北大附中高考數(shù)學專題復習直線與平面練習

1、學科：數(shù)學教學內(nèi)容：直線與平面綜合能力訓練【綜合能力訓練】一、選擇題1.如圖7-20，點P、Q、R、S分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的一個圖是（ ）2.如圖7-21，正方體ABCDA1B1C1D1中，EF為異面直線A1D和AC的公垂線，則直線EF與BD1的關系是（ ）A.異面直線B.平行C.相交且垂直D.相交且不垂直3.有三個命題：垂直于同一個平面的兩條直線平行；過平面的一條斜線l有且僅有一個平面與垂直；異面直線a、b不垂直，那么過a的任一個平面與b都不垂直。其中正確命題的個數(shù)為（ ）A.0B.1C.2D.34.a、b是異面直線，以下面四個命題，正確命題

2、的個數(shù)是（ ）過a至少有一個平面平行于b過a至少有一個平面垂直于b至多有一條直線與a、b都垂直至少有一個平面分別與a、b都平行A.0B.1C.2D.35.對于已知直線a，如果直線b同時滿足下列三個條件：（1）與a是異面直線；（2）與a所成的角為定值；（3）與a的距離為定值d。那么，這樣的直線b有（ ）A.1條B.2條C.3條D.無數(shù)條6.如圖7-22，點P在正方形ABCD所在的平面外，PD平面ABCD，PD=AD，則PA與BD所成角的度數(shù)為（ ）A.30°B.45°C.60°D.90° 7.如圖7-23，四棱錐PABCD的底面ABCD是一個正方形，PD垂

3、直于ABCD，則這個四棱錐的五個面中，互相垂直的平面共有（ ）A.3對B.4對C.5對D.6對8.設有不同的直線a、b和不同的平面、，給出下列三個命題：若a,b,則ab。若a,a，則。若，則。其中正確的個數(shù)是（ ）A.0B.1C.2D.39.若有平面與，且= l, ，P，P l，則下列命題中的假命題為（ ）A.過點P且垂直于的直線平行于B.過點P且垂直于l的平面垂直于C.過點P且垂直于的直線在內(nèi)D.過點P且垂直于l的直線在內(nèi)10.過正方形ABCD的頂點A作線段AA平面ABCD。若AA=AB，則平面AAB與平面ACD所成角的度數(shù)是（ ）A.30°B.45°C.60°

4、D.90°11.已知相交直線l、m都在平面內(nèi)，并且都不在平面內(nèi)，若命題p：l、m中至少有一條與相交；命題q: 與相交，則p是q的（ ）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.不充分也不必要條件12.如圖7-24，PAO所在平面，AB為底面圓的直徑，C為下底面圓周上一點，CAB=，PBA=，CPB=，則（ ）A.cos·sin=sinB.sin·sin=sinC.cos·cos=cosD.cos·sin=cos二、填空題13.將正方形ABCD沿對角線AC折成直二面角后，異面直線AB與CD所成角的大小是。14.在平面內(nèi)有一個正三

5、角形ABC，以BC邊為軸把ABC旋轉(zhuǎn)角，（0，），得到ABC，當=時，ABC在平面內(nèi)的射影是直角三角形。15.已知，正方體ABCDA1B1C1D1，過點A作截面，使正方體的12條棱所在直線與截面所成的角皆相等，試寫出滿足這樣條件的一個截面（注：只需任意寫一個）。16.如圖7-25，P是四邊形ABCD所在平面外一點，O是AC與BD的交點，且PO平面ABCD。當四邊形ABCD具有條件時，點P到四邊形四條邊的距離相等。（注：填上你認為正確的一種條件即可。不必考慮所有可能的情況。）三、解答題17.在如圖7-26所示的三棱錐PABC中，PA平面ABC，PA=AC=1，PC=BC，PB和平面ABC所成的角

6、為30°。（1）求證：平面PBC平面PAC；（2）比較三個側(cè)面的面積的算術(shù)平均數(shù)與底面積數(shù)值的大?。唬?）求AB的中點M到直線PC的距離。18.如圖7-27，在長方體ABCDA1B1C1D1中，點E、F分別在BB1、DD1上，且AEA1B，AFA1D。（1）求證：A1C平面AEF；（2）若規(guī)定兩個平面所成的角是這兩個平面所組成的二面角中的銳角（或直角），則在空間中有定理：若兩條直線分別垂直于兩個平面，則這兩條直線所成的角與兩個平面所成的角相等）試根據(jù)上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5時，求平面AEF與平面D1B1BD所成的角的大小。（用反三角函數(shù)值表示）19.已知邊長為a的正

7、三角形ABC的中線AF與中位線DE相交于G（如圖7-28），將此三角形沿DE折成二面角ADEB。（1）求證：平面AGF平面BCED；（2）當二面角ADEB為多大時，異面直線AE與BD互相垂直？證明你的結(jié)論。20.如圖7-29，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，BAD=60°，AB=4，AD=2，側(cè)棱PB=，PD=。（1）求證：BD平面PAD；（2）若PD與底面ABCD成60°的角，試求二面角PBCA的大小。21.如圖7-30，已知VC是ABC所在平面的一條斜線，點N是V在平面ABC上的射影，且N位于ABC的高CD上。AB=a,VC與AB之間的距離為h，MVC。

8、（1）證明MDC是二面角MABC的平面角；（2）當MDC=CVN時，證明VC平面AMB；（3）若MDC=CVN=（0<<），求四面體MABC的體積。22.如圖7-31，已知矩形ABCD，AB=2AD=2a,E是CD邊的中點，以AE為棱，將DAE向上折起，將D變到D的位置，使面DAE與面ABCE成直二面角（圖7-32）。（1）求直線DB與平面ABCE所成的角的正切值；（2）求證：ADBE；（3）求四棱錐DABCE的體積；（4）求異面直線AD與BC所成的角。參考答案【綜合能力訓練】1.C 2.B 3.D 4.C 5.D 6.C 7.C 8.A 9.D 10.B 11.C 12.A13.

