教研資料高中數(shù)學(xué)平面向量與空間向量

1、平面向量的概念和基本運算1.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：幾何表示法 ；字母表示：a；坐標(biāo)表示法 aj（，）.(3)向量的長度：即向量的大小，記作a.(4)特殊的向量：零向量aOaO.單位向量：aO為單位向量aO1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(1，1)（2，2）(6) 相反向量：a=-bb=-aa+b=0(7)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作ab.平行向量也稱為共線向量.2.向量的運算運算類型幾何方法坐標(biāo)方法運算性質(zhì)向量的加法1.平行四邊形法則2.三角形法則向量的減法三角形法則,數(shù)乘向量1.是一個向量,滿足:2.>0

2、時, 同向;<0時, 異向;=0時, .向量的數(shù)量積是一個數(shù)1.時，.2. 3.重要定理、公式(1)平面向量基本定理e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么，對于這個平面內(nèi)任一向量，有且僅有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2.(2)兩個向量平行的充要條件abab(b0)x1y2=x2y1.(3)兩個向量垂直的充要條件aba·bOx1x2y1y2O.平面向量的數(shù)量積1向量的夾角：已知兩個非零向量與b，作=, =b,則AOB= （）叫做向量與b的夾角。2兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量與b，它們的夾角為，則·b=·bcos其中bcos稱為向量b在方向上的投影

3、3向量的數(shù)量積的性質(zhì)：若=（）,b=（）則e·=·e=cos (e為單位向量);b·b=0（，b為非零向量）;=;cos=4 向量的數(shù)量積的運算律：·b=b·()·b=(·b)=·(b);(b)·c=·c+b·c 定比分點及平移公式1 點分有向線段所成的比的含義2.線段的定比分點公式設(shè)點P分有向線段所成的比為，即，則 (線段的定比分點的向量公式) (線段定比分點的坐標(biāo)公式)當(dāng)1時，得中點公式：（）或3.平移公式設(shè)點P(x，y)按向量a（，）平移后得到點P（x，y），則+a或曲線yf（x

4、）按向量a（，）平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為：yf（x)定比分點坐標(biāo)公式空間向量及運算1空間向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量注：空間的一個平移就是一個向量向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示2空間向量的運算定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算如下運算律：加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：3 共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量平行于記作當(dāng)我們說向量、共線（或/）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線4共線向量定理及

5、其推論：共線向量定理：空間任意兩個向量、（），/的充要條件是存在實數(shù)，使.推論：如果為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量的直線，那么對于任意一點O，點P在直線上的充要條件是存在實數(shù)t滿足等式 其中向量叫做直線的方向向量.5向量與平面平行：已知平面和向量，作，如果直線平行于或在內(nèi)，那么我們說向量平行于平面，記作：通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量說明：空間任意的兩向量都是共面的6共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實數(shù)使推論：空間一點位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使或?qū)臻g任一點，有 式叫做平面的向量表達式7 空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么

6、對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使推論：設(shè)是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)，使8 空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：.9向量的模：設(shè)，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：.10向量的數(shù)量積： 已知向量和軸，是上與同方向的單位向量，作點在上的射影，作點在上的射影，則叫做向量在軸上或在上的正射影. 可以證明的長度11空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： （1）（2）（3）12空間向量數(shù)量積運算律：（1）（2）（交換律）（3）（分配律）空間向量的坐標(biāo)運算（1）空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對應(yīng)為豎坐標(biāo)）.令=(a1,a2,a3),，則 (用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)空間兩點的距離公式：.（2）法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量. （3）用向量的常用方法：利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點B到平面的距離為.利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二