實(shí)變函數(shù)與泛函分析全套課件

1、序言)()()(xfdttfRdxdxal若f(x)在a,b上連續(xù)，則)()()( )(aFxFdttFRxal若F (x) 在a,b上連續(xù)，則導(dǎo)數(shù)（切線斜率）xi-1 xi定積分（面積）創(chuàng)立（17世紀(jì)）：Newton（力學(xué)）Leibniz（幾何）(無窮小)嚴(yán)格化（19世紀(jì)）: Cauchy, Riemann, Weierstrass(極限理論(-N, -語言)，實(shí)數(shù)理論)外微分形式（20世紀(jì)初）：Grassmann, Poincare, Cartan（微積分基本定理如何在高維空間得到體現(xiàn)）l外微分形式 (整體微分幾何)（微積分基本定理如何在高維空間得到體現(xiàn)）l復(fù)數(shù)域上的微積分（復(fù)變函數(shù)）l微

2、積分的深化和拓展（實(shí)變函數(shù)）(1) Riemann積分的定義積分與分割、介點(diǎn)集的取法無關(guān)幾何意義（非負(fù)函數(shù)）：函數(shù)圖象下方圖形的面積。xi-1 xiiniiTbaxfdxxfR10|)(lim)()(其中iiiiiixxxxx11 f(x)在a,b上Riemann可積iniiTbaxMdxxf10|lim)(dxxfxmbainiiT)(lim10|: )(inf: )(sup11iiiiiixxxxfmxxxxfM其中：xi-1 xixi-1 xif(x)在a,b上Riemann可積iniixT1, 0，使得分劃iiiiiiiiimMxxxxfmxxxxfM: )(inf: )(sup11其

3、中：xi-1 xi f(x)在a,b上Riemann可積注：連續(xù)函數(shù)、只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)和閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)Riemann可積的總長度不超過的小區(qū)間，使得所有振幅分劃，iiT, 0iiiiiniixxxii1上的振幅在為其中,),(baffbaiixxfbaii),(xi-1 xi)(),(abfba例：Dirichlet函數(shù)不Riemann可積。注：D(x)的下方圖形可看成由0,1中每個(gè)有理點(diǎn)長出的單位線段組成。11iniixT，有分劃1lim)(10|iniiTbaxMdxxf上積分0lim)(10|iniiTbaxmdxxf下積分QxQxxD1 ,011 ,00)(0 1( )(

4、 )( )xaf t dtf xf a注：推薦大家看看龔升寫的l話說微積分， 簡明微積分,l數(shù)學(xué)歷史的啟示（數(shù)學(xué)教學(xué)，2001.1）,l微積分嚴(yán)格化后(高等數(shù)學(xué)研究,2002,1-3） 1881年Volterra作出一可微函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)有界但不Riemann可積；例：設(shè)rn為0,1中全體有理數(shù)(因?yàn)槠錇榭蓴?shù)集，故可把它排成序列)，作0,1上的函數(shù)列, 3 , 2 , 1)(,1, 1 , 00321321nxfnnrrrrxrrrrxndxxfdxxfnnbanban)(lim)(limQxQxnnxDxf1 , 011 , 00)()(lim則 fn(x)在a,b上Riemann可積,但不Ri

5、emann可積。Riemann積分iniiTbaxfdxxfR10|)(lim)()(xi-1 xi為使f(x)在a,b上Riemann可積，按Riemann積分思想，必須使得分劃后在多數(shù)小區(qū)間上的振幅足夠小，這迫使在較多地方振動(dòng)的函數(shù)不可積。Lebesgue提出，不從分割定義域入手，而從分割值域入手；(積分與分割、介點(diǎn)集的取法無關(guān))1902年Lebesgue在其論文“積分、長度與面積”中提出（參見：Lebesgue積分的產(chǎn)生及其影響，數(shù)學(xué)進(jìn)展，2002.1）iniibamEdxxfL10,lim)()(yiyi-1)(:1iiiyxfyxEiiiyy1用 mEi 表示 Ei 的“長度”ini

6、ibamEdxxfL10,lim)()(取“極限”)(:1iiiyxfyxE取點(diǎn)集yiyi-1f(x)在 Ei上的振幅不會(huì)大于iniimEs1作和iiiyy1其中 mEi 表示 Ei 的“長度”，Mxfmyyii)(,1其中Myyyymn210, 0 作分劃即：對(duì)此Lebesgue自己曾經(jīng)作過一個(gè)比喻，他說：l假如我欠人家一筆錢，現(xiàn)在要還，此時(shí)按鈔票的面值的大小分類，然后計(jì)算每一類的面額總值，再相加，這就是Lebesgue積分思想；l如不按面額大小分類，而是按從錢袋取出的先后次序來計(jì)算總數(shù)，那就是Riemann積分思想（參見：周性偉，實(shí)變函數(shù)教學(xué)的點(diǎn)滴體會(huì)，高等理科教學(xué)，2000.1）即采取對(duì)

7、值域作分劃，相應(yīng)得到對(duì)定義域的分劃（每一塊不一定是區(qū)間），使得在每一塊上的振幅都很小，即按函數(shù)值的大小對(duì)定義域的點(diǎn)加以歸類yiyi-10 1l(1) 集合Ei 的“長度”如何定義（第三章 測(cè)度論）； l(2)怎樣的函數(shù)可使 Ei 都有“長度”（第四章 可測(cè)函數(shù)）；l(3)定義Lebesgue積分并研究其性質(zhì)（第五章 積分論）；第一章 集合， 第二章 點(diǎn)集， 第六章 微分與不定積分yiyi-1)(:1iiiyxfyxE(1) Achilles追龜 問題：時(shí)間由時(shí)刻組成，每一時(shí)刻，甲、乙都在一確定點(diǎn)上由于甲、乙跑完相應(yīng)路程所用時(shí)間一樣，故甲、乙所用“時(shí)刻數(shù)”一樣，從而跑過的點(diǎn)的“個(gè)數(shù)”也一樣。21

8、111112222nnn0(甲) （乙） 3/4 7/8 15/16 1甲的速度為1，乙的速度為1/2 1, 2, 3, 4, 5, 6, a1, a2, a3, a4, a5, a6, 問下列情況是否能把新來的人安排下：1 又來了有限個(gè)人b1, b2, b3, ，bn3 每個(gè)人帶無限多個(gè)親戚（親戚可排個(gè)隊(duì)）4 又來了0,1個(gè)人2 每個(gè)人帶一個(gè)親戚b1, b2, b3, , bn, 1 b1, b2, b3 , , bn , a1 , a2 , a3 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , 4 不能安排進(jìn)去（0,1是不可數(shù)集）2 b1

