新編基礎(chǔ)物理學(xué)5機械振動

1、習(xí)題五5-1 有一彈簧振子，振幅，周期，初相試寫出它的振動位移、速度和加速度方程。分析 根據(jù)振動的標(biāo)準(zhǔn)形式得出振動方程，通過求導(dǎo)即可求解速度和加速度方程。解：振動方程為：代入有關(guān)數(shù)據(jù)得：振子的速度和加速度分別是：5-2若簡諧振動方程為，求： （1）振幅、頻率、角頻率、周期和初相； （2）t=2s時的位移、速度和加速度.分析 通過與簡諧振動標(biāo)準(zhǔn)方程對比，得出特征參量。解：(1)可用比較法求解.根據(jù) 得：振幅，角頻率，頻率， 周期，（2）時，振動相位為： 由，得 5-3質(zhì)量為的質(zhì)點，按方程沿著x軸振動.求：（1）t=0時，作用于質(zhì)點的力的大??；（2）作用于質(zhì)點的力的最大值和此時質(zhì)點的位置.分析 根

2、據(jù)振動的動力學(xué)特征和已知的簡諧振動方程求解，位移最大時受力最大。解：（1）跟據(jù)，將代入上式中，得： （2）由可知，當(dāng)時，質(zhì)點受力最大，為5-4為了測得一物體的質(zhì)量m，將其掛到一彈簧上并讓其自由振動，測得振動頻率；而當(dāng)將另一已知質(zhì)量為的物體單獨掛到該彈簧上時，測得頻率為.設(shè)振動均在彈簧的彈性限度內(nèi)進(jìn)行，求被測物體的質(zhì)量.分析 根據(jù)簡諧振動頻率公式比較即可。解：由，對于同一彈簧（k相同）采用比較法可得：解得：5-5一放置在水平桌面上的彈簧振子，振幅，周期T=0.5s，當(dāng)t=0時，（1）物體在正方向端點；（2）物體在平衡位置，向負(fù)方向運動；（3）物體在處，向負(fù)方向運動；（4）物體在處，向負(fù)方向運動.

3、求以上各種情況的振動方程。分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量圖由位移和速度確定相位。進(jìn)而得出各種情況的振動方程。解：設(shè)所求振動方程為：由A旋轉(zhuǎn)矢量圖可求出題圖5-5（1）（2）（3）（4）5-6在一輕彈簧下懸掛砝碼時，彈簧伸長8cm.現(xiàn)在這根彈簧下端懸掛的物體，構(gòu)成彈簧振子.將物體從平衡位置向下拉動4cm，并給以向上的21cm/s的初速度（令這時t=0）.選x軸向下，求振動方程.分析 在平衡位置為原點建立坐標(biāo)，由初始條件得出特征參量。解：彈簧的勁度系數(shù)。當(dāng)該彈簧與物體構(gòu)成彈簧振子，起振后將作簡諧振動，可設(shè)其振動方程為：角頻率為代入數(shù)據(jù)后求得以平衡位置為原點建立坐標(biāo)，有：據(jù)得：據(jù)得由于,應(yīng)取于是，所求方程為：5

4、-7 某質(zhì)點振動的x-t曲線如題圖57所示.求：（1）質(zhì)點的振動方程；（2）質(zhì)點到達(dá)P點相應(yīng)位置所需的最短時間.分析 由旋轉(zhuǎn)矢量可以得出相位和角頻率，求出質(zhì)點的振動方程。并根據(jù)P點的相位確定最短時間。題圖5-75-8有一彈簧，當(dāng)下面掛一質(zhì)量為的物體時，伸長量為.若使彈簧上下振動，且規(guī)定向下為正方向.（1）當(dāng)t0時，物體在平衡位置上方，由靜止開始向下運動，求振動方程.(2) 當(dāng)t0時，物體在平衡位置并以0.6m/s的速度向上運動，求振動方程.分析 根據(jù)初始條件求出特征量建立振動方程。解：設(shè)所求振動方程為：其中角頻率，代入數(shù)據(jù)得：（1）以平衡位置為原點建立坐標(biāo)，根據(jù)題意有：據(jù)得：據(jù)得由于0,不妨取

