萬有引力與航天專題復習

1、專題：萬有引力與航天青點一凱萬有引力定律1.內容：2.公式：F=,其中G=Nl- m2/kg2,叫引 力常量.3.適用條件：考點二，三軸宇宙通度宇宙 速度數(shù)值 (km/s)意義宇宙速 度衛(wèi)星繞地球做圓周運動的最小發(fā)射速度（最大環(huán)繞速度）.若7.9 km/s &v<11.2 km/s ,物體繞運行（環(huán)繞速度）v1'GM- jgRR R第二 宇宙速 度物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度.若11.2 km/s <v<16.7 km/s ,物體繞運行（脫離速度）v2J2v12GM JigRR R第三 宇宙速 度物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度.若v>16.7

2、km/s ,物體將脫離在宇宙空間運行（逃逸速度）考點三間步衛(wèi)星的運行特點1.軌道平面一定：軌道平面與 共面.2.周期一定：與 周期相同，即T= 24 h.3.角速度一定：與 的角速度相同.4 .高度一定：由Mm 4 2,r£1 =荒*（ R+ h）得同步衛(wèi)星離地面的高度3 gmT，4 2R = x 107m5 .速率一定：v =GM山1 6.向心加速度大小一定an v3萬有引力定律應用的基本方法：（1）把天體的運動看成勻速圓周運動，所需向心力由萬有引力提供.M22"萬能"連等式： Gp= ma=m= rrto 2r = m（ -） 2r = m（2 u f） 2r

3、（2）不考慮中心天體的自轉。迂人小花一GMmGMm/黃金代換式： 2 mg （表面）， mg （ h局處）RR hGMm= m芋)2r,可得考向一：天體的質量 M密度p的估算（1）測出衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T,由,=4兀23天體質量為：M= -GT2-.3該中心天體密度為：p =v= 4=言（R為中心天體的半徑）.4兀R3兀當衛(wèi)星沿中心天體表面運行時，r=R,則P="G干(2)利用天體表面的重力加速度Mm由于GR2 mg故天體質量M=g和天體半徑 gR"G，天體密度M M 3g=-.V 4 r3 4兀 GR，兀R3【例4】天文學家新發(fā)現(xiàn)了太陽系外的一顆行

4、星.知某一近地衛(wèi)星繞地球運動的周期約為小時，引力常量這顆行星的體積是地球的倍，質量是地球的25倍.已G= X 10 11 N m2/kg?,由此估算該行星的平均密度約為()A. x 103 kg/m 3B. x 103 kg/m 3C . x 104 kg/m 3考向二：衛(wèi)星的運行和變軌問題1.人造衛(wèi)星的動力學特征2，r Mmv 22兀 2萬有引力提供向心力.即宇 ma=mp=mrco=)r maD. x 104 kg/m 32.人造衛(wèi)星的運動學特征(1)(2)(3)(4)向心加速度a ：由G Mm rma得aGM,隨著軌道半徑的增加，衛(wèi)星的向心加速度減小。，八一,Mm v ,口由線速度v：由

5、GjN=mp#v =一,Mm 2 ，口角速度：由G7= mo r得2周期 T:由 gT2 mTr 得丁= 271GM ，、,r ,隨著軌道半徑的增加，衛(wèi)星的線速度減小。GM ，、, 了,隨著軌道半徑的增加，衛(wèi)星的角速度減小。二n隨著軌道半徑的增加，衛(wèi)星的周期增大。GM【例5】如圖所示，a、b是兩顆繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星，它們距地面的高度分別是 R和2R( R為地球半徑).下列說法中正確的是()A a、b的線速度大小之比是木：1其大小隨半徑國 rI1的增大B. a、b的周期之比是1 ： 2啦C. a、b的角速度大小之比是3乖：4D. a、b的向心加速度大小之比是9： 43 .衛(wèi)星的環(huán)繞速

