利用空間向量證明平行（課堂PPT）

1、第1頁 3.2.2 利用空間向量證明平行、利用空間向量證明平行、垂直關(guān)系垂直關(guān)系第2頁 自自 學學 導導 引引 (學生用書學生用書P80) 會用空間向量證明線與線、線與面、面與面之間的平行會用空間向量證明線與線、線與面、面與面之間的平行,垂直垂直關(guān)系關(guān)系,掌握用向量解決立體幾何問題的方法步驟掌握用向量解決立體幾何問題的方法步驟.第3頁 課課 前前 熱熱 身身(學生用書學生用書P80) 第4頁 1.空間中的平行關(guān)系主要有空間中的平行關(guān)系主要有_、_、_,空間中的垂直關(guān)系主要有空間中的垂直關(guān)系主要有_、_、_.2.證明兩條直線平行證明兩條直線平行,只要證明這兩條直線的方向向量是只要證明這兩條直線的

2、方向向量是_即可即可. 線線平行線線平行線面平行線面平行面面平行面面平行線線垂直線線垂直線面垂直線面垂直面面垂直面面垂直共線向量共線向量 第5頁 3.證明線面平行的方法證明線面平行的方法(1)證明直線的方向向量與平面的法向量證明直線的方向向量與平面的法向量_.(2)證明能夠在平面內(nèi)找到一個向量與已知直線的方向向量證明能夠在平面內(nèi)找到一個向量與已知直線的方向向量_.(3)利用共面向量的定理利用共面向量的定理,即證明直線的方向向量與平面內(nèi)兩即證明直線的方向向量與平面內(nèi)兩個不共線的向量是個不共線的向量是_.垂直垂直共線共線共面向量共面向量 第6頁 4.證明面面平行的方法證明面面平行的方法(1)轉(zhuǎn)化為

3、轉(zhuǎn)化為_、_處理處理;(2)證明這兩個平面的法向量是證明這兩個平面的法向量是_.5.證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量_.6.證明線面垂直的方法證明線面垂直的方法(1)證明直線的方向向量與平面的法向量是證明直線的方向向量與平面的法向量是_;(2)證明直線與平面內(nèi)的證明直線與平面內(nèi)的_.線線平行線線平行線面平行線面平行共線向量共線向量互相垂直互相垂直共線向量共線向量兩條不共線向量互相垂直兩條不共線向量互相垂直第7頁 7.證明面面垂直的方法證明面面垂直的方法(1)轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為_、_;(2)證明兩個平面的法向量證明兩個平面的法向量_.線線垂直線線

4、垂直線面垂直線面垂直互相垂直互相垂直第8頁 名名 師師 講講 解解(學生用書學生用書P80) 第9頁 1.利用空間向量證明線與面平行利用空間向量證明線與面平行:只要在平面只要在平面內(nèi)找到一條直內(nèi)找到一條直線的方向向量為線的方向向量為b,已知直線的方向向量為已知直線的方向向量為a,問題轉(zhuǎn)化為證問題轉(zhuǎn)化為證明明a=b即可即可.2.利用空間向量證明兩條異面直線垂直利用空間向量證明兩條異面直線垂直:在兩條異面直線上各在兩條異面直線上各取一個向量取一個向量a、b,只要證明只要證明ab,即即ab=0即可即可.第10頁 3.證明線面垂直證明線面垂直:直線直線l,平面平面,要讓要讓l,只要在只要在l上取一個非

5、零上取一個非零向量向量p,在在內(nèi)取兩個不共線的向量內(nèi)取兩個不共線的向量a、b,問題轉(zhuǎn)化為證明問題轉(zhuǎn)化為證明pa且且pb,也就是也就是ap=0且且bp=0.4.證明面面平行、面面垂直證明面面平行、面面垂直,最終都要轉(zhuǎn)化為證明線線平行、最終都要轉(zhuǎn)化為證明線線平行、線線垂直線線垂直.第11頁 典典 例例 剖剖 析析(學生用書學生用書P80)第12頁 題型一題型一 證明線面平行證明線面平行例例1:在正方體在正方體ABCD-A1B1C1D1中中,M、N分別是分別是C1C、B1C1的的中點中點,求證求證:MN平面平面A1BD.分析分析:分析分析1,如下圖如下圖,易知易知MNDA1因此得方法因此得方法1.第

