常見軌跡方程的求法

1、動點軌跡方程的常見求法一、待定系數(shù)法；它常常適用于動點軌跡的曲線類型已知或利用已知條件可直接推斷出其軌跡的曲線方程。其解題步驟為：先設(shè)出對應(yīng)類型的軌跡方程；再求出所設(shè)方程中的待定系數(shù)。例1、已知橢圓中心在原點，焦點在坐標軸上，焦距為2，另一雙曲線和橢圓有公共焦點，且橢圓的半長軸比雙曲線的半實軸大4，橢圓的離心率和雙曲線的離心率之比為3 / 7。求橢圓和雙曲線的方程。解：如果雙曲線和橢圓的焦點在x軸上，即橢圓的長軸、雙曲線的實軸在x軸上，那么可設(shè)橢圓方程為+= 1，雙曲線的方程為= 1。2c = 2 , c = .a m = 4 , : = , a = 7 , m = 3 . b = ac =

2、36 , n = c m = 4 .橢圓方程為+= 1，雙曲線的方程為= 1 ；如果雙曲線和橢圓的焦點在y軸上，同理可得：橢圓方程為+= 1，雙曲線的方程為= 1 。二、直譯解析法；該方法的主要思路就是將題目中的幾何條件直接翻譯為代數(shù)條件。它主要通過建系、設(shè)點、列式、化簡、討論等步驟得到所求的曲線軌跡方程。例2、已知兩定點A、B， = 3，求使PBA = 2PAB成立的動點P的軌跡方程。解： 以點A為坐標原點，射線AB為x軸的正半軸， y建立直角坐標系如右圖： P (x,y) 則B點坐標為(3, 0)，設(shè)P點坐標為(x, y),PAB = , 則PBA =2 A B x = K = tg(2)

3、 = - tg2= = = y = 0 (0<x<3) 或 = ，即y = 0 (0<x<3) 或（x1） = 1 (x2)。三、曲線定義法；若動點軌跡直接符合已知圓錐曲線定義，則可直接利用定義寫出其方程。例3、已知定點A(0, 7), B(0, -7), F(12, 2)，以F為一個焦點，作過AB的橢圓，求另一個焦點F的軌跡。解：根據(jù)橢圓的定義， + = + ，但=13，= 15，故得+13 = +15，即 = 2根據(jù)定義，動點F的軌跡是以A、B為焦點，實軸長2a = 2的雙曲線的下支， > ，其軌跡方程為：y = 1 (y -1)四、幾何性質(zhì)法；根據(jù)動點所滿足

4、的平面幾何性質(zhì)得到等量關(guān)系求出其軌跡方程。例4、已知圓O：x + y = 16及點A(2, 0)，求過A且與圓O相切的諸圓圓心P的軌跡方程。解：如右圖：過A且與圓O相切的圓，只能與圓O相內(nèi)切，根據(jù)兩圓相內(nèi)切的性質(zhì)：連心線必過其切點，設(shè)切點為M，則O、P、M共線， = + 。又因為A在圓P上， y = 。 + = = 4。 M故P的軌跡是以O(shè)、A為焦點，長軸長為 P = 4的橢圓。 O A x故 P的軌跡方程：+= 1。五、相關(guān)點法；若動點P(x, y)依賴于某已知曲線上的另一個動點P(x,y)而運動，且x, y可用x, y表示，則將P(x,y)代入已知曲線，求出P點的軌跡方程。此法也稱代入法或

5、轉(zhuǎn)移法。例5、定點A(3,0)為圓x + y = 1外一定點，P為圓上任一點，（除出圓與x軸的交點）, POA的平分線交PA于點Q, 求出Q點的軌跡方程。解：如右圖：設(shè)Q(x,y) , P(x,y) ,由于OQ平分POA ,則有： y Q O=3 ，即Q分AP的比為3， P 由定比分點公式得： B O C A x 解得 代入x + y = 1得：（x） + y = 。六、復(fù)數(shù)法；利用復(fù)數(shù)的幾何意義，把動點的運動看成是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的旋轉(zhuǎn)與模的伸長與縮短而得出所求的軌跡方程。例6、已知橢圓+= 1的右焦點為F，B為橢圓上的動點，F(xiàn)AB為正三角形，且F、A、B為逆時針方向排序，求出A點的軌跡方程。

6、解：設(shè)橢圓上任意一點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是Z，依題意復(fù)數(shù)滿足方程： + = 6。設(shè)點A所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是Z，因為F、A、B為逆時針方向排序，F(xiàn)AB為正三角形，所以向量可由向量沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)而得到。Z2 = (Z 2)(cos + isin) yO F Z+ 2 =(1 + )(Z 2i) A對、兩式分別取模后相加得： + = + = 6故A點的軌跡的復(fù)數(shù)方程為： + = 6。 七、引參消參法； 若題目出現(xiàn)當動點運動所受限制條件較多，不易直接建立x、y的某種聯(lián)系，但且發(fā)現(xiàn)x、y同時受到另外一個變量t（如角度、斜率、截距等）的制約而將它們用t表示，然后通過消去變量t而得到所要求的動點的軌跡方程f(x, y)

7、=0。例7、過點M(-2, 0)作直線L交雙曲線xy = 1于A、B兩點，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB。求動點P的軌跡方程。解：設(shè)過M的直線方程為: y = k (x + 2) (k0，k1)，代入雙曲線xy = 1得：（1 k）x4 kx 4 k1 = 0OAPB為平行四邊形，則：x = x + x = ； yy = y + y = k (x + x) + 4k = 。 P 消去k得xy+ 4xp = 0 M O x當Lx軸時，P點坐標為（-4，0），也滿足上述方程。而由k0，得x0。故所求的軌跡方程為：xy+ 4x = 0 (x0)。八、交軌法；它常常適用于出現(xiàn)需求兩曲線交點的軌

8、跡方程問題 ，解此類問題往往需借助解方程組得出含有某參數(shù)的交點坐標，再消去參數(shù)而得到所求動點的軌跡方程。例8、已知橢圓+= 1（a>b>0）和定點A(0, b), B(0, -b), C是橢圓上的動點, 求ABC的垂心H的軌跡方程。解：設(shè)橢圓上C點(acos, bsin)，又A(0, b)、B(0, -b)。AC邊的高線的方程為：y = b ,而AB邊的高線的方程為：y = bsin ,設(shè)H(x, y)，則點H適合 即 ，由cos + sin = 1得+= 1。又點C不能與A、B重合，所以y b 。故所求的軌跡方程為：+= 1 （x 0）。九、極坐標法；根據(jù)題意建立極坐標系，引入動

9、點的極坐標，尋找動點變量間的等量關(guān)系而求出動點軌跡的極坐標方程，再化極坐標方程為普通方程。例9、已知AOB =2(0 < <)，其內(nèi)一動點P,從點P向角的兩邊分別作垂線PQ、PR，且四邊形OQPR的面積為定值a，求動點P的軌跡方程。解：以O(shè)點為極點，AOB的平分線為極軸建立極坐標系，設(shè)P(,) = cos(+) , = sin(+), = cos() , = sin()sin(+)cos(+) + B sin() cos() = a O P x 即 sin2(+) + sin2() = a A sin2 cos2 = a cos2 = 即動點P的軌跡方程為：xy= 2acsc2 (在AOB的內(nèi)部的一段)。十、向量法;利用向量具有幾何和代數(shù)形式的雙重屬性來探求解析幾何軌跡問題也是常見的方法之一.例10 、兩根桿分別繞著定點A和B (AB = 2a) 在