6、度和發(fā)射速度不同高度處的人造地球衛(wèi)星在圓軌道上運行速度而減小.但是，由于在人造地球衛(wèi)星發(fā)射過程中火箭要克服地球引力做功，因此將衛(wèi)星發(fā)射到離地球越遠 的軌道，在地面上所需的發(fā)射速度就越大，即v發(fā)射v環(huán)繞，所以近地人造地球衛(wèi)星的速度是最大環(huán)繞速度,也是人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度.4 .人造地球衛(wèi)星的超重和失重(1)人造地球衛(wèi)星在發(fā)射升空時，有一段加速運動；在返回地面時，有一段減速運動.這兩個過程加 速度方向均向上，因而都是超重狀態(tài).(2)人造地球衛(wèi)星在沿圓軌道運行時，由于萬有引力提供向心力，因此處于完全失重狀態(tài).在這種情 況下凡是與重力有關的力學現(xiàn)象都不會發(fā)生.因此，在衛(wèi)星上的儀器，凡是制造原理與重力

7、有關的均不能 使用.同理，與重力有關的實驗也將無法進行(如：天平、水銀氣壓計等)5 .衛(wèi)星的變軌2Mm v 22 兀 2衛(wèi)星做勻速圓周運動時滿足：6聲=ma = m=mrco =mK)當衛(wèi)星由于某種原因速度突然改變時(開啟或關閉發(fā)動機或空氣阻力作用)，萬有引力就不再等于向心 力，衛(wèi)星將做變軌運行.2（i）當v增大時，所需向心力m增大，即萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運動，脫離原來 的圓軌道，軌道半徑變大，但衛(wèi)星一旦進入新的軌道運行，由v= yGMs口其運行速度要減小，但重力勢 能、機械能均增加.2知運行速度將增大,（2）當衛(wèi)星的速度突然減小時，向心力mv減小，即萬有引力大于衛(wèi)星所需的向

8、心力，因此衛(wèi)星將做向心運動，同樣會脫離原來的圓軌道，軌道半徑變小，進入新軌道運行時由 v =但重力勢能、機械能均減少.（衛(wèi)星的發(fā)射和回收就是利用了這一原理）3顆人造衛(wèi)星，下列說法【例6】如圖4 42所示，a、b、c是在地球大氣層外圓形軌道上運行的 正確的是（）A b、c的線速度大小相等，且大于a的線速度B. b c的向心加速度大小相等，且大于 a的向心加速度C. c加速可追上同一軌道上的 b, b減速可等到同一軌道上的 cD. a衛(wèi)星由于某種原因，軌道半徑緩慢減小，其線速度將變大【例7】某人造地球衛(wèi)星因受高空稀薄空氣的阻力作用，繞地球運轉的軌道會慢慢改變，某次測量衛(wèi)星的軌道半徑為ri,后來變?yōu)?/p>

9、2（2<ri）,用品、以表示衛(wèi)星在這兩個軌道上的動能，Ti、T2表示衛(wèi)星在這兩個軌道上的運行周期，則 （）A.&2<曰，T2<TiB.&<Eki,T2>TiE. &>&,T2<TiD.&>&,T2>Ti【例8人造衛(wèi)星首次進入的是距地面高度近地點為200km,遠地點為340km的橢圓軌道，在飛行第五圈的時候，飛船從橢圓軌道運行到以遠地點為半徑的圓形軌道上，如圖所示，試處理以下幾個問題（地 球半徑 R=6370knr1 g=9.8m/s2）（i）飛船在橢圓軌道i上運行，Q為近地點，P為遠地點，當飛