6、13頁 :證明第14頁 111111111111MNA112211(),2BD,MNA BD.2/ /.MNC NC MC BC CD AD DDAMNDA 平面平面第15頁 12:,A BD.MN 分析建立直角坐標系 證明與平面的法向量垂直1111:,Axyz.1,A0,0,1 ,B 1,0,0 ,D 0,1,011(1,1, ),(1,1).22,A BDn x,y,znn1 1(0, )2 2000 x1,y1,z1n1,1,10.MNMNADAByzxz 證明 如上圖 建立空間直角坐標系設(shè)棱長為 則可求得設(shè)平面的法向量為則且得取則第16頁 1111002n,MNA BD.MNA BD2

7、.MN nMN 又平面平面第17頁 變式訓練變式訓練1:ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱是正四棱柱,側(cè)棱長為側(cè)棱長為3,底面邊底面邊長為長為2,E是棱是棱BC的中點的中點,求證求證:BD1平面平面C1DE.第18頁 證明證明:以以D為坐標原點為坐標原點,以以DA,DC,DD1為坐標軸建系如右圖為坐標軸建系如右圖,則則B(2,2,0),D1(0,0,3),E(1,2,0),C1(0,2,3),第19頁 11111111112, 2,31,2,01,0,3( 2, 2,1,1.,BDC DE,BDC3),(1,2,0),( 1,0,3).,2,22,33,DE.,BDDEECBDDEECBDD

8、E EC 設(shè)即得解得與共面又面面第20頁 題型二題型二 證明線面垂直證明線面垂直例例2:如下圖所示如下圖所示,在正方體在正方體ABCD-A1B1C1D1中中,E、F分別是分別是BB1、D1B1的中點的中點.求證求證:EF平面平面B1AC.第21頁 分析分析:轉(zhuǎn)化為線線垂直或利用直線的方向向量與平面的法向轉(zhuǎn)化為線線垂直或利用直線的方向向量與平面的法向量平行量平行.第22頁 證明證明:方法方法1:設(shè)設(shè)A1B1的中點為的中點為G,連結(jié)連結(jié)EG,FG,A1B.則則FGA1D1,EGA1B.A1D1平面平面A1B.FG平面平面A1B.AB1 平面平面A1B,FGAB1,A1BAB1,EGAB1.EFAB

9、1.同理同理EFB1C.又又AB1B1C=B1,EF平面平面B1AC.第23頁 2222111111111,1,1()22: bac ac b ba0011()(),22.10() ()21212.ABa ADc AAbEFEBB FBBB DAABDabcABABAAabEF ABabcab 方法設(shè)則1111111EFAB ,EFB C.ABB CB/,EFB AC,./EFAB 即同理又平面第24頁 方法方法3:設(shè)正方體的棱長為設(shè)正方體的棱長為2,建立如下圖所示的空間直角坐標建立如下圖所示的空間直角坐標系系,第25頁 111(1,1,2)(2,2,1)( 1, 1,1).(2,2,2)(2

10、,0,0)(0,2,2).(0,2,0)(2,0,0)( 2,2,0).A 2,0,0 ,C 0,2,0 ,B2,2,2 ,E 2,2,1 ,F 1,1,( 1, 1,1) (0,2,22 .102)12 10.EFABACEF ABEF AC 則而 1111, 1,12,2,02200,EFAB ,EFAC.ABACA,EFB AC. 又平面第26頁 規(guī)律技巧規(guī)律技巧:(1)方法方法1是傳統(tǒng)的幾何法證明是傳統(tǒng)的幾何法證明,利用線面垂直的性利用線面垂直的性質(zhì)及判定質(zhì)及判定,需添加輔助線需添加輔助線.方法方法2選基底選基底,將相關(guān)向量用基底表示出來將相關(guān)向量用基底表示出來,然后利用向量的計然后利

11、用向量的計算來證明算來證明.方法方法3建立空間直角坐標系建立空間直角坐標系,利用向量利用向量,且將向量的運算轉(zhuǎn)化為且將向量的運算轉(zhuǎn)化為實數(shù)實數(shù)(坐標坐標)的運算的運算,以達到證明的目的以達到證明的目的. (2)幾何的綜合推理有時技巧性較強幾何的綜合推理有時技巧性較強,而向量代數(shù)運算屬程序而向量代數(shù)運算屬程序化操作化操作,規(guī)律性較強規(guī)律性較強,但有時運算量大但有時運算量大,兩種處理方法各有優(yōu)兩種處理方法各有優(yōu)點點,不能偏廢不能偏廢.第27頁 2:,PABCD,ABCD,CBABAD9120 ,BCBAAD1,PAABCD,PA1.:CDPAC. 變式訓練如下圖四棱錐中 底面為直角梯形平面求證平面

