定積分應(yīng)用歷年真題集錦

1、定積分的應(yīng)用（一）平面圖形的面積1求曲線與直線所圍成的平面圖形的面積.（1990年）【解答】2已知曲線與在點(diǎn)處有公共切線如圖，（1）求的值與切點(diǎn)坐標(biāo)；（2）兩曲線與 軸所圍成的平面圖形的面積S.(1994年)【解答】在該點(diǎn)既相交又相切（縱坐標(biāo)相等；斜率相等）(1)由題意知得.解得即有，切點(diǎn)為；（2）選取作為積分變量，則有.3在曲線上某點(diǎn)A 作一切線，使之與曲線以及軸所圍成的平面圖形的面積為試求（1）切點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過(guò)切點(diǎn)A的切線方程.（1988年）【解答】切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），切線方程為4設(shè)曲線與兩坐標(biāo)軸所圍成的平面區(qū)域被曲線分為面積相等的兩部分，其中為大于零的常數(shù)，試確定常數(shù)的值.（1991

2、年）【解答】，則有5.設(shè)曲線，試在曲線上找一點(diǎn)使過(guò)該點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的平面區(qū)域面積最大，并求出該面積.（1992年）【解答】設(shè)切點(diǎn)為，則過(guò)該點(diǎn)的切線斜率為，切線方程為；切線與兩坐標(biāo)軸分別交于和；從而求得，求得駐點(diǎn)為1，1（舍去）.所求點(diǎn)為，面積為6設(shè)是上的任一非負(fù)連續(xù)函數(shù),(1)證明存在使得在上以 為高的矩形面積等于上以 為曲邊的曲邊梯形的面積;(2)若在內(nèi)可導(dǎo)且,證明是唯一的.（1998年數(shù)一6分) 難度0.28,區(qū)分度0.43(II) 【考查知識(shí)點(diǎn)】(1)根據(jù)題目描述的幾何意義,列出欲求的應(yīng)滿足的式子; (2)列出,并驗(yàn)證它所滿足的羅爾定理的條件；（本題核心)(3)證明的單調(diào)性,從

3、而證明滿足=0的的唯一性.提示: 要證, 設(shè)以微分中值定理作為解題主要理論依據(jù)的題在考研中經(jīng)常出現(xiàn),本題也屬此類,但以積分形式出現(xiàn),有新意.7. 設(shè)曲線極坐標(biāo)方程為，則該曲線上相應(yīng)于從0變到的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為.（2003年數(shù)學(xué)二填空）【分析】在極坐標(biāo)系下，由曲線，直線及所圍成的平面圖形的面積為，于是有.8 位于曲線下方，軸上方的無(wú)界圖形的面積是1.（2002年數(shù)學(xué)二填空）【分析】這是無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分的幾何應(yīng)用題，所求面積用廣義積分表示為 ；本題難度值為0.80，區(qū)分度為0.45，屬于第V類試題.9(2001年數(shù)學(xué)二)設(shè)L是一條平面曲線,其上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離,恒等于該

4、點(diǎn)處的切線在軸上的截距,且L過(guò)點(diǎn).(1)求曲線L的方程;(2)求L 位于第一象限部分的一條切線,使該切線與L以及兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積最小.【分析】第一問顯然是解微分方程的定解問題,其中關(guān)鍵是列出微分方程;第二問是最值問題,關(guān)鍵是寫出圖形面積的表達(dá)式.本題得分率較低,一個(gè)主要的錯(cuò)誤是對(duì)截距的理解,寫成了,這樣往下就不好做了.本題難度值為0.35,區(qū)分度為0.55,屬于V類.10設(shè) S表示夾在x軸與曲線之間的面積,對(duì)于任意的t >0, 表示矩形的面積.求的表達(dá)式與最小值.(2004年數(shù)學(xué)四)【分析】畫出S, 的圖形，然后建立它們的表達(dá)式：矩形面積，計(jì)算S=1要用到無(wú)窮積分，建立的表達(dá)式；（