10、船運動到P點時點火，使飛船沿圓軌道2運行，以下說法正確的是（）A.飛船在Q點的萬有引力大于該點所需的向心力B.飛船在P點的萬有引力大于該點所需的向心力C.飛船在軌道I上 P點的速度小于軌道n上 P的速度口飛船在軌道I上 P點的加速度小于軌道n上 P的加速度（2）假設由于飛船的特殊需要，中國的一艘原本在圓軌道運行的飛船前往與 之對接，則飛船一定是（）A.從較低軌道上加速B.從較高軌道上加速C.從同一軌道上加速D.從任意軌道上加速考向三：“雙星模型”問題在天體模型中，將兩顆彼此距離較近的恒星稱為雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞兩球連線上某點做周期相同的勻速圓周運動.如圖（i）雙星夾圓心，且

11、始終在同一直線上，靠彼此間的萬有引力提供向心力（2）具有相同的周期T和角速度(3)軌道半徑和質量成反比m2miri L,r2 Lmim2mim2(4)雙星總質量M總4 2L3GT2（其中L為雙星間距，T為周期）例9如圖4-46,質量分別為 m M的兩個星球A和B在引力作用下都繞 O 點做勻速圓周運動，星球 A和B兩者中心之間的距離為 L.已知A、B的中心和O三點 始終共線，A和B分別在O的兩側.引力常量為 G（i）求兩星球做圓周運動的周期；國 1 LC時間:據(jù)大-小t 2則t2、T從相距最近T大T小一（兩星在中心天體的同側且三星共線）到相距最遠（兩星在中心天體的兩側且三星共線）所需最短時間:大

12、-小t2r則t【例10】兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面繞地球做勻速圓周運動，地球半徑為R, a衛(wèi)星離地面的高度等（2）在地月系統(tǒng)中，若忽略其他星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B,月球繞其軌道中心運行的周期記為Ti.但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期記為T2.已知地球和月球的質量分別為x1024 kg和x 1022 kg.求T2與兩者平方之比.（結果彳留3位小數(shù)）考向四：環(huán)繞同一中心天體的星際相距最遠和最近問題1、從相距最近（兩星在中心天體的同側且三星共線）到再次相距最近所需最短8于R, b衛(wèi)星離地面高度為 3R則：（1） a、b兩衛(wèi)星周期之比 Ta：T

13、b是多少a至少經(jīng)過多少個周期兩衛(wèi)星相距最遠（2）若某時刻兩衛(wèi)星正好通過地面同一點的正上方，則2自R (當Fn=0將瓦解)3_GT自2它的密度很大.現(xiàn)有一中子星，觀測到它的自轉考向五：天體的不瓦解問題在赤道處的物體最容易脫離天體 ：GMm FN m R2而M, Tg .故不瓦解的條件是4 R3 自3【例10】中子星是恒星演化過程中的一種可能結果,1、，一 ，一一，一. 一，周期為T= s.問該中子星的最小密度應是多少才能維持該星體的穩(wěn)定，不致因自車t而瓦解（計算時星體30可視為均勻球體，萬有引力常量G= x 10 11m3/ kg - s2）考向六：赤道上、近地衛(wèi)星上、同步衛(wèi)星上的同物比較角速度

14、周期線速度向心加速度向心力赤 道上1自TiT自V1iRa112RF1ma1近 地衛(wèi) 星上:GM2段T2,4 2R3GM/'gm2 RGMv宇 1 a2r21F2ma21g同 步衛(wèi) 星上3自T3-自V33(R h)2 _a33 (R h)F3ma3/ GM4 2(Rh)3/ GMGM3(R h一丁)313 GM3 V R ha3_(R h)同132TiT3T2ViV3V2V宇i aia3a2g Fi F3F2物比較mg【例11如圖，地球赤道上的山丘e,近地資源衛(wèi)星p和同步通信衛(wèi)星q均在赤道平面上繞地心做勻速圓周運動.設e、p、q的圓周運動速率分別為vi、V2、V3,向心加速度分別為ai、a2、a3,則()A. Vi>V2>V3B. vi <V2<V3C. ai>a2>a3D. ai-考向七：萬有引力與拋體運動的綜合(萬有引力與牛頓運動定律的綜合)關鍵是：重力加速度