5、于是，所求方程為：（2）以平衡位置為原點建立坐標(biāo)，根據(jù)題意有：據(jù)得：據(jù)得由于,應(yīng)取于是，所求方程為：5-9 一質(zhì)點沿x 軸作簡諧振動，振動方程為，求：從 t=0時刻起到質(zhì)點位置在x=-2cm處，且向x軸正方向運動的最短時間.分析 由旋轉(zhuǎn)矢量圖求得兩點相位差，結(jié)合振動方程中特征量即可確定最短時間。解: 依題意有旋轉(zhuǎn)矢量圖解答圖5-95-10兩個物體同方向作同方向、同頻率、同振幅的簡諧振動，在振動過程中，每當(dāng)?shù)谝粋€物體經(jīng)過位移為的位置向平衡位置運動時，第二個物體也經(jīng)過此位置，但向遠(yuǎn)離平衡位置的方向運動，試?yán)眯D(zhuǎn)矢量法求它們的相位差.分析 由旋轉(zhuǎn)矢量圖求解。根據(jù)運動速度的方向與位移共同確定相位。解

6、：由于、可求得：由于、可求得：如圖5-10所示，相位差：題圖5-10 題圖5-11 題圖5-115-11一簡諧振動的振動曲線如題圖5-11所示，求振動方程.分析 利用旋轉(zhuǎn)矢量圖求解，由圖中兩個確定點求得相位，再根據(jù)時間差求得其角頻率。解：設(shè)所求方程為當(dāng)t=0時：由A旋轉(zhuǎn)矢量圖可得：當(dāng)t=2s時：從x-t圖中可以看出：據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量圖可以看出， 所以，2秒內(nèi)相位的改變量據(jù)可求出：于是：所求振動方程為：5-12 在光滑水平面上,有一作簡諧振動的彈簧振子,彈簧的勁度系數(shù)為K,物體的質(zhì)量為,振幅為A.當(dāng)物體通過平衡位置時,有一質(zhì)量為的泥團豎直落到物體上并與之粘結(jié)在一起.求:（1）和粘結(jié)后,系統(tǒng)的振動周期和

7、振幅;（2）若當(dāng)物體到達(dá)最大位移處,泥團豎直落到物體上,再求系統(tǒng)振動的周期和振幅.分析 系統(tǒng)周期只與系統(tǒng)本身有關(guān)，由質(zhì)量和勁度系數(shù)即可確定周期，而振幅則由系統(tǒng)能量決定，因此需要由動量守恒確定碰撞前后速度，從而由機械能守恒確定其振幅。解:（1）設(shè)物體通過平衡位置時的速度為,則由機械能守恒:當(dāng)豎直落在處于平衡位置上時為完全非彈性碰撞,且水平方向合外力為零,所以此后,系統(tǒng)的振幅變?yōu)?由機械能守恒,有 系統(tǒng)振動的周期為: （2）當(dāng)在最大位移處豎直落在上，碰撞前后系統(tǒng)在水平方向的動量均為零，因而系統(tǒng)的振幅仍為A,周期為.5-13 設(shè)細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量為m,半徑為R,掛在墻上的釘子上.求它微小振動的周期.分析

8、圓環(huán)為一剛體須應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律，而其受力可考慮其質(zhì)心。解: 如圖所示,轉(zhuǎn)軸o在環(huán)上,角量以逆時針為正,則振動方程為解答圖5-13當(dāng)環(huán)作微小擺動時, 514 一輕彈簧在60 N的拉力下伸長30 cm現(xiàn)把質(zhì)量為4 kg的物體懸掛在該彈簧的下端并使之靜止 ，再把物體向下拉10 cm，然后由靜止釋放并開始計時求 (1) 此小物體是停在振動物體上面還是離開它？(2) 物體的振動方程；(3) 物體在平衡位置上方5 cm時彈簧對物體的拉力；(4) 物體從第一次越過平衡位置時刻起到它運動到上方5 cm處所需要的最短時間(5) 如果使放在振動物體上的小物體與振動物體分離，則振幅A需滿足何條件？二者在何位置開始分離？

9、分析 小物體分離的臨界條件是對振動物體壓力為零，即兩物體具有相同的加速度，而小物體此時加速度為重力加速度，因此可根據(jù)兩物體加速度確定分離條件。解： 選平衡位置為原點，取向下為x軸正方向。 由： (1) 小物體受力如圖 設(shè)小物體隨振動物體的加速度為a，按牛頓第二定律有 當(dāng)N = 0，即a = g時，小物體開始脫離振動物體，已知 A = 10 cm， 系統(tǒng)最大加速度為 此值小于g，故小物體不會離開(2) 解以上二式得 振動方程 (3) 物體在平衡位置上方5 cm時，彈簧對物體的拉力 ，而(4) 設(shè)時刻物體在平衡位置，此時，即 此時物體向上運動， 。再設(shè)時物體在平衡位置上方處，此時，即 此時物體向上