9、, a1 , b2, a2 , b3, a3 , 3 a1 , a2 , a3 , a4 , a11, a12, a13, a14, a21, a22, a23, a24, a31, a32, a33, a34, l周民強(qiáng)，實(shí)變函數(shù)(論)，北京大學(xué)出版社，1995.6(2001)l周性偉，實(shí)變函數(shù)，科學(xué)出版社，1998.9l胡適耕，實(shí)變函數(shù)，高等教育出版社，1999.7l徐森林，實(shí)變函數(shù)論，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2002l鄭維行等，實(shí)變函數(shù)論與泛函分析概要，高等教育出版社,1987l夏道行等，實(shí)變函數(shù)論與泛函分析，高等教育出版社，1983.2lHalmos，測(cè)度論(Measure theor

10、y) lRudin , 實(shí)分析與復(fù)分析(Real and complex analysis).l北京九章圖書北京九章圖書 http:/.tw/l互動(dòng)出版網(wǎng) http:/www.china- 等編高等教育出版社，2003年7月.第一章 集合:BxAxxBABA但或差：不一定成立ABBA)(ABcBABA注：ASACs余：（其中S為全集）,簡記為Ac:BxAxxBA或,:AxxA使為指標(biāo)為指標(biāo)集，|AA或集簇：nA特別當(dāng) 時(shí)，稱集簇為集列，記為N:BxAxxBA且,:AxxA有注：在本書中我們未把0包含在N內(nèi),+不在中不在中,11:11NnxxAnnn設(shè)0 , 11nnA) 1 , 2(1nnA(

11、 ( ) -2 -1-1/n -1 0 1-1/n 1 11nafnafEE則記設(shè),)(:,:axfExEREfaf ( a-1/n a),(),11nnaa)(11nafnE),(11nna ( ( a-1/n-1 a-1/n a-1/n+1 a則記設(shè),)(:,:axfExEREfaf11nafnafEE( a a+1/n),(11nna)(11nafnE),),(11nnaa,: ),(BbAabaBA,2, 1,:),(211niAxxxxAiinii,2, 1,:),(211niAxxxxAiinnii思考：如何定義任意多個(gè)集合的ccAA)(ccAA)(De Morgan公式注：通過取

12、余集，使A與Ac，與互相轉(zhuǎn)換,:nAxNnNx使是一個(gè)集合序列設(shè),21nAAA() : :limsuplimnnnnnnnAAx xAxAxA或?qū)儆跓o限多個(gè)集合存在無限多個(gè) ，使1NNnnANB例：設(shè)A2n=0,1A2n+1=1,2;則上極限集為0,2() : :limliminfnnnnnnAAxxAxnxA或除去有限個(gè)集外，有當(dāng) 充分大時(shí)，有1NNnnA例：設(shè)A2n=0,1A2n+1=1,2;則上極限集為0,2,下極限集為111limlimnnnnnnnnAAAA1,:NNnnnAAxNnNx使() :limsuplimnnnnnAAx xA或?qū)儆跓o限多個(gè)集合,:nAxNnNx有NBnAA

13、AAnnnnlimlimAAnnlimnAnA;),(1為單調(diào)減少則稱滿足若集列nnnnANnAAA;),(1為單調(diào)增加則稱滿足若集列nnnnANnAAA.)21limnnnnnAAA 單調(diào)減少，則若;,) 11limnnnnnAAA則單調(diào)增加若1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA111nnNNnnnnNnnAAAA當(dāng)An為單調(diào)增加集列時(shí)11NNNNnnNNnnAAAA1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA

14、 11NNNNnnNNnnAAAA當(dāng)An為單調(diào)減小集列時(shí)111nnNNnnnnNnnAAAA則設(shè),),(),11 ,11(212NnnnAnnAnn),(limnnA1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA( ( ( ） ) )-n -1 0 1 2 n1 , 1(limnnA則設(shè),1 ,4 ,1121112NnAAnnnnnn1 ,0(limnnA0, 4)limnnA -1 0 1 2 3 41,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx使)(sup

15、limlimnnnnAA111| )()(:|)()(lim:kNNnknnnxfxfxxfxfxknknnxfxfNnNxfxf11| )()(|, 1, 1:)()(lim有,:AxxA有,:AxxA使111)(:)(:)()(limkNNnknnnaxfxaxfxxfxf，則設(shè)knkkaxfNnNaxf111)(, 1,)(, 1有利用極限的保號(hào)性知，使得從而aaxfnaxfNnNkknk111)()(, 1, 1取極限，則兩邊關(guān)于有則，若111)(:kNNnknaxfxx,)()(lim,)(axfxfaxfxxnn即：反之若a a+1/k f(x) 注：集合，元素，映射是一相對(duì)概念略

16、：像，原像，像集，原像集，映射的復(fù)合，單射，滿射，一一映射（雙射） 注：模糊集：參見：模糊集合、語言變量及模糊邏輯，L.A.Zadeh 1 , 0 :Xf2、 實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算+: ba1、 定積分運(yùn)算 為從a,b上的可積函數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射 (函數(shù),泛函,算子, 變換)AxAxAx10)( 1 , 0:XA3、 集合的特征函數(shù)（集合A與特征函數(shù)互相決定） 稱 為集A的特征函數(shù)，1:,() ( ):( ),1)( )( );2) ()( )( ),()();3) ()( )( ),()();fXY A B AXf xxAAf AABf Af Bf ABf Af BfAf Af ABf Af Bf

17、Af A定理 ：設(shè)是 的子集，稱為 的像集，記作則有：一般地有：一般地有：為單射等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)如常值映射，一般不成立fBfAfBAf,)()()(11111111111112:, ,() :( )( )()1)( )( );2)()( )( ),()();3)()( )( ),()();fXY AX C D CYx f xCCfCfCDfCfDfCDfCfDfCfCfCDfCfDfCfC定理 ：設(shè)是 的子集，稱為 的原像集，記作不一定有逆映射 ，則有：一般地有：一般地有：注：6），7）一般不能使等號(hào)成立，6）等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)f為單射， 7）等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)f為滿射;)()7);()6;)()

