數學建模優(yōu)秀論文

1、國防科技大學：單榮、李軍、余鵬奇，指導教師：指導教師組2005 高教社杯全國大學生數學建模競賽承諾書我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽的題目是：B 題：DVD 在線租賃

2、我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設置報名號的話）：所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜簢揽茖W技術大學參賽隊員 (打印并簽名) ：1.2.3.單 榮李 軍余鵬奇指導教師或指導教師組負責人(打印并簽名)：指導教師組日期： 2005 年 9 月 19 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2005 年全國大學生數學建模競賽全國一等獎1國防科技大學：單榮、李軍、余鵬奇，指導教師：指導教師組2005 高教社杯全國大學生數學建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：全國統一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：2005 年全國大學生數學

3、建模競賽全國一等獎2國防科技大學：單榮、李軍、余鵬奇，指導教師：指導教師組B 題：DVD 在線租賃摘要DVD 的在線租賃是一個非常復雜的活動，其隨機性很強。基于不同的建模思想，對問題 1）我們給出了兩個模型，并進行了比較。模型一從宏觀上考慮租賃活動，通過分析題目所給的條件，做出適當的假設，以簡化問題。按悲觀估計給出購買方案，從而保證了目標的實現，并且模型簡單，易于求解。模型二從微觀上進行分析，結合實際和常識，對會員租賃周期的分布做出合理的假設，根據會員租出、歸還的規(guī)律進行建模，較好的反映了復雜的租賃活動，給出的購買方案能更好的貼合實際。此外，我們還用蒙特卡洛法對結果進行了檢驗。兩種模型求得的購

4、買方案如下表：問題 2）是一個最優(yōu)分配問題，可將其化為 01 規(guī)劃問題。求出最優(yōu)分配時會員的滿意度為：89.18%。文章中我們給出了前 30 名會員獲得 DVD 的情況，以及他們的滿意度。問題 3）中，我們認為“得到想看的 DVD”是指會員至少得到一張他想看的 DVD。我們利用問題 1）中求得的數據，對問題二中的模型進行適當修改，得到 01 規(guī)劃模型。我們發(fā)現，滿意度的定義不同，求得的結果會有較大的差異。按照我們定義的滿意度，求得的結果如下表：會員提交訂單時，總想知道能否及時得到自己想看的 DVD，在問題 4）中，我們將此問題提出，并以問題 1）中的 DVD1 為例，建立了相應的模型進行求解。

5、會員在提交訂單時，網站可以立即告訴會員最有可能在哪一天得到他想看的DVD，另外，我們還對 DVD 的時效性等有關問題進行了討論。2005 年全國大學生數學建模競賽全國一等獎3方案DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5悲觀估計50%62503125156378231395%39591980990495198分布估計50%54752738136968527495%37571879940470188滿意度50%60%70%75%80%85%90%最小借書數65889911631343152417261967國防科技大學：單榮、李軍、余鵬奇，指導教師：指導教師組一 問題分析1、對問題 1）的分析：首

6、先，問題 1）中的“保證”可理解為是尋找悲觀情況下能達到要求的購買方案；由于實際租賃活動中的租和還都是概率事件，當會員數量足夠大時，租賃情況應服從統計規(guī)律，這種理解下，購買方案也可按照統計數據去計算。因此，在對問題 1）的建模過程中，我們先按悲觀估計求出一個購買方案，在這個基礎上對模型進行修改，使其更符合實際，應用統計學規(guī)律求出一個更貼合實際的方案。要對問題 1）進行求解，關鍵是要對每一張 DVD 在這個月的租出次數進行分析，而租出次數跟會員租賃 DVD 的時間分布和寄還時間的分布密切相關。由于會員發(fā)來訂單的時間和寄還時間都是概率事件。實際情況下，會員在均值附近歸還的人數較多，離均值越遠歸還的

7、越少。對這樣一種“兩頭小，中間大”的分布，可以用正態(tài)分布來近似描述。如果網站會員數量足夠大（如題中所給數據），那么就可以假設：每天下訂單的會員數目為一常數穩(wěn)定不變；任一會員從下訂單到寄還 DVD 的時間間隔，以及上一次下訂單到這一次下訂單的時間間隔都服從正態(tài)分布。歷史數據顯示，60%的會員每月租賃 DVD 兩次，而另外的 40%只租一次，根據這組數據有如下分析：由于二類會員每個月會下兩次訂單，而一類會員只下一次訂單，則在每一個月內一類會員的訂單數與二類會員的訂單數之比應為0.4 : (0.6 2) ，即1: 3 ，由于會員數很多，可以認為，一天內一類會員的訂單數與二類會員之比也為1: 3 。2