5、這就考察了考生能否把一個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的綜合能力）最后應(yīng)用函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系定理求出S的最小值.（在計(jì)算過(guò)程中考察了考生對(duì)無(wú)窮積分?jǐn)可⑿缘母拍钍欠窭斫饧坝?jì)算無(wú)窮積分的能力，同時(shí)也考察了考生是否會(huì)求函數(shù)的最小值.）【解答】(I) ,(II) 是唯一駐點(diǎn)可知，為極小值。或?yàn)闃O小值也是最小值.11已知拋物線（其中）在第一象限內(nèi)與直線相切，且此拋物線與軸所圍成的平面圖形的面積為S.問和為何值時(shí)，S達(dá)到最大值？求出此最大值.（2001年數(shù)學(xué)三）【分析】這是一道綜合了微分與積分等概念的題目.利用定積分求出S的面積，再利用拋物線與直線相切的條件，確定和的關(guān)系，從而將求的極值化為一元函數(shù)極值問題

6、.本題難度值為0.54，區(qū)分度為0.55，屬于第V類試題.【解答】依題意知，拋物線如圖所示，求得它與 軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為面積因直線與拋物線相切，故它們有唯一公共點(diǎn).由方程組得，其判別式必等于零，因而有.從而得到解得駐點(diǎn)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是當(dāng)時(shí)，取得極大值，即最大值.此時(shí)，從而最大值為（二）平面曲線的弧長(zhǎng)1.設(shè)位于第一象限的曲線過(guò)點(diǎn),其上任一點(diǎn)處的法線與y軸的交點(diǎn)為Q, 且線段PQ被x 軸平分.(1)求曲線的方程;(2)已知曲線在上的弧長(zhǎng)為,試用 表示曲線的弧長(zhǎng)s.(2003年數(shù)學(xué)二)【分析】本題是微分方程與定積分幾何應(yīng)用題,涉及內(nèi)容有曲線的法線,一階微分方程求解,定積分幾何應(yīng)用等.根據(jù)已知條件求出曲

7、線的方程以及用定積分表示曲線在上的弧長(zhǎng)都是基本要求.但由于是橢圓位于第一象限的部分,其弧長(zhǎng)以及在上的弧長(zhǎng)都是算不出來(lái)的,故需通過(guò)定積分的換元法找到 與s之間的關(guān)系.主要錯(cuò)誤是沒有弄明白第二問的題意,不寫出的表達(dá)式,便試圖從找出與的關(guān)系,當(dāng)然就無(wú)從下手了. 【解答】（1）曲線在點(diǎn)處的法線方程為，其中為法線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo).令X=0,則，故Q點(diǎn)的坐標(biāo)為.由題設(shè)知 ，即，積分得（C為任意常數(shù)）.曲線過(guò)點(diǎn)，因此可得C=1,故曲線的方程為.（2）曲線在上的弧長(zhǎng)為 ；曲線的參數(shù)方程為故.作變量代換，則.2. (2001年數(shù)學(xué)二)設(shè)是拋物線上任一點(diǎn)處的曲率半徑, 是該拋物線上介于點(diǎn)A(1,1)與M之間的弧長(zhǎng)

8、,計(jì)算的值.(在直角坐標(biāo)系下曲率公式為)【分析】曲率半徑與弧長(zhǎng)都是x的函數(shù)，所以求與 即是參數(shù)方程求導(dǎo).【解答】由所以拋物線在點(diǎn)處的曲率半徑；拋物線上的弧長(zhǎng)為.由參數(shù)方程求導(dǎo)公式得；從而9.本題得分率只有40%,究其原因是不少考生沒有弄清題意,不知道求什么;其次,雖然給出曲率的一般公式(目的是減少考生背公式的數(shù)量)但仍然有不少考生不知道曲率半徑為曲率的倒數(shù),從而無(wú)從下手解題.本題難度為0.51,區(qū)分度為0.57,屬于V類試題.3設(shè)曲線L的極坐標(biāo)方程為，為L(zhǎng)上任意一點(diǎn)，為L(zhǎng)上一定點(diǎn).若極徑 與曲線L所圍的曲邊扇形面積等于L 上兩點(diǎn)間弧長(zhǎng)值的一半，求曲線方程.（1997年數(shù)學(xué)二）（三）旋轉(zhuǎn)體的體積

