數(shù)學(xué)物理方程公式總結(jié)

1、無限長弦的一般強(qiáng)迫振動(dòng)定解問題解三維空間的自由振動(dòng)的波動(dòng)方程定解問題在球坐標(biāo)變換 (r=at)無界三維空間自由振動(dòng)的泊松公式二維空間的自由振動(dòng)的波動(dòng)方程定解問題傅立葉變換 基本性質(zhì) 若則 拉普拉斯變換 基本性質(zhì) 三個(gè)格林公式高斯公式：設(shè)空間區(qū)域V是由分片光滑的閉曲面S所圍成，函數(shù)P,Q,R在V上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則：或第一格林公式 設(shè)u(x,y,z),V(x,y,z)在SSV上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，它們?cè)赩中有二階偏導(dǎo)，則：第二格林公式設(shè)u(x,y,z),V(x,y,z)在SSV上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，它們?cè)赩中有二階偏導(dǎo)，則：第三格林公式設(shè)M0，M是V中的點(diǎn)，v(M)=1/rMM0, u(x,y,

2、z)滿足第一格林公式條件，則有： 定理1：泊松方程洛平問題 的解為： 推論1：拉氏方程洛平問題 的解為： 調(diào)和函數(shù)1、定義：如果函數(shù)u(x,y,z)滿足:(1) 在具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；(2) 稱u為V上的調(diào)和函數(shù)。 2、調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)。 性質(zhì)1 設(shè) u(x,y,z) 是區(qū)域 V 上的調(diào)和函數(shù)，則有 推論2：拉氏牛曼問題（牛曼問題解不穩(wěn)定沒有得到公式解）有解的充分必要條件是：性質(zhì)2 設(shè)u(x,y,z) 是區(qū)域V上的調(diào)和函數(shù)，則有 :性質(zhì)3 : 設(shè)u(x,y,z)是區(qū)域V 上的調(diào)和函數(shù)，則在球心的值等于它在球面上的算術(shù)平均值，即: 其中SR是以M0為球心,R為半徑的球面 三維空間中狄氏問題格林函數(shù)

3、 泊松方程狄氏問題為：其中：如果G(M,M0)滿足： 則可得泊松方程狄氏解定理定理：泊松方程狄氏解為： 其中G(M,M0)滿足： 推論：拉氏方程狄氏解為：平面中的三個(gè)格林公式首先證明一個(gè)定理： 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，且f(x,y)在D上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，n為曲線的外法線方向，則：(1) 第一格林公式設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，且u(x,y),v(x,y)在D上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，n為曲線的外法線方向，則：(2) 第二格林公式(3) 第三格林公式設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，且u(x,y)在D上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，n為曲線的外法線方向，令： 定理：平面泊松方程洛平問題 的解為：

4、 推論：平面拉氏方程洛平問題 的解為： 定理：平面泊松方程狄氏問題的解為： 推論：平面拉氏方程狄氏解為：平面狄氏格林函數(shù) 特殊區(qū)域上狄氏問題格林函數(shù)1球形域內(nèi)狄氏問題格林函數(shù) 格林函數(shù)為： 其中： 球域內(nèi)狄式問題的解 其中：球域上狄氏問題的解的球坐標(biāo)表達(dá)式所以：2上半空間狄氏問題的Green函數(shù) 所以上半空間泊松方程狄氏問題的解為： 上半空間拉氏方程狄氏問題的解為： 3上半平面狄氏問題的Green函數(shù) 上半平面上泊松方程狄氏解上半平面上拉氏方程狄氏解4圓域上泊松與拉氏方程狄氏解的GREEN函數(shù) 圓域上泊松與拉氏方程狄氏解5第一象限上狄氏問題的Green函數(shù)三種典型方程的基本解問題1 泊松方程的

5、基本解方程的解稱為泊松方程的基本解。三維空間泊松方程的基本解平面泊松方程基本解為：特解應(yīng)該為基本解與函數(shù)f的卷積2熱傳導(dǎo)方程柯西問題基本解定解問題：的解，稱為定解問題的基本解。基本解為：定解為基本解與初始函數(shù)的卷積3熱傳導(dǎo)方程混合問題基本解定解問題的解稱為定解問題的基本解定解與基本解的關(guān)系為4波動(dòng)方程柯西問題基本解定解問題的解稱為定解問題的基本解基本解為：定解與基本解的關(guān)系為：貝塞爾函數(shù) 正、負(fù)n階第一類貝塞爾函數(shù) 第二類Bessel函數(shù)Bessel函數(shù)的母函數(shù)當(dāng)x為實(shí)數(shù)時(shí)可得Bessel函數(shù)的積分表達(dá)式 當(dāng)n為整數(shù)時(shí)： 貝塞爾函數(shù)的遞推公式 n 階整數(shù)階貝塞爾函數(shù)有： 貝塞爾函數(shù)的正交性 貝塞爾函數(shù)系 定義：定積分：稱為貝塞爾函數(shù)的模。 2、貝塞爾級(jí)數(shù)展開定理定理：設(shè)在區(qū)間0,R上至多有有限個(gè)跳躍間斷點(diǎn)，則f(x)在(0,R)連續(xù)點(diǎn)處的貝塞爾級(jí)數(shù)收斂與該點(diǎn)的函數(shù)值，在間斷點(diǎn)處收斂于該點(diǎn)左右極限的平均值 其中 勒讓德方程 考慮球域內(nèi)拉氏方程定解問題在球坐標(biāo)系下勒讓德方程 令， 取m=0時(shí)得 勒讓德多項(xiàng)式當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)n次第一類勒讓德多項(xiàng)式 勒讓德多項(xiàng)式的羅得利克公式 勒讓德多項(xiàng)式的積分表達(dá)式 勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù) 勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式(重點(diǎn)) （n