12、第28頁 分析分析:由判定定理由判定定理,只要證明只要證明CD垂直于面垂直于面PAC中的兩條相交直中的兩條相交直線即可線即可,或者用向量法證明或者用向量法證明CD的方向向量與平面的方向向量與平面PAC的法的法向量平行向量平行.第29頁 證明證明:方法方法1:如下圖如下圖,分別以分別以AB、AD、AP所在直線為所在直線為x,y,z軸軸建立空間直角坐標系建立空間直角坐標系,則則C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1),第30頁 (1,1,0),( 1,10,0,1 ,111 10,CDAC,CDAP,CDPAC.,0),0,ACCDAPCD ACCD AP 同理平面第31頁 2:1,P

13、ACnx,y,0,00000( 1zyx,x1,PACn1, 1,0 ,n,CDPA,1,0.).Cn APn ACxyzxyCDnCD 方法建系同方法設(shè)平面的法向量令平面的一個法向量平面第32頁 題型三題型三 證明面與面垂直證明面與面垂直例例3:三棱柱三棱柱ABC-A1B1C1是各條棱長均為是各條棱長均為a的正三棱柱的正三棱柱,D是側(cè)是側(cè)棱棱CC1的中點的中點.求證求證:平面平面AB1D平面平面ABB1A1.分析分析:轉(zhuǎn)化為線線垂直、線面垂直或者利用法向量垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直、線面垂直或者利用法向量垂直.第33頁 證明證明:方法方法1:取取AB的中點的中點E.三棱柱三棱柱ABC-A1B1C1為

14、正三棱柱為正三棱柱,CEAB且且AA1CE,得得CE面面ABB1A1.第34頁 另取另取AB1中點中點M,得得MDCE.MD面面ABB1A1.又又MD 面面AB1D,面面AB1D面面ABB1A1.第35頁 111111,1().212:,ABM,ABE,()211()0,(22AB AC AACEDMDMCECACBDM AACACBAACA AACB AADM ABC 方法取為空間基底 另取中點中點則由題意可得111111111AB)1()0,2,AAADMABB A .DMAB D,AB DABB A .ACBABCA ABCB ABDMAB DMAADMABDMAA 即且平面又面面面第3

15、6頁 方法方法3:建系如下圖建系如下圖,正三棱柱底面邊長為正三棱柱底面邊長為a,高為高為a,取取AB1的中的中點點M,則相關(guān)點的坐標如下則相關(guān)點的坐標如下:第37頁 1111111113(0,),(0,0,), (,0,0),2222(,0,0),(,0, )223(0,0),(0,0, ),2( ,0,0),0,DMABB A .DMAB D,AB DABB A0.,aaaDaMAaaBAaDMaAAaABaDM AADM AB 則得面又面面面第38頁 規(guī)律技巧規(guī)律技巧:證明面面垂直有傳統(tǒng)方法和向量法兩種途徑證明面面垂直有傳統(tǒng)方法和向量法兩種途徑,傳統(tǒng)傳統(tǒng)方法考查邏輯思維能力較多方法考查邏輯

16、思維能力較多,常需作輔助線解決常需作輔助線解決,思維量大思維量大,向量法思維量小向量法思維量小,但有時運算量較大但有時運算量較大,特別是建系時一定要特別是建系時一定要根據(jù)題目所給空間體建立合適的坐標系根據(jù)題目所給空間體建立合適的坐標系,建系不當建系不當,會人為會人為增加計算的難度增加計算的難度.第39頁 變式訓練變式訓練3:如圖所示如圖所示,在六面體在六面體ABCD-A1B1C1D1中中,四邊形四邊形ABCD是邊長為是邊長為2的正方形的正方形,四邊形四邊形A1B1C1D1是邊長為是邊長為1的的正方形正方形,DD1平面平面A1B1C1D1,DD1平面平面ABCD,DD1=2. (1)求證求證:A