8、、對問題 2）的分析：問題 2）是一個最優(yōu)分配問題，這種優(yōu)化問題可以采用 0-1 規(guī)劃進行求解，目標是使得滿意度最大。要求得最大的滿意度，首先要給出滿意度的定義。容易想到滿意度可定義為實際的滿足值與理想的滿足值之比。另外，考慮到排序號為 1 的 DVD 是該會員最希望租到的，其地位是其它 DVD 不能替代的，同時根據實際生活中的經驗，第 1 想要的滿足值與第 2 想要的滿足值之差應大于第 2 想要的滿足值與第 3 想要的滿足值之差，因此，模型定義的滿意度應能反映出這種差別才是符合實際的。3、在第三問中，題目要求使一個月內 95%的會員得到他想看的 DVD，我們認為在一個月內會員只要看到一張他想

9、要看到的 DVD 就認為該會員得到了他想看的DVD。2005 年全國大學生數學建模競賽全國一等獎4國防科技大學：單榮、李軍、余鵬奇，指導教師：指導教師組二 模型假設1234567891011會員提交訂單時都如第三問中表格，既每次給出多個想看的 DVD，并給出了偏愛程度。假設不愿意觀看某種 DVD 的會員不會租看它。公司每天收到的總訂單數一定。DVD 郵寄過程的時間忽略。會員提交的訂單把他想看的 DVD 都列上了。不考慮新會員入會和老會員退會的情況。會員不會第二次租以前看過的 DVD。問卷調查能反映總體真實情況。一個月 30 天。歷史數據能代表以后的需求形勢。DVD 供過于求，不會在公司逗留。三

10、 符號說明kcindicbibikqirihkiN 0PijP1000100第 i 天的庫存量第 i 天的需求量（即第 i 天的訂單總數）、第 i 天的可借出量第 i 天的實際借出量第 i 天的空缺量（即當天交了訂單卻沒得到 DVD 的人數）第 i 天的歸還總數表示第 k 天租第 i 天還的人數一天收到的總訂單數為第 i 位會員租到第 j 張 DVD 的滿足值為滿足值矩陣2005 年全國大學生數學建模競賽全國一等獎5國防科技大學：單榮、李軍、余鵬奇，指導教師：指導教師組四模型的建立與求解說明：我們稱每月租賃一次的為一類會員，每月租賃兩次的為二類會員。問題 1）：模型一：為簡化問題，我們不妨做如

11、下假設：1、希望觀看某 DVD 的會員中，40%的為一類會員，60%為二類會員，這個比例穩(wěn)定不變；2、新買的 DVD 是從月初開始出租的；通過假設我們可以做出如下分析：當新 DVD 上市后，租賃到一類會員手中的 DVD 在一個月內只能夠租出一次，而租賃到二類會員手中的 DVD 在一個月內至少可以租出兩次?？紤]悲觀情況，即租賃到二類會員手中的 DVD 只循環(huán)兩次，可以得到如下結果：我們假設 DVD i 需要準備 xi 張。10 ：為了保證 50%的會員一個月內能夠看到他所希望看的 DVD，由上述分析假設我們可得：對 DVD1： 0.4x1 + 0.6x1 + 0.6x1 1105 20% 50%

12、從而 x1 6250（張）。同理可得：x2 3125（張） x3 1563（張）x4 782（張） x5 313（張）20 ：為了保證 95%的會員三個月內能夠看到他所希望看的 DVD，同樣根據上述分析假設可得：對 DVD1：一個月下來有 0.4x1 + 0.6x1 + 0.6x1 = 1.6x1 的會員可以看到他所希望看的 DVD，那么根據上述悲觀情況的分析，三個月下來就有1.6x1 3 = 4.8x1 的會員可以看到他所希望看的 DVD。則可列出如下等式：4.8x1 1105 20% 95% ，解得 x1 3959（張）。同理可得： x2 1980 （張） x3 990 （張） x4 49

13、5 （張） x5 198（張）模型二以 DVD1 的運營情況為例分析更符合實際的情況：設第 i 天的庫存量 kci，第 i 天的需求量（即第 i 天的訂單總數） ndi 、第 i 天的可借出量 cbi 、第 i 天的實際借出量 bi 、第 i 天的空缺量 kqi（即當天交了訂單卻沒得到 DVD 的人數），第 i 天的歸還總數 r 。2005 年全國大學生數學建模競賽全國一等獎6國防科技大學：單榮、李軍、余鵬奇，指導教師：指導教師組1）第 i 天的運營情況可描述為：可借 cbi =庫存 kci -1 + 還回 ri對實借 bi ：若可借 cbi = 需求 nbi則若可借 cbi 0，即在第 m

