新編基礎(chǔ)物理學(xué)5機(jī)械振動(dòng)

1、習(xí)題五5-1 有一彈簧振子，振幅，周期，初相試寫出它的振動(dòng)位移、速度和加速度方程。分析 根據(jù)振動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)形式得出振動(dòng)方程，通過求導(dǎo)即可求解速度和加速度方程。解：振動(dòng)方程為：代入有關(guān)數(shù)據(jù)得：振子的速度和加速度分別是：5-2若簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程為，求： （1）振幅、頻率、角頻率、周期和初相； （2）t=2s時(shí)的位移、速度和加速度.分析 通過與簡(jiǎn)諧振動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)比，得出特征參量。解：(1)可用比較法求解.根據(jù) 得：振幅，角頻率，頻率， 周期，（2）時(shí)，振動(dòng)相位為： 由，得 5-3質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，按方程沿著x軸振動(dòng).求：（1）t=0時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大??；（2）作用于質(zhì)點(diǎn)的力的最大值和此時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置.分析 根

2、據(jù)振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征和已知的簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程求解，位移最大時(shí)受力最大。解：（1）跟據(jù)，將代入上式中，得： （2）由可知，當(dāng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)受力最大，為5-4為了測(cè)得一物體的質(zhì)量m，將其掛到一彈簧上并讓其自由振動(dòng)，測(cè)得振動(dòng)頻率；而當(dāng)將另一已知質(zhì)量為的物體單獨(dú)掛到該彈簧上時(shí)，測(cè)得頻率為.設(shè)振動(dòng)均在彈簧的彈性限度內(nèi)進(jìn)行，求被測(cè)物體的質(zhì)量.分析 根據(jù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率公式比較即可。解：由，對(duì)于同一彈簧（k相同）采用比較法可得：解得：5-5一放置在水平桌面上的彈簧振子，振幅，周期T=0.5s，當(dāng)t=0時(shí)，（1）物體在正方向端點(diǎn)；（2）物體在平衡位置，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；（3）物體在處，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；（4）物體在處，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng).

3、求以上各種情況的振動(dòng)方程。分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量圖由位移和速度確定相位。進(jìn)而得出各種情況的振動(dòng)方程。解：設(shè)所求振動(dòng)方程為：由A旋轉(zhuǎn)矢量圖可求出題圖5-5（1）（2）（3）（4）5-6在一輕彈簧下懸掛砝碼時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)8cm.現(xiàn)在這根彈簧下端懸掛的物體，構(gòu)成彈簧振子.將物體從平衡位置向下拉動(dòng)4cm，并給以向上的21cm/s的初速度（令這時(shí)t=0）.選x軸向下，求振動(dòng)方程.分析 在平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)，由初始條件得出特征參量。解：彈簧的勁度系數(shù)。當(dāng)該彈簧與物體構(gòu)成彈簧振子，起振后將作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可設(shè)其振動(dòng)方程為：角頻率為代入數(shù)據(jù)后求得以平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)，有：據(jù)得：據(jù)得由于,應(yīng)取于是，所求方程為：5

4、-7 某質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的x-t曲線如題圖57所示.求：（1）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；（2）質(zhì)點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)相應(yīng)位置所需的最短時(shí)間.分析 由旋轉(zhuǎn)矢量可以得出相位和角頻率，求出質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。并根據(jù)P點(diǎn)的相位確定最短時(shí)間。題圖5-75-8有一彈簧，當(dāng)下面掛一質(zhì)量為的物體時(shí)，伸長(zhǎng)量為.若使彈簧上下振動(dòng)，且規(guī)定向下為正方向.（1）當(dāng)t0時(shí)，物體在平衡位置上方，由靜止開始向下運(yùn)動(dòng)，求振動(dòng)方程.(2) 當(dāng)t0時(shí)，物體在平衡位置并以0.6m/s的速度向上運(yùn)動(dòng)，求振動(dòng)方程.分析 根據(jù)初始條件求出特征量建立振動(dòng)方程。解：設(shè)所求振動(dòng)方程為：其中角頻率，代入數(shù)據(jù)得：（1）以平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)，根據(jù)題意有：據(jù)得：據(jù)得由于0,不妨取