10、運動， (5) 如使a > g，小物體能脫離振動物體，開始分離的位置由N = 0求得即在平衡位置上方19.6 cm處開始分離，由，可得 。 5-15在一平板下裝有彈簧，平板上放一質(zhì)量為1.0Kg的重物.現(xiàn)使平板沿豎直方向作上下簡諧振動，周期為0.50s，振幅為，求：（1）平板到最低點時，重物對板的作用力；（2）若頻率不變，則平板以多大的振幅振動時，重物會跳離平板？（3）若振幅不變，則平板以多大的頻率振動時，重物會跳離平板？分析 重物跳離平板的臨界條件是對平板壓力為零。解：重物與平板一起在豎直方向上作簡諧振動，向下為正建立坐標(biāo)，振動方程為：設(shè)平板對重物的作用力為N，于是重物在運動中所受合力

11、為：據(jù)牛頓第三定律，重物對平板的作用力為：（1）在最低點處：,由上式得，（2）頻率不變時，設(shè)振幅變?yōu)?在最高點處（）重物與平板間作用力最小，設(shè)可得：（3）振幅不變時，設(shè)頻率變?yōu)?，在最高點處（）重物與平板間作用力最小，設(shè)可得：5-16一物體沿x軸作簡諧振動，振幅為0.06m，周期為2.0s，當(dāng)t=0時位移為，且向軸正方向運動，求：（1）t=0.5s時，物體的位移、速度和加速度；（2）物體從處向x軸負(fù)方向運動開始，到達(dá)平衡位置，至少需要多少時間？分析 通過旋轉(zhuǎn)矢量法確定兩位置的相位從而得到最小時間。解：設(shè)該物體的振動方程為依題意知：據(jù)得由于,應(yīng)取可得：（1）時，振動相位為：據(jù)得（2）由A旋轉(zhuǎn)矢量圖

12、可知，物體從m處向x軸負(fù)方向運動，到達(dá)平衡位置時，A矢量轉(zhuǎn)過的角度為，該過程所需時間為：題圖5-165-17地球上（設(shè)）有一單擺，擺長為1.0m，最大擺角為，求：（1）擺的角頻率和周期；（2）設(shè)開始時擺角最大，試寫出此擺的振動方程；（3）當(dāng)擺角為時的角速度和擺球的線速度各為多少？分析 由擺角最大的初始條件可直接確定其初相。解：（1） （2）由t=0時，可得振動初相，則以角量表示的振動方程為（3）由，當(dāng)時，有而質(zhì)點運動的角速度為：線速度為：5-18 有一水平的彈簧振子,彈簧的勁度系數(shù)K=25N/m,物體的質(zhì)量m=1.0kg,物體靜止在平衡位置.設(shè)以一水平向左的恒力F=10 N作用在物體上(不計一

13、切摩擦),使之由平衡位置向左運動了0.05m,此時撤除力F,當(dāng)物體運動到最左邊開始計時,求物體的運動方程.分析 恒力做功的能量全部轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)能量，由能量守恒可確定系統(tǒng)的振幅。解: 設(shè)所求方程為題圖5-18因為不計摩擦,外力做的功全轉(zhuǎn)變成系統(tǒng)的能量,故故所求為 5-19如題圖519所示，一質(zhì)點在x軸上作簡諧振動，選取該質(zhì)點向右運動通過A點時作為計時起點( t = 0 )，經(jīng)過2秒后質(zhì)點第一次經(jīng)過B點，再經(jīng)過2秒后質(zhì)點第二次經(jīng)過B點，若已知該質(zhì)點在A、B兩點具有相同的速率，且 = 10 cm求：(1) 質(zhì)點的振動方程；(2) 質(zhì)點在A點處的速率 題圖5-19AB x 分析 由質(zhì)點在A、B兩點具有相

14、同的速率可知A、B兩點在平衡位置兩側(cè)距平衡位置相等距離的位置，再聯(lián)系兩次經(jīng)過B點的時間即可確定系統(tǒng)的周期，而相位可由A、B兩點位置確定。解：由旋轉(zhuǎn)矢量圖和 可知 ,(1)以的中點為坐標(biāo)原點，x軸指向右方 由上二式解得 因為在A點質(zhì)點的速度大于零，所以 振動方程 (2) 速率 當(dāng)t = 0 時，質(zhì)點在A點 5-20一物體放在水平木板上，這木板以的頻率沿水平直線作簡諧振動，物體和水平木板之間的靜摩擦系數(shù)，求物體在木板上不滑動時的最大振幅.分析 物體在木板上不滑動的臨界條件是摩擦力全部用來產(chǎn)生其加速度。5-21在一平板上放一質(zhì)量為的物體，平板在豎直方向作簡諧振動，其振動周期，振幅，求：（1）物體對平

