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1、第八講 整式的乘法(二) -乘法公式一、知識梳理1、平方差公式兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差,即理解公式的幾何意義: 圖1平方差公式:由圖1可以清楚地看出,即表示邊長分別為、的長方形的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積.注:1、僅僅是一個符號,它們可以表示數(shù),也可以表示式子(單項(xiàng)式、多項(xiàng)式等),只要是符合公式結(jié)構(gòu)特征的,都可以運(yùn)用這一公式計(jì)算.2、弄清公式的各種變異形態(tài) 位置變化,(x+y)(-y+x)=x2-y2 符號變化,(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2 指數(shù)變化,(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 系數(shù)變化,(2a+b)(2a-b)=
2、4a2-b2 換式變化,xy+(z+m)xy-(z+m)=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2 增項(xiàng)變化,(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2 連用公式變化,(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4 逆用公式變化,(x-y+z)2-(x+y-z)2 =(x-y+z)+(x+y-z)(x-y+z)-(x+y-z) =2x(-2y+2z) =-4xy+4xz2、完全平方公式兩數(shù)和(
3、或差)的平方,等于它們的平方和,加上(或減去)它們積的兩倍,即 或 圖2 圖3理解公式的幾何意義:由圖2可以清楚地看出,即表示大正方形的面積等于兩個正方形的面積、之和,再加上兩個小長方形的面積.由圖3可以清楚地看出,即表示大正方形的面積等于兩個正方形的面積、之和,減去兩個小長方形的面積.兩數(shù)和的平方推廣 計(jì)算分析:式子中有三個數(shù),可以看做是兩個數(shù)的和,從而利用公式,或或答案: 拓展延伸:幾個數(shù)的和的平方,變形成兩個數(shù)的和的平方,等于它們的平方和加上每兩個數(shù)的乘積的2倍,例如.二、典型例題及針對練習(xí)知識點(diǎn)1 平方差公式運(yùn)用公式解決有關(guān)問題例1、計(jì)算:(3a5b)(3a5b)例 2. 計(jì)算例3.
4、計(jì)算分析:觀察后一個括號內(nèi)的兩項(xiàng)發(fā)現(xiàn),只要提出一個“”號即可運(yùn)用平方差公式計(jì)算。例4. 計(jì)算注意:“整體思想”的運(yùn)用,靈活解題練習(xí) 1、計(jì)算:(1); (2); (3); (4);2、(1); (2)計(jì)算:(x3y2z)(x3y2z)知識點(diǎn)2 完全平方公式例5 計(jì)算:(2x5y)2例6 計(jì)算:(a2b5c)2分析:括號中有三項(xiàng),可以取其中的任意的兩項(xiàng)組合,然后運(yùn)用完全平方公式.綜合探究創(chuàng)新例7 計(jì)算.例8已知,求,的值.注: (1)由兩數(shù)和的平方和兩數(shù)差的平方,可以通過兩式的加減求出兩數(shù)的平方和與兩數(shù)的積,同理,已知兩數(shù)和的平方或兩數(shù)差的平方,以及兩數(shù)的平方和,可以求出兩數(shù)的積.練習(xí)3、計(jì)算.
5、已知,求的值. 例9:已知a+b=2,ab=1,求a2+b2的值。例10:已知x-y=2,y-z=2,x+z=14。求x2-z2的值。例11:判斷(2+1)(22+1)(24+1)(22048+1)+1的個位數(shù)字是幾?例12運(yùn)用公式簡便計(jì)算(1)1032 (2)1982例13解下列各式(1)已知a2+b2=13,ab=6,求(a+b)2,(a-b)2的值。(2)已知a(a-1)-(a2-b)=2,求的值。(3)已知,求的值。 例14四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1,一定是平方數(shù)嗎?為什么?例15計(jì)算 (1)(x2-x+1)2 (2)(3m+n-p)2三、鞏固練習(xí)一、填空題 1. .2. 已知,那么x2+xy+y2的值為 .3. .4. .5. 若,則 .6.方程組的解為 .二、選擇題7. 若a的值使得 1成立,則的值為( )A.5B.4C.3D.28 若,則的值為( )A.13B.26C.28D.379 如圖1518所示的是用4個相同的小矩形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案,已知該圖案的面積為49,小正方形的面積為4,若用x,
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