17、1C1與與AC共面共面,B1D1與與BD共面共面;(2)求證求證:平面平面A1ACC1平面平面B1BDD1.第40頁 證明證明:以以D為原點為原點,以以DA,DC,DD1所在直線分別為所在直線分別為x軸、軸、y軸、軸、z軸建立空間直角坐標系軸建立空間直角坐標系D-xyz,如圖所示如圖所示,則有則有D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(1,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2).第41頁 1111111111111111( 1,1,0),( 2,2,0),(1,1,0),(2,2,0)1A C,.A CAC,B D.BD.2,

18、2ACACD BDBACAC BDD BACDBD B 與平行與平行于是與共面與共面第42頁 1111111111111(0,0,2) ( 2,2,0)0,(2,2,0) ( 2,2,0)0,2DDDBB BDD,ACB BDD .A ACCAC,A ACCB BD,.D .DDACDB ACDDAC DBAC 與是平面內(nèi)的兩條相交直線平面又平面過平面平面第43頁 技技 能能 演演 練練(學生用書學生用書P82)第44頁 基礎(chǔ)強化基礎(chǔ)強化1.在空間直角坐標系中在空間直角坐標系中,平面平面xOz的一個法向量是的一個法向量是( )A.(1,0,0) B.(0,1,0)C.(0,0,1) D.(0,

19、1,1)答案答案:B第45頁 2.平面平面的一個法向量為的一個法向量為(1,2,0),平面平面的一個法向量為的一個法向量為(2,-1,0),則平面則平面與平面與平面的關(guān)系是的關(guān)系是( )A.平行平行 B.相交但不垂直相交但不垂直C.相交且垂直相交且垂直 D.無法判定無法判定答案答案:C第46頁 3.在空間四邊形在空間四邊形ABCD中中,E、F分別是分別是AB、BC的中點的中點,則則AC與平面與平面DEF的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是( )A.平行平行 B.相交相交C.在平面內(nèi)在平面內(nèi) D.不能確定不能確定答案答案:A解析解析:如圖所示如圖所示,易知易知EFAC,又又AC 平面平面DEF,EF 平面平

20、面DEF,AC平面平面DEF.第47頁 4.在正方體在正方體ABCD-A1B1C1D1中中,若若E為為A1C1的中點的中點,則直線則直線CE垂直于垂直于( )A.AC B.BDC.A1D D.A1A答案答案:B第48頁 解析解析:如圖如圖,B1D1CC1,B1D1A1C1,又又CC1A1C1=C1,B1D1平面平面AA1C1C,而而CE平面平面AA1C1C,B1D1CE,又又B1D1BD,CEBD.第49頁 5.平面平面ABC中中,A(0,1,1),B(1,2,1),C(-1,0,-1),若若a=(-1,y,z),且且a為平面為平面ABC的法向量的法向量,則則y2等于等于( )A.2 B.0C

21、.1 D.無意義無意義答案答案:C第50頁 2a1,y,zABC:(1,2,1)(0,1,1)(1,1,0)( 1,0, 1)(0,1,1)( 1, 1, 2),0,0,10,aay1,2y1.10,ABACAB aACABa ACyyz 解析又為平面的法向量第51頁 6.若直線若直線l的方向向量的方向向量a=(-2,3,1),平面平面的一個法向量的一個法向量n=(4,0,8),則直線則直線l與平面與平面的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是_.解析解析:a5n=(-2)4+30+81=0,an,l 或或l.答案答案:l 或或l第52頁 能力提升能力提升7.在正方體在正方體AC1中中,O、M分別是分別是DB

22、1、D1C1的中點的中點.證明證明:OMBC1.第53頁 證明證明:如圖如圖,以以D為原點為原點,分別以分別以DA、DC、DD1為為x、y、z軸建軸建立空間直角坐標系立空間直角坐標系D-xyz.第54頁 1111111( 1,0,1),( 2,0,2),2,O 1,1,1M 0,1,2B 2,2,0C0,2,2 ,OB BCC ,O1MBC .,.2OMBCOMBCOMBC 設(shè)正方體的棱長為 則、又平面第55頁 8.在棱長為在棱長為a的正方體的正方體OABC-O1A1B1C1中中,E、F分別是分別是AB、BC上的動點上的動點,且且AE=BF,求證求證:A1FC1E.第56頁 證明證明:以以O(shè)為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則則A1(a,0,a),C1(0,a,a).設(shè)設(shè)AE=BF=x,E(a,x,0),F(a-x,a,0). 1111112211x,a, aa,xa, aaxaxaa0.(,