15、板的壓力的表達(dá)式.（2）平板以多大的振幅振動時，物體才能離開平板？分析 首先確定簡諧振動方程，再根據(jù)物體離開平板的臨界位置為最高點，且對平板壓力為零。解：物體與平板一起在豎直方向上作簡諧振動，向下為正建立坐標(biāo)，振動方程為：設(shè)平板對物體的作用力為N，于是物體在運動中所受合力為： （1）據(jù)牛頓第三定律，物體對平板的作用力為：即：（2）當(dāng)頻率不變時，設(shè)振幅變?yōu)?，在最高點處（）物體與平板間作用力最小令可得：5-22一氫原子在分子中的振動可視為簡諧振動.已知氫原子質(zhì)量，振動頻率，振幅.試計算：(1)此氫原子的最大速度；(2)與此振動相聯(lián)系的能量.分析 振動能量可由其最大動能（此時勢能為零）確定。解：(1

16、)最大振動速度： (2)氫原子的振動能量為：5-23 一物體質(zhì)量為0.25Kg，在彈性力作用下作簡諧振動，彈簧的勁度系數(shù)k=25N/m，如果起始振動時具有勢能0.06J和動能0.02J，求：(1)振幅；(2)動能恰等于勢能時的位移；(3)經(jīng)過平衡位置時物體的速度.分析 簡諧振動能量守恒，其能量由振幅決定。解：5-24 一定滑輪的半徑為R，轉(zhuǎn)動慣量為J，其上掛一輕繩，繩的一端系一質(zhì)量為m的物體，另一端與一固定的輕彈簧相連，如題圖524所示.設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，繩與滑輪間無滑動，且忽略軸的摩擦力及空氣阻力.現(xiàn)將物體m從平衡位置拉下一微小距離后放手，證明物體作簡諧振動，并求出其角頻率.分析 由牛頓

17、第二定律和轉(zhuǎn)動定律確定其加速度與位移的關(guān)系即可得到證明。解：取如圖x坐標(biāo),平衡位置為原點O，向下為正，在平衡位置時彈簧已伸長設(shè)在位置，分析受力，這時彈簧伸長由牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動定律列方程：聯(lián)立(1)(2)(3)(4)(5)解得由于系數(shù)為一負(fù)常數(shù)，故物體做簡諧振動，其角頻率為:題圖5-245-25兩個同方向的簡諧振動的振動方程分別為: 求：（1）合振動的振幅和初相；（2）若另有一同方向同頻率的簡諧振動，則為多少時，的振幅最大？又為多少時，的振幅最?。糠治?合振動的振幅由其分振動的相位差決定。解：（1）按合成振動公式代入已知量，可得合振幅及初相為 所以，合振動方程為(2)當(dāng)，即時，的振幅最大.當(dāng)，

18、即時，的振幅最小.5-26有兩個同方向同頻率的振動，其合振動的振幅為，合振動的相位與第一個振動的相位差為，第一個振動的振幅為，求第二個振動的振幅及兩振動的相位差。分析 根據(jù)已知振幅和相位可在矢量三角形中求得振幅。解：采用旋轉(zhuǎn)矢量合成圖求解取第一個振動的初相位為零，則合振動的相位為題圖5-26據(jù)可知,如圖：由于、的量值恰好滿足勾股定理，故與垂直.即第二振動與第一振動的相位差為527一質(zhì)點同時參與兩個同方向的簡諧振動，其振動方程分別為，畫出兩振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖，并求合振動的振動方程. 分析 須將方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程從而確定其特征矢量，畫出矢量圖。解： 作兩振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖，如圖所示.由圖得：合振動的振幅和初相分別為題圖5-27.合振動方程為528將頻率為348Hz的標(biāo)準(zhǔn)音叉和一待測頻率的音叉振動合成，測得拍頻為3.0Hz.若在待測音叉的一端加上一個小物體，則拍頻將減小，求待測音叉的角頻率.分析 質(zhì)量增加頻率將會減小，根據(jù)拍頻減少可推知兩個頻率的關(guān)系。解：由拍頻公式可知：在待測音叉的一端加上一個小物體，待測音叉的頻率會減少，若拍頻也隨之減小，則說明>,于是可求得：5-29一物體懸掛在彈簧下作簡諧振動，開始時其振幅為0.12m，經(jīng)144s后振幅減為0.06m.問：(1)阻尼系數(shù)是多少？ (2)如振幅減至0.03m，需要經(jīng)過多少時間？分析 由阻尼振動振幅隨時間的變化規(guī)