5、于是，所求方程為：（2）以平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)，根據(jù)題意有：據(jù)得：據(jù)得由于,應(yīng)取于是，所求方程為：5-9 一質(zhì)點(diǎn)沿x 軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為，求：從 t=0時(shí)刻起到質(zhì)點(diǎn)位置在x=-2cm處，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間.分析 由旋轉(zhuǎn)矢量圖求得兩點(diǎn)相位差，結(jié)合振動(dòng)方程中特征量即可確定最短時(shí)間。解: 依題意有旋轉(zhuǎn)矢量圖解答圖5-95-10兩個(gè)物體同方向作同方向、同頻率、同振幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，在振動(dòng)過程中，每當(dāng)?shù)谝粋€(gè)物體經(jīng)過位移為的位置向平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，第二個(gè)物體也經(jīng)過此位置，但向遠(yuǎn)離平衡位置的方向運(yùn)動(dòng)，試?yán)眯D(zhuǎn)矢量法求它們的相位差.分析 由旋轉(zhuǎn)矢量圖求解。根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度的方向與位移共同確定相位。解

6、：由于、可求得：由于、可求得：如圖5-10所示，相位差：題圖5-10 題圖5-11 題圖5-115-11一簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如題圖5-11所示，求振動(dòng)方程.分析 利用旋轉(zhuǎn)矢量圖求解，由圖中兩個(gè)確定點(diǎn)求得相位，再根據(jù)時(shí)間差求得其角頻率。解：設(shè)所求方程為當(dāng)t=0時(shí)：由A旋轉(zhuǎn)矢量圖可得：當(dāng)t=2s時(shí)：從x-t圖中可以看出：據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量圖可以看出， 所以，2秒內(nèi)相位的改變量據(jù)可求出：于是：所求振動(dòng)方程為：5-12 在光滑水平面上,有一作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的彈簧振子,彈簧的勁度系數(shù)為K,物體的質(zhì)量為,振幅為A.當(dāng)物體通過平衡位置時(shí),有一質(zhì)量為的泥團(tuán)豎直落到物體上并與之粘結(jié)在一起.求:（1）和粘結(jié)后,系統(tǒng)的振動(dòng)周期和

7、振幅;（2）若當(dāng)物體到達(dá)最大位移處,泥團(tuán)豎直落到物體上,再求系統(tǒng)振動(dòng)的周期和振幅.分析 系統(tǒng)周期只與系統(tǒng)本身有關(guān)，由質(zhì)量和勁度系數(shù)即可確定周期，而振幅則由系統(tǒng)能量決定，因此需要由動(dòng)量守恒確定碰撞前后速度，從而由機(jī)械能守恒確定其振幅。解:（1）設(shè)物體通過平衡位置時(shí)的速度為,則由機(jī)械能守恒:當(dāng)豎直落在處于平衡位置上時(shí)為完全非彈性碰撞,且水平方向合外力為零,所以此后,系統(tǒng)的振幅變?yōu)?由機(jī)械能守恒,有 系統(tǒng)振動(dòng)的周期為: （2）當(dāng)在最大位移處豎直落在上，碰撞前后系統(tǒng)在水平方向的動(dòng)量均為零，因而系統(tǒng)的振幅仍為A,周期為.5-13 設(shè)細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量為m,半徑為R,掛在墻上的釘子上.求它微小振動(dòng)的周期.分析