14、天定了但沒租到 DVD 的會員數大于 0，則 實借 bi 應先借給這些會員，若實借 bi 空缺 kqm ：則空缺 kqm =0，實借 bi 中的剩余部分則可填補 空缺 kqm+1 ，m 增加 1參考第一問的模型，則此問題的模型為：目標函數Min=G要求滿足如下遞歸關系：cbi = kci-1 + rinbi = N1i + N 2i2005 年全國大學生數學建模競賽全國一等獎13會員C0001C0002C0003C0004C0005C0006C0007C0008C0009C0010DVDD009D082D098D006D042D044D004D050D080D007D018D041D011D0

15、66D068D016D019D053D008D026D081D015D071D099D053D078D100D055D060D085會員C0011C0012C0013C0014C0015C0016C0017C0018C0019C0020DVDD019D059D063D002D007D031D021D078D096D023D043D052D013D085D088D006D084D097D047D051D067D041D060D078D067D084D086D045D061D089會員C0021C0022C0023C0024C0025C0026C0027C0028C0029C0030DVDD045

16、D053D065D038D055D057D029D081D095D041D076D079D009D069D094D022D068D095D022D042D058D008D034D082D030D044D055D001D037D062國防科技大學：單榮、李軍、余鵬奇，指導教師：指導教師組若 cbi nbi ：則 bi = nbi若 cbi nbi ：則 bi = cbi,若 bi = kqm ,= kqm,kqm =k bi ;, ,kqm =0kci = kci-1 + ri - bi,k=m,m=k+1其中： ri=i -1k =1kiN1i = N1 Pi-1j =1其初始條件：m=0，

17、bb11 = 0 ， h11 = 0 ，即 r1 = 0= nbkc1 = G - b1 = G - 106630i=1i+0.5i-0.5f ( x)dx ， f ( x) =12pse-( x-m ) 22s 2取 s 2 =3，算出結果如下表：2005 年全國大學生數學建模競賽全國一等獎14若 bi = kqm = kqm+1 kqm+1 =k bi kqm , hN 2i = N 2 P - bb jib1 1 = 1066 ，另外，要求滿足條件： bi 10000 ，pi = 國防科技大學：單榮、李軍、余鵬奇，指導教師：指導教師組表（七）以表中第 21 行為例，表示在第 21 天有

18、303 人下訂單，這 303 人大概在第7980 天可以租到 DVD1，其中先到的 143 人最有可能在第 79 天租到 DVD1，后到的 160 人最有可能在第 80 天租到 DVD1。2、在購買 DVD 時要考慮它的時效性，一搬 DVD 可分為兩類，一類是熱門DVD，它在剛上市時需求量很大，但過一段時間需求量會變少，還有類是經典DVD，它的需求量隨時間變化不大，公司要想賺錢，一張 DVD 借出去的次數越多越好，所以不能因為熱門 DVD 剛上市時需求量很大而購買大量熱門 DVD，而應從長期的角度去考慮。3、滿意度還應考慮等待時間，雖然租到了，但是等待時間不同，滿意度會不同，等待時間越短，滿意

19、度越高。2005 年全國大學生數學建模競賽全國一等獎151106711067(1)2106721067(2)3106731067(3)41067414556(4),1(6),2(7),5(8),11(9),25(10),49(11),88(12),142(13),187(14)51066141821(14),273(15),325(16),352(17),94(18)610661822251(18),308(19),250(20),186(21),72(22)71065223059(22),92(23),74(24),75(25),93(26),125(27),168(28),215(29),

20、50(30)81062303497(30),294(31),312(32),309(33),50(34)910553439237(34),252(35),211(36),173(37),145(38),37(39)101040394591(39),125(40),134(41),152(42),176(43),202(44),161(45)111014454965(45),243(46),253(47),253(48),200(49)12970495444(49),229(50),210(51),190(52),173(53),124(5454),158(55),16

21、0(56),169(57),182(58),196(59),3(60)148216063207(60),221(61),227(62),165(6363),224(64),216(65),205(66),13(67)166146770180(67),182(68),175(69),76(7070),170(71),173(72),76(73)184297375102(73),185(74),142(75)19366757749(75),196(76),121(77)20325777977(77),197(78),50(79)213037980143(79),160(80)22296808227(80),179(81),91(82)23302828479(82),160(83),63(84)24318848689(84),145(85),84(86)25345868955(86),135(87),131(88),23(89)263828990105(89),125(90)國防科技大學：單