù)解析式畫圖像的一般步驟（1）列表：列出自變量與函數(shù)的一些對(duì)應(yīng)值；（2）描點(diǎn)：以表中每對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點(diǎn)用平滑的曲線連接起來。注意：用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖像應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）列表時(shí)要根據(jù)自變量的取值范圍取值，從小到大或自中間向兩邊選取，取值要有代表性，盡量使畫出的函數(shù)圖像能反映出函數(shù)的全貌。（2）描點(diǎn)時(shí)要以表中每對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)，點(diǎn)取得越多，圖像越準(zhǔn)確。（3）連線時(shí)要用光滑的曲線把所描的點(diǎn)順次連接起來。函數(shù)的圖像可以是直線或者是

13、射線或線段或曲線，它形象直觀地反映兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在確定函數(shù)圖像時(shí)要注意自變量的取值范圍。例8 畫出函數(shù)的圖像。經(jīng)典例題講解例1 底邊上的高是，當(dāng)三角形的頂點(diǎn)沿底邊向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，三角形的面積發(fā)生了變化，如圖所示，（1） 如果三角形的底邊長(zhǎng)為cm，那么三角形的面積可以表示為_;（2） 在這個(gè)變化過程中，常量是_，變量是_;（3） 當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)從變化到時(shí)，三角形的面積從_變化到_.例2 下列式子中的的函數(shù)嗎？為什么？答案：（1）（2）（4）是，（3）（5）（6）不是。例3 一水庫(kù)的水位在最近6天內(nèi)持續(xù)上漲，記錄數(shù)據(jù)如下表所示：（天）01234561212.51313.51414.515（1）由記

14、錄表推出這6天中水位隨時(shí)間（天）變化的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)圖像；（2）估計(jì)這種上漲的勢(shì)頭還會(huì)持續(xù)2天，試預(yù)測(cè)再過2天水位將達(dá)到多少米。例4 如下圖，在長(zhǎng)方形中，是邊上與點(diǎn)不重合的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交的延長(zhǎng)線與點(diǎn)，交于點(diǎn)（與不重合），且，設(shè)，梯形的面積為，求當(dāng)時(shí)，和之間的函數(shù)關(guān)系式。例5 下圖是古代一種計(jì)時(shí)器“漏壺”的示意圖，在壺內(nèi)盛一定量的水，水從壺下的小孔漏出，壺壁內(nèi)畫有刻度，人們根據(jù)壺中水面的位置計(jì)算時(shí)間，若用表示時(shí)間，表示壺底水面的高度，下列的圖像適合表示一小段時(shí)間內(nèi)與的函數(shù)關(guān)系的是（不考慮水量變化對(duì)壓力的影響）答案：B例6 如圖，在矩形中， ，點(diǎn)從起點(diǎn)出發(fā)，沿方向向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)。設(shè)點(diǎn)走過的路程為，則線段與舉行圍成的圖形的面積為，下列圖像中能大致反映和函數(shù)關(guān)系的是（ ） 答案：A基礎(chǔ)闖關(guān)全練1、 選擇題1、下列關(guān)于圓的面積與半徑之間的函數(shù)關(guān)系中，有關(guān)常量和變量的說法正確的是（ ）A、，是變量，是常量B、，是變量，2是常量C、，是變量，是常量D、，是變量，和2是常量2、 下表是一項(xiàng)試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，表示皮球從高處d處落下時(shí)，彈跳高