18、()5);( )()()41111111CCffAffACfCfDfCfDCfcc;,)3;)2;) 1)2CACBBAABBAAA傳遞性：對(duì)稱性：自反性：性質(zhì)1）非空注：稱與A對(duì)等的集合為與A有相同的勢(shì)（基數(shù)），記作勢(shì)是對(duì)有限集元素個(gè)數(shù)概念的推廣ABA ZNNN) 1偶數(shù)奇數(shù)n2n-12n),() 1 , 1)(2)2(:xtgxf),()3去掉一個(gè)點(diǎn)的圓周有限集與無限集的本質(zhì)區(qū)別：無限集可與其某個(gè)真子集合有相同多的元素個(gè)數(shù)（對(duì)等）且一定能做到，而有限集則不可能。Galileo在17世紀(jì)最先考慮自然數(shù)與自然數(shù)平方的多少,1870Cantor開始系統(tǒng)考慮.；則稱若BABA,) 1( 1,1)

19、( 1,1)(,) 如：12),ABBABABBA若則稱；相當(dāng)于： 到 有一個(gè)單射，也相當(dāng)于 到 有一個(gè)滿射3),ABABABAB若且，則稱注：不能用 與 的一個(gè)真子集對(duì)等描述.,*BABABBABAABA則，使的子集及，使的子集是兩個(gè)集，若有設(shè).),BAABBA則即：若單射。又滿的映射轉(zhuǎn)化找兩個(gè)；從而我們把找既單，只需找一個(gè)單射即可而要證射；間找一個(gè)既單又滿的映與，需要在注：要證BABABA例：由 可知 ，試問如何構(gòu)造兩者間的既單又滿的映射。 1 , 1) 1 , 1() 1 , 1(),( 1 , 1) 1 , 1(么：中的集合兩兩不交，那兩兩不交中的集合而且指標(biāo)集，又是一個(gè)是兩個(gè)集族，引

20、理：設(shè): ,:,:BABABABAABf.,*gABfBA上的一一映射到以及上的一一映射到根據(jù)題設(shè)，存在*B*A*B*A1A*1 AAA 令2A)(12BgA 3A)(23BgA 3B)(33AfB 2B)(22AfB 1B)(11AfB 令*B*A1A1B2A3A2B3B不交與，故而知由21*1*12*,)()(AAAAAABgAABg不交的象在從而2121,BBfAA不交下的象在3221,AAgBB兩兩不交故不交與知由32131*3,AAAAAAA 123123,A A AfB B B從而在 下的象也兩兩不交，11321321), 2 , 1(,nnfnnnfnBAnBABBBAAA所以而

21、且也兩兩不交兩兩不交從而1111(1, 2,),ggkkkkkkBAkBA另 外 由可 知*111,ggkkkkBABBAA又所以111111* )(kkkkkkAAAAAAA11kkkkAABBBBBBAAAAkkkkkkkk)()()()(1111此處都是關(guān)于映射g,如果不是同一映射,則不一定成立.注：A可數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) A可以寫成無窮序列的形式a1, a2, a3, 1, 2, 3, 4, 5, 6, a1, a2, a3, a4, a5, a6, 例：1）Z = 0，1，-1，2，-2，3，-3， 與自然數(shù)集N對(duì)等的集合稱為可數(shù)集或可列集，其基數(shù)記為02）0,1中的有理數(shù)全體 =0,1,1

22、/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, 假設(shè)這是一個(gè)無限集M我們可以取出其中一個(gè)點(diǎn)a1顯然Ma1還是無限集在Ma1中可以取出一點(diǎn)a2顯然Ma1，a2還是無限集我們可以取出一個(gè)可數(shù)子集a1,a2,a3,. 任何無限集合均含有可數(shù)子集（即可數(shù)集是無限集中具有最小勢(shì)的的集合) 可數(shù)集的性質(zhì)（子集）:中的元素可以排列成是一個(gè)可數(shù)集，則證明：設(shè)AA,321naaaa中的一個(gè)無窮子序列：中的元素必是上述序列的無限子集，則是若的有限子集，則得證；是若*AAAAA,321knnnnaaaa是可數(shù)集。從而,321*knnnnaaaaA 可數(shù)集的性質(zhì)（并集）有限集與可數(shù)集的并仍為可數(shù)集A=a1,

23、a2, a3, a4, a5, a6, 當(dāng)集合有公共元素時(shí)，不重復(fù)排。假設(shè)A，B，C兩兩不交，則AB= b1, b2, b3 , , bn ，a1, a2, a3, 可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并仍為可數(shù)集有限個(gè)可數(shù)集的并仍為可數(shù)集C= c1, c2, c3, c4, c5, c6, B=b1, b2, b3, ,bnAC= c1, a1, c2, a2, c3, a3, 當(dāng)Ai互不相交時(shí)，按箭頭所示，我們得到一個(gè)無窮序列;當(dāng)Ai有公共元時(shí)，在排列的過程中除去公共元素；.1是可數(shù)集因此nnA1 11 21 31 4,aaaa，2 12 22 32 4,aaaa，3 13 23 33 4,aaaa，4 14

24、24 34 4,aaaa，,，A1A2A3A4說明:與Hilbert旅館問題比較;如何把無限集分解成無限個(gè)無限集合的并?首先0,1中的有理數(shù)全體=0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, 是可數(shù)集，)1, 2()2 , 1 ()0 , 1()1 , 0 (QQQQQ -2 -1 0 1 2 3 4所以Q是可數(shù)集（可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并）說明:有理數(shù)集在直線上稠密,但仍與稀疏分布在直線上的整數(shù)集有相同多的點(diǎn)(對(duì)等意義下).卡氏積設(shè)A，B是可數(shù)集，則AB也是可數(shù)集,| ),(ByAxyxBA從而AB也是可數(shù)集（可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并）利用數(shù)學(xué)歸納法即得有限個(gè)乘積的情形3 可數(shù)集的性質(zhì)（