9、1 平面圖形A由及所確定,求A 繞旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積.(1993年數(shù)學(xué)二,9分)2 求由曲線與軸所圍成的封閉圖形繞旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積.(1994年數(shù)學(xué)二,9分)（四）綜合題目1過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，該切線與曲線 及軸圍成平面圖形D,求D的面積A;求D 繞旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.(2003年數(shù)學(xué)一)【分析】本題考察切線方程的求法；平面圖形的面積；旋轉(zhuǎn)體的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，比較容易.【解答】設(shè)切點(diǎn)為，切線斜率為，切線方程為.以(x,y)=(0,0)代入得.于是切點(diǎn)為，切線方程為.（1） 面積（2） 體積【典型錯(cuò)誤】本題第一問的解答情況很好，絕大多數(shù)考生都能夠得到正確的面積值.只有少數(shù)考生將

10、面積寫成；第二問的考試結(jié)果比預(yù)想的要差，從解答情況上看，旋轉(zhuǎn)軸不是坐標(biāo)軸并不是出錯(cuò)的主要原因，錯(cuò)誤多數(shù)是因?yàn)橛缅e(cuò)了體積公式，如將公式寫成 ，或 這說(shuō)明有些考生仍然只是死記公式，并不了解公式的來(lái)歷，從而也沒有真正理解公式中各部分的意義.2. 求曲線，與直線以及軸所圍成的平面圖形面積為S,并求該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積V.(1997年數(shù)學(xué)四)s=2;3 (2004年數(shù)學(xué)二)曲線與直線及圍成一曲線梯形, 該曲線梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體,其體積為,側(cè)面積為,在處的底面積為.(I)求的值;(II)計(jì)算極限【分析】分別寫出旋轉(zhuǎn)體的體積,側(cè)面積以及底面積, 不必積分, 便可求及計(jì)算（I）, =

11、2. (II) 1·考查知識(shí)點(diǎn) 求解旋轉(zhuǎn)體的體積,側(cè)面積,底面積即定積分在幾何上的應(yīng)用部分內(nèi)容,主要錯(cuò)誤是有一些考生對(duì)旋轉(zhuǎn)體體積,側(cè)面積的公式的來(lái)龍去脈不了解,死記硬背,因而常常會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.設(shè)直線與拋物線所圍成的平面圖形面積為,它們與直線所圍成的平面圖形面積為，且 ，（1）試求的值使 達(dá)到最小值；（2）求該最小值所對(duì)應(yīng)的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.（？）3.有一平底容器,其內(nèi)側(cè)壁是由曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)曲面,容器的底面圓的半徑為2m.根據(jù)設(shè)計(jì)要求當(dāng)以的速率向容器內(nèi)注入液體時(shí),液面的面積以 的速率均勻擴(kuò)大(假設(shè)注入液體前,容器內(nèi)無(wú)液體)(1) 根據(jù)t時(shí)刻液面的面積,寫出與t之間的關(guān)系;(2) 求曲線的方程.本題為綜合性應(yīng)用題,為了給學(xué)生提供解題思路,設(shè)計(jì)了臺(tái)階即第一問,因而降低了難度;建立旋轉(zhuǎn)體體積和,從而得到與t之間的關(guān)系,然后通過(guò)對(duì)求導(dǎo)得到微分方程.法2:根據(jù)液體體積的變化用微元法直接建立微分方程.最后解微分方程即得到曲線的方程.本題得分率極低,超過(guò)1/3的學(xué)生一分未得,表明