8、圓環(huán)為一剛體須應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，而其受力可考慮其質(zhì)心。解: 如圖所示,轉(zhuǎn)軸o在環(huán)上,角量以逆時(shí)針為正,則振動(dòng)方程為解答圖5-13當(dāng)環(huán)作微小擺動(dòng)時(shí), 514 一輕彈簧在60 N的拉力下伸長(zhǎng)30 cm現(xiàn)把質(zhì)量為4 kg的物體懸掛在該彈簧的下端并使之靜止 ，再把物體向下拉10 cm，然后由靜止釋放并開始計(jì)時(shí)求 (1) 此小物體是停在振動(dòng)物體上面還是離開它？(2) 物體的振動(dòng)方程；(3) 物體在平衡位置上方5 cm時(shí)彈簧對(duì)物體的拉力；(4) 物體從第一次越過平衡位置時(shí)刻起到它運(yùn)動(dòng)到上方5 cm處所需要的最短時(shí)間(5) 如果使放在振動(dòng)物體上的小物體與振動(dòng)物體分離，則振幅A需滿足何條件？二者在何位置開始分離？

9、分析 小物體分離的臨界條件是對(duì)振動(dòng)物體壓力為零，即兩物體具有相同的加速度，而小物體此時(shí)加速度為重力加速度，因此可根據(jù)兩物體加速度確定分離條件。解： 選平衡位置為原點(diǎn)，取向下為x軸正方向。 由： (1) 小物體受力如圖 設(shè)小物體隨振動(dòng)物體的加速度為a，按牛頓第二定律有 當(dāng)N = 0，即a = g時(shí)，小物體開始脫離振動(dòng)物體，已知 A = 10 cm， 系統(tǒng)最大加速度為 此值小于g，故小物體不會(huì)離開(2) 解以上二式得 振動(dòng)方程 (3) 物體在平衡位置上方5 cm時(shí)，彈簧對(duì)物體的拉力 ，而(4) 設(shè)時(shí)刻物體在平衡位置，此時(shí)，即 此時(shí)物體向上運(yùn)動(dòng)， 。再設(shè)時(shí)物體在平衡位置上方處，此時(shí)，即 此時(shí)物體向上

10、運(yùn)動(dòng)， (5) 如使a > g，小物體能脫離振動(dòng)物體，開始分離的位置由N = 0求得即在平衡位置上方19.6 cm處開始分離，由，可得 。 5-15在一平板下裝有彈簧，平板上放一質(zhì)量為1.0Kg的重物.現(xiàn)使平板沿豎直方向作上下簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為0.50s，振幅為，求：（1）平板到最低點(diǎn)時(shí)，重物對(duì)板的作用力；（2）若頻率不變，則平板以多大的振幅振動(dòng)時(shí)，重物會(huì)跳離平板？（3）若振幅不變，則平板以多大的頻率振動(dòng)時(shí)，重物會(huì)跳離平板？分析 重物跳離平板的臨界條件是對(duì)平板壓力為零。解：重物與平板一起在豎直方向上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，向下為正建立坐標(biāo)，振動(dòng)方程為：設(shè)平板對(duì)重物的作用力為N，于是重物在運(yùn)動(dòng)中所受合力

11、為：據(jù)牛頓第三定律，重物對(duì)平板的作用力為：（1）在最低點(diǎn)處：,由上式得，（2）頻率不變時(shí)，設(shè)振幅變?yōu)?在最高點(diǎn)處（）重物與平板間作用力最小，設(shè)可得：（3）振幅不變時(shí)，設(shè)頻率變?yōu)椋谧罡唿c(diǎn)處（）重物與平板間作用力最小，設(shè)可得：5-16一物體沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為0.06m，周期為2.0s，當(dāng)t=0時(shí)位移為，且向軸正方向運(yùn)動(dòng)，求：（1）t=0.5s時(shí)，物體的位移、速度和加速度；（2）物體從處向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)開始，到達(dá)平衡位置，至少需要多少時(shí)間？分析 通過旋轉(zhuǎn)矢量法確定兩位置的相位從而得到最小時(shí)間。解：設(shè)該物體的振動(dòng)方程為依題意知：據(jù)得由于,應(yīng)取可得：（1）時(shí)，振動(dòng)相位為：據(jù)得（2）由A旋轉(zhuǎn)矢量圖