25、卡氏積）| ),(ByyxAx x固定，y在變證明：平面上的圓由其圓心 (x,y) 和半徑 r 唯一決定,從而,| ),(QrQyxryxQQQA r(x,y).,00ABABA則若由于0A使得中可以取出子集故從0,MMA或有限或可數(shù)知由BB,0BMMABA)(從而ABA所以)()(BMMAAMMA)(有限集與可數(shù)集的并仍為可數(shù)集可數(shù)集并可數(shù)集仍為可數(shù)集AAMMB.,00ABABA則若；集并可數(shù)集仍為可數(shù)集為可數(shù)集時(shí)，利用可數(shù)當(dāng)B特殊情形： 0,1 (0,1) R R-Q；或?yàn)橛邢藜驗(yàn)榭蓴?shù)集故由于BB,0；集并有限集仍為可數(shù)集為有限集時(shí)，利用可數(shù)當(dāng)B 1/2 , 1/3 , , 1/5 ,

26、0 , 1 , , 1/3 , 1/4 ,其他xx 0nnPP為可數(shù)集（可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并）110|,1,2, ,0nnnnninPa xaxaaZ in a0 (0)()nPZPZZZZnZ個(gè) 相乘 為可數(shù)集(n1)（有限個(gè)可數(shù)集作卡氏積）l1874年Cantor開始研究無限集的計(jì)數(shù)問題;l1873年C.埃爾米特證明了e是超越數(shù);l1882年Lindemann證明了是超越數(shù);l1934年A.O.蓋爾豐得證明了若不是0和1的代數(shù)數(shù)，是無理代數(shù)數(shù),則是超越數(shù)(此問題為Hilbert于1900年提出的23個(gè)問題中的第7問題)。我們證明了代數(shù)數(shù)全體是可數(shù)集合，通過后面可知道超越數(shù)全體是不可數(shù)集，故超越

27、數(shù)比代數(shù)數(shù)多得多是可數(shù)集。而使得是一個(gè)無限集，則存在設(shè)*,AAAAAAA假設(shè)這是集合A從中可以取出可數(shù)子集M很容易將M一分為二M1,M2，使得兩個(gè)都是可數(shù)集AMM=a1, a2, a3, a4, a5, a6, M1 =a1, a3, a5, M2=a2, a4, a6, 取A*=(AM)M1=A-M2即可說明：由此我們可得任一無限集一定存在它的一個(gè)真子集與它有相同多的元素個(gè)數(shù)問:為什么不直接令A(yù)*=AM ?)(111為可數(shù)集是否成立？nnnnNnNAAA注：用現(xiàn)有語言不能對(duì)任意集合給出一描述 (集合有描述法與列舉法兩種)nNnNA11是可數(shù)集（有限個(gè)可數(shù)集的卡氏積仍是可數(shù)集）（可數(shù)個(gè)可數(shù)集的

28、并仍是可數(shù)集）nnA1是不可數(shù)集思路：令每個(gè)An=0,1,2,3, ,9，對(duì)中每個(gè)點(diǎn)(a1, a2, a3, a4, a5, a6, )對(duì)應(yīng)一個(gè)小數(shù)0. a1a2a3a4a5a6 ，則的勢(shì)比0,1的勢(shì)大，又0,1為不可數(shù)集，故 不可數(shù)nnA1nnA1nnA1, 1011Ix的閉區(qū)間，記為含點(diǎn)三等分，取其中一個(gè)不，將,221IxI的閉區(qū)間，記為含點(diǎn)三等分，取其中一個(gè)不再將nIII21 1 , 0閉區(qū)間套：這樣繼續(xù)下去得到一個(gè)), 2 , 1( ,31|nIxInnnn區(qū)間0,1是不可數(shù)集) 0 1/3 2/3 1,21nxxx,000 xxnn使得根據(jù)假設(shè)，應(yīng)存在,1 , 010nnIx一點(diǎn)由區(qū)

29、間套定理，存在唯相矛盾。而這與因此有000,1nnnnnIxIx. 1 , 0不是可數(shù)集所以 0 1/3 2/3 1l十進(jìn)制小數(shù) 相應(yīng)于 對(duì)0,1十等分l二進(jìn)制小數(shù) 相應(yīng)于 對(duì)0,1二等分l三進(jìn)制小數(shù) 相應(yīng)于 對(duì)0,1三等分說明：對(duì)應(yīng)0,1十等分的端點(diǎn)有兩種表示，如0.20000000.1999999 （十進(jìn)制小數(shù)）第一次十等分確定第一位小數(shù)第二次十等分確定第二位小數(shù),21nxxx11 11 21 31 40 .xaaaa22 12 22 32 40 .xaaaa33 13 23 33 40 .xaaaa44 14 24 34 40 .xaaaa,令x=0.a1a2a3a4其中1211nnnn

30、aana則得到矛盾，所以 (0,1)是不可數(shù)集。定義：與0,1區(qū)間對(duì)等的集合稱為連續(xù)勢(shì)集，其勢(shì)記為 ， 顯然：0n例：1）R (0,1) 0,1 0,1) R+ (ab).,00ABABA則若2）無理數(shù)集為連續(xù)勢(shì)集（無理數(shù)要比有理數(shù)多得多，同理超越數(shù)要比代數(shù)數(shù)多得多）AxxxxAin則定理：設(shè)),1 , 0(: ),(21),()(,10:xxxA），（首先考慮映射證明32121. 0),(iiiiinxxxxxxxxxA：表示成十進(jìn)制無窮小數(shù)把每個(gè)中的任意元素另一方面，對(duì)于（1）有限個(gè)、可數(shù)個(gè)連續(xù)勢(shì)的卡氏積仍為連續(xù)勢(shì)集: 01(0,1) (0,1),AAA容易驗(yàn)證 （ ， ）是單射，所以因此

31、2213122111. 0)(),1 , 0(:xxxxxxA作映射BernsteinA 再由定理可知(0,1)()(0,1),AAAA 容易驗(yàn)證 ：是單射，所以因此123,01 2990iiixxx其中是 ， ， ， ， 中的一個(gè)數(shù)，不全為且不以 為循環(huán)節(jié)。1312111.0 xxxx 2322212.0 xxxx3332313.0 xxxx的勢(shì)為空間維nREuclidn1874年Cantor考慮 R 與Rn的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并企圖證明這兩個(gè)集合不可能構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)，過了三年，他證明了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是存在的，從而說明 Rn具有連續(xù)基數(shù) ，他當(dāng)初寫信給Dedekind說：“我看到了它，但我簡直不能相信它