9、 14.arccos 15.截面AB1D1，或截面ACD1，或截面AB1C16.ABCD 是正方形；ABCD是圓的外切四邊形；ABCD是菱形；AB=BC=CD=DA等。17.解 （1）由已知PA平面ABC，PA=AC=1，得PAC為等腰直角三角形，PC=CB=。在RtPAB中，PBA=30°，PB=2，PCB為等腰直角三角形。PA平面ABC， ACBC，又ACPC=C，PCBC，BC平面PAC，BC平面PBC，平面PBC平面PAC。（2）三個側(cè)面及底面都是直角三角形，求得側(cè)面PAC的面積為，側(cè)面PAB面積值為，側(cè)面PCB面積值為1，底面積值為。三個側(cè)面面積的算術(shù)平均數(shù)為。-=，其中3

10、+- 3=（3-2）+（-）=（-）+（-）>0,三個側(cè)面面積的算術(shù)平均數(shù)大于底面積的數(shù)值。（3）如圖，過M作MDAC，垂足為D。平面PAC平面ABC且相交于AC，MD平面PAC。過D作DEPC，垂足為E，連結(jié)ME，則DE是ME在平面PBC上的射影，DEPC，MEPC，ME的長度即是M到PC的距離。在RtABC中,MDBC，MD=BC=。在等腰RtPAC中，DE=DCsin45°=，ME=，即點M到PC的距離為 。18.（1）證：因為CB平面A1B，所以A1C在平面A1B上的射影為A1B，由A1BAE，AEA1B，得A1CAE。同理可證A1CAF。因為A1CAF，A1CAE又A

11、FAE=A，所以A1C平面AEF。（2）解 過A作BD的垂線交CD于G，因為D1DAG，所以AG平面D1B1BD。設AG與A1C所成的角為，則由定理知即為平面AEF與平面D1B1BD所成的角。由已知，計算得DG=，如圖建立直角坐標系，則得點及向量：A(0,0,0),G(，3，0)，A1(0,0,5),C(4,3,0),=（,3,0）, =（4,3,-5）。因為AG與A1C所成的角為，所以cos=,=arccos。即平面AEF與平面CEF所成角的大小為arccos。注：本題也可利用“平行轉(zhuǎn)移法”求AG與A1C所成的角。19.解 （1）ABC是正三角形，AF是BC邊的中線，AFBC。又D、E分別是

12、AB、AC的中點，DEBC。AFDE，又AFDE=G，AGDE，GFDE，DE平面AFG，又DE平面BCED，平面AFG平面BCED。（2）AGDE，GFDE，AGF是二面角ADEB的平面角。平面AGF平面BCED=AF，作AHAG于H ，AH平面BCED。假設AEBD，連EH并延長AD于Q，則EQAD。AGDE，H是正三角形ADE的重心，也是中心。AD=DE=AE=，AG=AG=a,HG=AG=a。在RtAHG中，cosAGH=.AGF =-AGH,cosAGF= -，AGF=arcos(-)，即當AGF=arcos(-)時，AEBD。20.解 （1）由已知AB=4，AD=2，BAD=60&

13、#176;，得BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos60° =4+16-2×2×4×=12。AB2=AD2+BD2，ABD是直角三角形，ADB=90°，即ADBD。在PDB中，PD=，PB=，BD=，PB2=PD2+BD2，故得PDBD。又PDAD=D，BD平面PAD。（2）BD平面PAD，BD平面ABCD，平面PAD平面ABCD。作PEAD于E，又PE平面PAD，PE平面ABCD，PDE是PD與底面BCD所成的角，PDE=60°，PE=PDsin60°=·=。作EFBC于F，連PF，則PFBC，PF

14、E是二面角PBCA的平面角。又EF=BD=，在RtPEF中，tanPFE=。故二面角PBCA的大小為arctan。21.解 （1）由已知，VN平面ABC，NCD，AB平面ABC，得VNAB。又CDAB，DCVN=NAB平面VNC。又V、M、N、D都在VNC所在平面內(nèi)，所以，DM與VN必相交，且ABDM，ABCD，MDC為二面角MABC的平面角。（2）由已知，MDC=CVN，在VNC與DMC中，NCV=MCD，且VNC=90°，DMC=VNC=90°，故有DMVC。又ABVC，VC平面AMB。（3）由（1）、（2）得MDAB，MDVC，且DAB，MVC，MD=h。又MDC=.

15、在RtMDC中，CM=h·tan。V四面體MABC=V三棱錐CABM=CM·SABM=h·tan·ah=ah2tan22.解 （1）DAEB是直二面角，平面DAE平面ABCE。作DOAE于O，連 OB，DO平面ABCE。DBO是直線DB與平面ABCE所成的角。DA=DE=a，且DOAE于O，ADE=90°O是AE的中點，AO=OE=DO=a, DAE=BAO=45°。在OAB中，OB=a。在直角DOB中，tanDBO=。（2）如圖，連結(jié)BE，AED=BEC=45°，BEA=90°，即BEAE于E。DO平面ABCE，DOBE，BE