12、可知，物體從m處向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)平衡位置時(shí)，A矢量轉(zhuǎn)過的角度為，該過程所需時(shí)間為：題圖5-165-17地球上（設(shè)）有一單擺，擺長(zhǎng)為1.0m，最大擺角為，求：（1）擺的角頻率和周期；（2）設(shè)開始時(shí)擺角最大，試寫出此擺的振動(dòng)方程；（3）當(dāng)擺角為時(shí)的角速度和擺球的線速度各為多少？分析 由擺角最大的初始條件可直接確定其初相。解：（1） （2）由t=0時(shí)，可得振動(dòng)初相，則以角量表示的振動(dòng)方程為（3）由，當(dāng)時(shí)，有而質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度為：線速度為：5-18 有一水平的彈簧振子,彈簧的勁度系數(shù)K=25N/m,物體的質(zhì)量m=1.0kg,物體靜止在平衡位置.設(shè)以一水平向左的恒力F=10 N作用在物體上(不計(jì)一

13、切摩擦),使之由平衡位置向左運(yùn)動(dòng)了0.05m,此時(shí)撤除力F,當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到最左邊開始計(jì)時(shí),求物體的運(yùn)動(dòng)方程.分析 恒力做功的能量全部轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)能量，由能量守恒可確定系統(tǒng)的振幅。解: 設(shè)所求方程為題圖5-18因?yàn)椴挥?jì)摩擦,外力做的功全轉(zhuǎn)變成系統(tǒng)的能量,故故所求為 5-19如題圖519所示，一質(zhì)點(diǎn)在x軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)通過A點(diǎn)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)( t = 0 )，經(jīng)過2秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過B點(diǎn)，再經(jīng)過2秒后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過B點(diǎn)，若已知該質(zhì)點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)具有相同的速率，且 = 10 cm求：(1) 質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；(2) 質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)處的速率 題圖5-19AB x 分析 由質(zhì)點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)具有相

14、同的速率可知A、B兩點(diǎn)在平衡位置兩側(cè)距平衡位置相等距離的位置，再聯(lián)系兩次經(jīng)過B點(diǎn)的時(shí)間即可確定系統(tǒng)的周期，而相位可由A、B兩點(diǎn)位置確定。解：由旋轉(zhuǎn)矢量圖和 可知 ,(1)以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸指向右方 由上二式解得 因?yàn)樵贏點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的速度大于零，所以 振動(dòng)方程 (2) 速率 當(dāng)t = 0 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn) 5-20一物體放在水平木板上，這木板以的頻率沿水平直線作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，物體和水平木板之間的靜摩擦系數(shù)，求物體在木板上不滑動(dòng)時(shí)的最大振幅.分析 物體在木板上不滑動(dòng)的臨界條件是摩擦力全部用來產(chǎn)生其加速度。5-21在一平板上放一質(zhì)量為的物體，平板在豎直方向作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)周期，振幅，求：（1）物體對(duì)平

15、板的壓力的表達(dá)式.（2）平板以多大的振幅振動(dòng)時(shí)，物體才能離開平板？分析 首先確定簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程，再根據(jù)物體離開平板的臨界位置為最高點(diǎn)，且對(duì)平板壓力為零。解：物體與平板一起在豎直方向上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，向下為正建立坐標(biāo)，振動(dòng)方程為：設(shè)平板對(duì)物體的作用力為N，于是物體在運(yùn)動(dòng)中所受合力為： （1）據(jù)牛頓第三定律，物體對(duì)平板的作用力為：即：（2）當(dāng)頻率不變時(shí)，設(shè)振幅變?yōu)?，在最高點(diǎn)處（）物體與平板間作用力最小令可得：5-22一氫原子在分子中的振動(dòng)可視為簡(jiǎn)諧振動(dòng).已知?dú)湓淤|(zhì)量，振動(dòng)頻率，振幅.試計(jì)算：(1)此氫原子的最大速度；(2)與此振動(dòng)相聯(lián)系的能量.分析 振動(dòng)能量可由其最大動(dòng)能（此時(shí)勢(shì)能為零）確定。解：(1