32、”.平面與直線有“相同多”的點(diǎn)l連續(xù)勢(shì)集的（有限個(gè)，可數(shù)個(gè)，連續(xù)勢(shì)個(gè)）并仍為連續(xù)勢(shì)集), 0(, 1(11nnAnnn( ( ( 0 1 2 n-1 n( ( ( 0 1 2 n-1 n11(1, (0, nniiiAiin 2| ),(RRxyxARyyRyy.2:AACantorA，則是一個(gè)任意的非空集合設(shè)定理2, :2.AAAAaaA證明：首先 與的一個(gè)子集對(duì)等是顯然的只要考慮即可AAAAAA2:2,2上的一一映射到則存在假設(shè)從而說明無限也是分很多層次，且不存在最大的集合.*)(,AaAa使得因此存在的關(guān)系與現(xiàn)在考慮*Aa*)(,1AaaAAa的定義，應(yīng)有則由若*2(),aAaAaA若則

33、由的定義，應(yīng)有.2AA這是矛盾的，所以AAAA2*的子集，即是由于)(,:*aaAaaA令: 2AA此證為對(duì)角線方法，與(0,1)是不可數(shù)集的證明比較。得到了矛盾。這樣就因此中，所以的任意元素已在的定義知，另一方面，由定理，根據(jù)記為集合，在一起，也能組成一個(gè)認(rèn)為把所有的集合匯總,2,22;2.MMMMMCantorMCantorMMMM1( )0 1 ,();3:0 10,10 1NnnNNnff 對(duì)任意的，令易知，是單射，所以，)2(1020即：，或定理RRNN證明：由于N的子集全體與特征函數(shù)全體存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故2N 與0,1N對(duì)等；下證：N10 ，說明：相當(dāng)于把 對(duì)應(yīng)到一個(gè)三進(jìn)制小數(shù))

34、3()2() 1 (. 0思考：為什么不用二進(jìn)制。N上的特征函數(shù)全體1123(0,1),0,112(0)nnnnaxxaxa a a 另一方面，對(duì)設(shè)（有無窮多 ）即：將 寫成二進(jìn)制小數(shù)0.，且要求不以 為循環(huán)節(jié)123123: (0,1)0,10,1 ,( ),1,2,3,(,)NNngxnana a aaaa作其中即將小數(shù)0.對(duì)應(yīng)到序列（(0,1)0,12NNg易證 ：是單射，因此NBernstein2定理知：由Hilbert在1900年第二屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上將它列為二十三個(gè)難題的第一個(gè)問題。注記：從前面我們已經(jīng)看到：020nCantor認(rèn)為在 之間不存在別的基數(shù)，即不存在這樣的集合A,使得但

35、Cantor證明不了,這就是著名的Cantor連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。 與0A0參見：數(shù)學(xué)與哲學(xué)張景中，數(shù)理邏輯概貌莫紹揆21212122112121) 1,AAAAAAAA記而且使得取集合設(shè)有基數(shù)212122112121)2,AAAAAA記使得取集合設(shè)有基數(shù);,:|)3BBAABffA記設(shè),AABA使得取集合設(shè)有基數(shù)| ),(, 3 , 2 , 1:21,321RxxxxRnRnfRinn的卡氏積個(gè)可看成，201AA與 ， 間存在一一對(duì)應(yīng)（一個(gè)子集對(duì)應(yīng)到其相應(yīng)特征函數(shù)）的映射全體，到表示，的子集全體，表示10102AAAA| ),(, 3 , 2 , 1:21RxxxRRRRfRiN的卡氏積可看成可數(shù)個(gè)

36、如的卡氏積）個(gè)的映射全體（到表示BABABA思考：如何推廣不可數(shù)個(gè)集合的卡氏積？第一章 集合主講：胡努春數(shù)學(xué)三大母結(jié)構(gòu)（Bourbaki學(xué)派觀點(diǎn)）：拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（鄰近關(guān)系），代數(shù)結(jié)構(gòu)（運(yùn)算關(guān)系），序結(jié)構(gòu)（順序關(guān)系）（測(cè)度（長度、面積、體積）例：對(duì)實(shí)數(shù)集R有遠(yuǎn)近關(guān)系，四則運(yùn)算，大小順序，區(qū)間有長度aa baabba則若,cacbba則若,自反性:反對(duì)稱性:傳遞性: 則稱A按 成一半序集（偏序集）。設(shè)A是一集合， 為A中的某些元素的關(guān)系且滿足: 是一半序集. 是一半序集. ),(R),2(R),(AZorn引理：設(shè) 是一偏序集，A中的每個(gè)全序子集有上界，則A必有極大元。AAB, 選擇公理：設(shè) 為一簇兩

37、兩不交的 非空集簇，則存在一集B使得 是單元素集。l利用選擇公理，Banach在1924年證明了分球定理，即一個(gè)閉球U可分解成兩個(gè)互不相交的集合A，B且U與A可 由相同多的有限多個(gè)互相合同的子集并成，U與B可由相同多的有限多個(gè)互相合同的子集并成；粗略來說即可把一個(gè)球U分解成兩個(gè)與U具有同樣體積的球A和B。（見：王世強(qiáng)數(shù)理邏輯與范疇論應(yīng)用）l通俗講，假如有無限雙鞋子，則我們有一規(guī)則，從每雙鞋子中取出左腳穿的鞋子，其總體構(gòu)成一集合；但若是無限雙襪子，由于襪子不分左右，所以就有多種選擇，要承認(rèn)這種成員不確定的集合存在，就要引用選擇公理。數(shù)學(xué)中許多重要定理的證明都需要用到選擇公理，如Lebesgue不

38、可測(cè)集的存在，拓?fù)淇臻g緊性 的Tychonoff定理等。注：關(guān)于選擇公理的一些等價(jià)命題，可參見一般拓?fù)鋵W(xué)（J.L.Kelly p34） 第一章 集合連接兩非有理點(diǎn)，并作中垂線，任取中垂線上一點(diǎn)z，連接xz，zy得到一條連接x，y的折線，這樣的折線有連續(xù)勢(shì)條，而平面上的有理點(diǎn)只有可數(shù)個(gè)，故一定存在一條折線不過有理點(diǎn)。yxz證明：由于有理數(shù)在直線上稠密，故可在每個(gè)開區(qū)間內(nèi)取一有理點(diǎn)，則這些有理點(diǎn)兩兩不同，從而A與有理數(shù)集的一個(gè)子集對(duì)等，另外有理數(shù)集是可數(shù)集，所以A至多可數(shù)。（）（）（）r注意:不能通過任取一個(gè)區(qū)間作為第一個(gè),然后左邊最靠近的作為第二個(gè),右邊最靠近的作為第三個(gè),一直如此下去,得到所有

