一元二次方程中的整體思想(換元法)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一元二次方程中的整體思想（換元法）一、內(nèi)容概述所謂整體思想就是從問(wèn)題整體性質(zhì)出發(fā)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題及整體結(jié)構(gòu)的特性，從而導(dǎo)出局部結(jié)構(gòu)和元素的特性，這是中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽常用解題思想之一。最具體的代表就是換元法的運(yùn)用。二、例題解析 初中階段，在各年級(jí)的數(shù)學(xué)代數(shù)學(xué)習(xí)中，時(shí)常會(huì)碰到換元法。何為換元法呢？解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去替換從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，它可以變高次為低次，化無(wú)理為有理。 （一）換元法在解方程中的應(yīng)用 我們知道，解分式方程時(shí)一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程來(lái)解；解無(wú)理方程一般用“兩邊乘方”

2、的方法，將無(wú)理方程化成有理方程來(lái)解。然而我們會(huì)碰到這樣的困難：利用這些常規(guī)的變形方法解題，往往會(huì)產(chǎn)生高次方程，解起來(lái)相當(dāng)繁瑣，甚至有時(shí)難于解得結(jié)果，這可怎么辦呢？對(duì)于某些方程，我們可以用新的未知數(shù)來(lái)替換原有未知數(shù)的某些代數(shù)式，把原方程化成一個(gè)易解的方程。 1.利用倒數(shù)關(guān)系換元 例1 解分式方程： 分析：此分式方程若兩邊同時(shí)去分母的話，會(huì)產(chǎn)生高次方程，比較復(fù)雜難解。但是若稍加整理成，則可利用式子之間的倒數(shù)關(guān)系換元，這樣問(wèn)題就簡(jiǎn)單了。 解：移項(xiàng)整理得 設(shè)，則原方程可化為 去分母得 解得 當(dāng)時(shí)， 解得 經(jīng)檢驗(yàn)： 是原方程的根 所以，原方程的根為 練習(xí)1 解無(wú)理方程： 2.利用平方關(guān)系進(jìn)行換元 例2

3、解方程： 分析：代數(shù)式與有平方關(guān)系，因此可以這樣解 解：設(shè)，則原方程可化為 解得， 當(dāng)時(shí)， 解得 當(dāng)時(shí)， 此方程無(wú)實(shí)數(shù)根 經(jīng)檢驗(yàn)： 是原方程的根 所以，原方程的根為 練習(xí)2 解方程： 分析：如果這個(gè)方程兩邊平方，那么就會(huì)得到一個(gè)一元四次方程，但本題的項(xiàng)與的一次項(xiàng)，系數(shù)分別成比例，利用換元法可化成一個(gè)一元二次方程 3.利用對(duì)稱關(guān)系換元 例3 解方程組： 分析：將第二個(gè)方程左邊分解因式可得，如果設(shè)，那么原方程組可化為簡(jiǎn)單的對(duì)稱方程組 4.均值換元 例4 分解因式 分析：初步觀察此代數(shù)式，似乎很難很快找到因式分解的方法，但仔細(xì)琢磨，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)二次三項(xiàng)式很“相似”，不妨可以設(shè)，解題步驟如下： 解：設(shè)，則 原式= 當(dāng)然換元法在因式分解中還有其它的應(yīng)用，比方說(shuō)局部換元、和積換元、和差換元等。 5.整體代入 據(jù)已知字母的值，先求其一中間代數(shù)式的值，再將該代數(shù)式的值，整體代入式中求值。 例5 已知，那么 解：因?yàn)椋?，所以 因此，原式=習(xí)題部分 1.換元法解方程： 2.因式分解： 3.解分式方程組： 4.解無(wú)理方程： 5.已知四個(gè)連續(xù)的整數(shù)為，試說(shuō)明這四個(gè)整數(shù)的積加上1， 是完全平方數(shù) 6.已知，且，求的值 7.甲、乙、丙三種貨物，購(gòu)買甲3件，乙