16、)最大振動(dòng)速度： (2)氫原子的振動(dòng)能量為：5-23 一物體質(zhì)量為0.25Kg，在彈性力作用下作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，彈簧的勁度系數(shù)k=25N/m，如果起始振動(dòng)時(shí)具有勢(shì)能0.06J和動(dòng)能0.02J，求：(1)振幅；(2)動(dòng)能恰等于勢(shì)能時(shí)的位移；(3)經(jīng)過平衡位置時(shí)物體的速度.分析 簡(jiǎn)諧振動(dòng)能量守恒，其能量由振幅決定。解：5-24 一定滑輪的半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，其上掛一輕繩，繩的一端系一質(zhì)量為m的物體，另一端與一固定的輕彈簧相連，如題圖524所示.設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，繩與滑輪間無滑動(dòng)，且忽略軸的摩擦力及空氣阻力.現(xiàn)將物體m從平衡位置拉下一微小距離后放手，證明物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求出其角頻率.分析 由牛頓

17、第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律確定其加速度與位移的關(guān)系即可得到證明。解：取如圖x坐標(biāo),平衡位置為原點(diǎn)O，向下為正，在平衡位置時(shí)彈簧已伸長(zhǎng)設(shè)在位置，分析受力，這時(shí)彈簧伸長(zhǎng)由牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程：聯(lián)立(1)(2)(3)(4)(5)解得由于系數(shù)為一負(fù)常數(shù)，故物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其角頻率為:題圖5-245-25兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程分別為: 求：（1）合振動(dòng)的振幅和初相；（2）若另有一同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則為多少時(shí)，的振幅最大？又為多少時(shí)，的振幅最??？分析 合振動(dòng)的振幅由其分振動(dòng)的相位差決定。解：（1）按合成振動(dòng)公式代入已知量，可得合振幅及初相為 所以，合振動(dòng)方程為(2)當(dāng)，即時(shí)，的振幅最大.當(dāng)，

18、即時(shí)，的振幅最小.5-26有兩個(gè)同方向同頻率的振動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為，合振動(dòng)的相位與第一個(gè)振動(dòng)的相位差為，第一個(gè)振動(dòng)的振幅為，求第二個(gè)振動(dòng)的振幅及兩振動(dòng)的相位差。分析 根據(jù)已知振幅和相位可在矢量三角形中求得振幅。解：采用旋轉(zhuǎn)矢量合成圖求解取第一個(gè)振動(dòng)的初相位為零，則合振動(dòng)的相位為題圖5-26據(jù)可知,如圖：由于、的量值恰好滿足勾股定理，故與垂直.即第二振動(dòng)與第一振動(dòng)的相位差為527一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程分別為，畫出兩振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，并求合振動(dòng)的振動(dòng)方程. 分析 須將方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程從而確定其特征矢量，畫出矢量圖。解： 作兩振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，如圖所示.由圖得：合振動(dòng)的振幅和初相分別為題圖5-27.合振動(dòng)方程為528將頻率為348Hz的標(biāo)準(zhǔn)音叉和一待測(cè)頻率的音叉振動(dòng)合成，測(cè)得拍頻為3.0Hz.若在待測(cè)音叉的一端加上一個(gè)小物體，則拍頻將減小，求待測(cè)音叉的角頻率.分析 質(zhì)量增加頻率將會(huì)減小，根據(jù)拍頻減少可推知兩個(gè)頻率的關(guān)系。解：由拍頻公式可知：在待測(cè)音叉的一端加上一個(gè)小物體，待測(cè)音叉的頻率會(huì)減少，若拍頻也隨之減小，則說明>,于是可求得：5-29一物體懸掛在彈簧下作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，開始時(shí)其振幅為0.12m，經(jīng)144s后振幅減為0.06m.問：(1)阻尼系數(shù)是多少？ (2)如振幅減至0.03m，需要經(jīng)過多少時(shí)間？分析 由阻尼振動(dòng)振幅隨時(shí)間的變化規(guī)