39、開區(qū)間的一個(gè)排列(如Cantor集的余集).對(duì)0,1區(qū)間三等分，去掉中間一個(gè)開區(qū)間，然后對(duì)留下的兩個(gè)閉區(qū)間三等分，各自去掉中間一個(gè)開區(qū)間，此過程一直進(jìn)行下去，最后留下的點(diǎn)即為中至少有一個(gè)勢(shì)為，則設(shè)BABA,ABA若顯然,ARyyxRx| ),(,則ByxRyRxxx),(,使所以| ),(RxyxBx從而)(22RRBA因?yàn)樽C明：不妨設(shè)xB由Bernstein定理可知所以A，B中至少有一個(gè)連續(xù)勢(shì)集中至少有一個(gè)勢(shì)為，則設(shè)BABA,yyxRRpxyxRRpyx),(:),(:22令,BA若,)(,)(BpApyx則ByxRxRyAyxRyRx),( ,),( ,0000使使從而)(22RRBA因?yàn)?/p>

40、另證：不妨設(shè),BA顯然xy(x,y)BAyx),(00從而 ，得到矛盾所以A，B中至少有一個(gè)為連續(xù)勢(shì)集nnnxxxxxnRRp),(, 3 , 2 , 1:321令,nAn若,)(,nnApn則)(,00nnnnApxRxn使從而中至少有一個(gè)勢(shì)為則設(shè)nnnAA,1)(1RRRRRAnn因?yàn)樽C明：不妨設(shè),nAn顯然x(x,y,z)yznnnAxxx100210),(從而 ，得到矛盾所以An中至少有一個(gè)為連續(xù)勢(shì)集的勢(shì)為上的全體連續(xù)函數(shù)集 E 1 , 0其次令rn為0,1中有理數(shù)全體，對(duì)每一fE構(gòu)造實(shí)數(shù)列f(rn),由有理數(shù)在0,1中稠密及f連續(xù)可知E中不同的元對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)列也不同，從而E與實(shí)數(shù)列全體

41、R的一個(gè)子集對(duì)等。所以EE首先所以RRfE| 1 , 0 :2 1 , 0的勢(shì)為上的全體實(shí)函數(shù)集 E其次所以RREffE2|在平面坐標(biāo)系下的圖象 2E 2E首先所以1 , 021 , 0| )(AxEA 第二章 點(diǎn)集l定義：設(shè)X為一非空集合，d : XXR為一映射，且滿足 d(x,y) 0，d(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x = y（正定性） d(x,y)=d(y,x) （對(duì)稱性）則稱(X,d)為度量空間. d(x,y) d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）| )()(|max),(tytxyxdbtaniiiyxyxd12)(),(yxyxyxd10),(EEEEE 的孤立點(diǎn)全體),(|0),(

42、0ppdpOp點(diǎn)P0的鄰域：EOp),(0, 0有P0為 E的接觸點(diǎn)：)(, 00),(0pEOp有P0為 E的聚點(diǎn)：, 00),(0pEOp使得P0為 E的孤立點(diǎn)：E記 為 E的閉包（接觸點(diǎn)全體）E記 為 E的導(dǎo)集（聚點(diǎn)全體）cpEO),(0, 0使得即P0為 Ec的內(nèi)點(diǎn):EOp),(0, 0使得 P0為 E的內(nèi)點(diǎn)：EOp),(0, 0使得 P0為 E的外點(diǎn)：cppEOEO),(),(00, 0且有P0為 E的邊界點(diǎn)：E記 為 E的內(nèi)部（內(nèi)點(diǎn)全體）E記 為 E的邊界（邊界點(diǎn)全體）例（1）令 E = Q ， 則EREEE（2）令E=1,1/2,1/3,，1/k,則 對(duì)一切1/k (k=1,2,

43、3, )均為E的孤立點(diǎn)。0EEEEEEEE的孤立點(diǎn)全體由定義可知ccccEEEE)()()()(EOp),(0, 0有P0為 E的接觸點(diǎn)：EOp),(0, 0使得P0為 E的內(nèi)點(diǎn)：cppEOEO),(),(00, 0即使得 P0為 E的外點(diǎn)：為有限集，假如)(0),(0pEOp,)(210),(0npppppEO不妨令, 2 , 1| ),(min0nippdi取)(0),(0pEOp則)(0),(0pEOp這與（*）矛盾，所以 為無限集。 0(, )00,( )pOEp （*）證明：由條件知P0 Pn),(),(2121,yxyxOOyxAyx必有下證),(),(2121,yxyxOOz若否

44、則,max), ,(),(),(2121yxyxyzdzxdyxd則12( ,)|xxOxA 這與（*）式矛盾， 所以是一簇兩兩不交的開區(qū)間， 從而A至多可數(shù)。Ax(*), 0),(xEOxxx使得證明：設(shè)A為孤立點(diǎn)集， ，由孤立點(diǎn)的定義知證明： 顯然，下證) 1 ()2()3()3() 1 (定理：下列條件等價(jià)： (1) p0為E的聚點(diǎn) (3)存在E中互異的點(diǎn)所成點(diǎn)列pn, 使得0limppnn0(, )0(0,()pOEp 即：有）P0 Pn),(00, 0, 0, 0),(limpnnnOpNnNppd有即若0limppnn定義：稱點(diǎn)列pn 收斂于p0 , 記為： (2)點(diǎn)p0的任意鄰域

45、內(nèi)，含有無窮多個(gè)屬于E而異于p0的點(diǎn)pn)(,),(,min0),(0110pEOpppdnpnnnn取時(shí)當(dāng)0limppnn)(,),(,min0),(20121220pEOpppdp取時(shí)當(dāng))(,10),(1110pEOpp取時(shí)當(dāng)0limppnn則上述取出的點(diǎn)列Pn是互異點(diǎn)列,且)(, 00),(0pEOp證明：由聚點(diǎn)的定義知保證收斂保證點(diǎn)列互異lP0為 E的接觸點(diǎn)：lP0為 E的聚點(diǎn)：)(, 00),(0pEOp有EOp),(0, 0有注：聚點(diǎn)的等價(jià)條件的證明中 ，1/n是為了保證收斂，而d(pn-1,p0)是為了保證點(diǎn)列兩兩互異，但證明接觸點(diǎn)時(shí)，無法保證d(pn-1,p0)不為0，所以不能

46、保證點(diǎn)列兩兩互異。),(,min011ppdnnn0limppnnp0是E的聚點(diǎn)的充要條件為存在E中的互異的點(diǎn)所成的點(diǎn)列pn, 使得P0 Pn0limppnn為E的接觸點(diǎn)的充要條件為存在E中點(diǎn)列pn, 使得第二章 點(diǎn)集lP0為 E的接觸點(diǎn)：lP0為 E的聚點(diǎn)：lP0為 E的內(nèi)點(diǎn)：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得)(, 00),(0pEOp有EEEEEEEEE等價(jià)于故的孤立點(diǎn)全體由于說明：要證E是開集，只要證 要證E是閉集，只要證)(顯然因?yàn)镋EEE)(顯然因?yàn)榛駿EEEEEEE 若E = E , 則稱E為開集（E中每個(gè)點(diǎn)都為內(nèi)點(diǎn)) 若 ,則稱E為閉集（與E緊挨的點(diǎn)不跑到E外）說明

47、：要證E是開集，只要證 )(顯然因?yàn)镋EEEabx),(),(baOx 證明：任取x(a,b),取=min|x-a|,|x-b|, 則 ,從而x是（a,b）的內(nèi)點(diǎn)，故(a,b)是開集。說明： 要證E是閉集，只要證()( ) ()ccccEEEEEEEEEE或或或因?yàn)轱@然a b xcxbaO,),( 證明：任取xa,bc,取=min|x-a|,|x-b|, 則 ,從而x不是a,b的接觸點(diǎn)，從而a,b的接觸點(diǎn)都在a,b內(nèi)，從而a,b是閉集。l即：A為閉集當(dāng)且僅當(dāng)A中的任意收斂點(diǎn)列收斂于A中的點(diǎn)為E的接觸點(diǎn)的充要條件為存在E中點(diǎn)列pn, 使得或p0是E的聚點(diǎn)的充要條件為存在E中的互異的點(diǎn)所成的點(diǎn)列p

48、n, 使得0limppnn0limppnn若 （或 ）,則稱E為閉集。 （與E接近的點(diǎn)不跑到E外）EE EE 為開集，即從而EEE)(EOOxy),() ,(則) ,(yOEEOx),()(ExE)(EE ),(xOEOx),(, 0使得Ex),(xOy),(yxd)(,0),(xEOx有),(xO( , )( , )( , )0,( )(min( , ), ( , )xxxOExd x xd x xOO 知有當(dāng)時(shí),有x）) , (xOE( , )( )xxOExxE取，由)(EE)(Ex E( ,)( ,)( , )0,( )(min( ,),( ,)xxxOExd x xd x xOO 知

49、有當(dāng)時(shí),有x）為閉集可得利用EEEEEEEEEE)()()() , (xO),(xOE)(),(xEOx) (EElP0為 E的接觸點(diǎn)：lP0為 E的聚點(diǎn)：lP0為 E的內(nèi)點(diǎn)：lP0為 E的外點(diǎn)：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得)(, 00),(0pEOp有cppEOEO),(),(00, 0即使得b.若E為開集，則Ec為閉集; 若E為閉集，則Ec為開集。ccccEEEE)()()()(a.lP0為 E的接觸點(diǎn)：lP0為 E的內(nèi)點(diǎn)：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得CECE 從而x不是Ec的接觸點(diǎn)， 也即Ec的接觸點(diǎn)一定在Ec內(nèi)， 從而 ，即Ec為閉集。 EOExx)

50、,(, 0,使得證明：設(shè)E為開集，即( , )cxOE 從而lP0為 E的接觸點(diǎn)：lP0為 E的內(nèi)點(diǎn)：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得EE 證明：設(shè)E為閉集，即cxE 任取 ，假如x不是Ec的內(nèi)點(diǎn)， 則x的任一鄰域內(nèi)至少有一個(gè)屬于E的點(diǎn)，cxE 從而x為E的接觸點(diǎn)，由為閉集可知x在E內(nèi)， 這與 矛盾，所以Ec中的點(diǎn)都為Ec的內(nèi)點(diǎn)，即Ec為開集。a. 空集，Rn為開集;b. 任意多個(gè)開集之并仍為開集；c. 有限個(gè)開集之交仍為開集。注：無限多個(gè)開集的交不一定為開集，如：En=(0,1+1/n),Rn中只有空集和Rn既開又閉，存在大量既不開又不閉的集合，如：E=0,1)A Ba.空集，

51、Rn為閉集；b.任意多個(gè)閉集之交仍為閉集；c.有限個(gè)閉集之并仍為閉集。注：無限多個(gè)閉集的并不一定為閉集，如：En=0,1-1/n若E為開集，則Ec為閉集;若E為閉集，則Ec為開集ccAA)(ccAA)(l定理：直線上的任一非空開集都可唯一地表示成有限個(gè)或可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間的并。( ) ( )( ) ( ) (直線上的閉集或是全直線，或是從直線上挖去有限個(gè)或可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間所得之集.直線上的閉集的孤立點(diǎn)必是其余區(qū)間的某兩個(gè)相鄰開區(qū)間的公共端點(diǎn);但并不意味無孤立點(diǎn)的閉集定為互不相交的閉區(qū)間之并。Rn中的開集一般不能表示成至多可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間之并，但總可表示成至多可數(shù)個(gè)互不相交的半開

52、半閉區(qū)間之并.( ) ( )( ) ( ) (Bolzano-Weierstrass定理： 若E是Rn中的一個(gè)有界的無限集，則E至少有一個(gè)聚點(diǎn).點(diǎn)列a1 , a2 , a3 , a4 , a1 = (a11, a12, a13, ,a1n) a2 = ( a21, a22, a23, , a2n) a3 = ( a31, a32, a33, ,a3n) l注：對(duì)無限維空間不一定成立。詳細(xì)內(nèi)容參見教材 p-183例6 設(shè)F為有界閉集，若開集簇 覆蓋F（ 即 ）， 則 中存在有限個(gè)開集U1 ，U2， ,Un，它同樣覆蓋F:IiUiiIiUF:IiUi注：比較下面幾種不同的證法1.周民強(qiáng)，實(shí)變函數(shù)

53、p-362.尤承業(yè)，基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué) p-523.熊金城，點(diǎn)集拓?fù)渲v義 p-2024.教材 p-42注： 逆命題也成立設(shè)F為Rn中一 集合，若開集簇 覆蓋F（ 即 ）， 則 中存在可數(shù)個(gè)開集U1 ，U2， ,Un ， ，它同樣覆蓋F:IiUiiIiUF:IiUi提示：利用空間中以有理點(diǎn)為中心，正有理數(shù)為半徑的圓全體為可數(shù)集，開集中的點(diǎn)都為內(nèi)點(diǎn)，以及有理點(diǎn)全體在Rn中稠密和有理數(shù)全體是R的稠密集證明：對(duì)任意的yF，由于yG ，F(xiàn)GGFyxyxF:GOyyy),(,0使得故存在),(121iyiyniOF使得:),(21FyOyy由 組成F的一個(gè)開覆蓋及有限子覆蓋定理，知存在y1, y2, yn F ,

54、min2121nyyy取),(21iyiyO于是對(duì)每個(gè)yF至少屬于某個(gè) iiiyyyiiyyyzzy2121| |且y與Gc中的任一點(diǎn)z之間的距離為GxF 則當(dāng) |x|0,當(dāng)|x-x0|a證明：任取x0 E =x|f(x)a,則f(x0 )a,類似可證x|f(x)a為開集, 從而x|f(x)a =x|f(x)a,即x0為E的內(nèi)點(diǎn)，從而E為開集；注：用到了極限保持不等號(hào)前面的證明用了極限的保號(hào)性EE 另證：0limxxnn任取x0 E = x|f(x) a ,則存在E中的點(diǎn)列xn ,使得由f(x)在x0處連續(xù)及f(xn)a ，可知f(x0)a所以x0 x|f(x) a ,從而x|f(x)a 是閉

55、集，類似可證x|f(x)a 為閉集, 從而x|f(x)a = x|f(x) a c是開集證明：我們只要證明充分性：連續(xù)。，得到矛盾，所以從而)()()(00 xfxfxf，：可知為閉集，：由)()()()(000 xfxfxxxfxfx），則令這無限多項(xiàng)為中，：在不妨令有無限多ixxxxfxfxxiinnn()()(00，：或：從而)()()()(00 xfxfxxxfxfxxnn01100( )0,|,|()()|,nnnnnf xxxRxxf xf x假如在某點(diǎn) 處不連續(xù)，則使但另證：我們只要證明充分性：處連續(xù)。在所以時(shí)，有也即當(dāng)000)(| )()(|xxfxfxfxx)()()()()

56、()(),(, 0000000的內(nèi)點(diǎn)：是因?yàn)椋菏沟脧亩鴛fxfxfxxxfxfxfxxO為開集，：)()()()()()()( , 00000 xfxfxxfxfxxfxfxfx處連續(xù)在，下證任取都為開集，：，由條件知對(duì)任意實(shí)數(shù)00)()(,)(xxfRxcxfxcxfxc,|:)()(sup|lim)(),( 000 xOxxxfxfx)(:txGx( , );)sup|( )()|:,( , )sup ( ):( , ) inf ():( , )a bff xf xx xa bf xxa bf xxa b（）x隨的減少而減少0min , ,(, ):( ),O xxGxt 取下證，使故為開

57、集，由于GxOG) ,(, 00) ,(0 xO0000()limsup|( )( )|: , (, ),0,sup|( )( )|: , (, ),(xf xf xx xO xGtf xf xx xO xGt由于所以使極限的保號(hào)性）),(),(00 xOxOtxGxtxGxx)(,)(:000，且則任取,)(:中的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)即可只要證明txGx)(:txGxGx0()lim sup|( )( )|: , (,),xf xf xx xO xt從而為開集。所以從而)(:)(:),(0txGxtxGxxO，故有)(:txGxx,),(, |:)() (sup|),(, |:)() (sup|0tG

58、xOxxxfxfGxOxxxfxf從而) ,(0 xO),(),(00 xOxO)(:txGx) ,(),(),(,),(000 xOxOxOxxd有時(shí)其次，當(dāng)),(xOGGxOxOxxOx) ,(),(),(000則任取,|:)()(sup|lim)(),( 000EOxxxfxfxx)(:txEx說明：5與6不能通過取余集而由一個(gè)的證明立即得到另一個(gè)的證明；因?yàn)槎x域已限制好，在定義域的外面函數(shù)沒有取值。0sup|( )( )|: , (, )sup|( )( )|: , ( ,)( ),f xf xx xO xf xf xx xO xxt從而證明：)(:)(:txExtxEx只需證),(

59、) ,(),()(00 xOxOxxdtxx則，取，有對(duì)該為閉集。，從而故有)(:)(:0txExtxExx,),(, |:)() (sup|lim)(000txOxxxfxfx從而，中的點(diǎn)含有另外，為閉集由于顯然任取xtxExxOEExtxExx)(:),(, 0)(,)(:000 x0 x 第三章 測(cè)度論iniiTbaxfdxxfR10|)(lim)()(其中iiiiiixxxxx11積分與分割、介點(diǎn)集的取法無關(guān)幾何意義（非負(fù)函數(shù)）：函數(shù)圖象下方圖形的面積。xi-1 xi(1) Riemann積分回顧（分割定義域）從分割值域入手iniibamEdxxfL10,lim)()(yiyi-1)(

60、:1iiiyxfyxEiiiyy1用 mEi 表示 Ei 的“長度”問題：如何把長度,面積,體積概念推廣?圓的面積)(22sin22cos22sin22122nRRnnnRnRn內(nèi)接正n邊形的面積（內(nèi)填）內(nèi)接)(cos1sin2222122nRRnnnRnRtgn外切外切正n邊形的面積（外包）達(dá)布上和與下和 Riemann積分iniiTbaxfdxxfR10|)(lim)()(xi-1 xiiniiTbaxmdxxf10|lim)(達(dá)布下和的極限下積分（內(nèi)填）xi-1 xiiniiTbaxMdxxf10|lim)(達(dá)布上和的極限上積分（外包）Jordan測(cè)度: |inf)(11為開區(qū)間且iin