統(tǒng)計物理部分課后答案

1、文檔供參考，可復制、編制，期待您的好評與關(guān)注！ 7.4 解: 根據(jù)式（6.6.9），處在能量為的量子態(tài)s上的平均粒子數(shù)為 （1）以N表示系統(tǒng)的粒子數(shù)，粒子處在量子態(tài)s上的概率為 （2）顯然，滿足歸一化條件 （3）式中是對粒子的所有可能的量子態(tài)求和. 粒子的平均能量可以表示為 （4）根據(jù)式（7.1.13），定域系統(tǒng)的熵為 （5）最后一步用了式（2），即 （6）式（5）的熵表達式是頗具啟發(fā)性的. 熵是廣延量，具有相加性. 式（5）意味著一個粒子的熵等于 它取決于粒子處在各個可能狀態(tài)的概率. 如果粒子肯定處在某個狀態(tài)，即，粒子的熵等于零. 反之，當粒子可能處在多個微觀狀態(tài)時，粒子的熵大于零. 這與熵

2、是無序度的量度的理解自然是一致的. 如果換一個角度考慮，粒子的狀態(tài)完全確定意味著我們對它有完全的信息，粒子以一定的概率處在各個可能的微觀狀態(tài)意味著我們對它缺乏完全的信息. 所以，也可以將熵理解為信息缺乏的量度. 第九章補充題5還將證明，在正則系綜理論中熵也有類似的表達式. 沙農(nóng)（Shannon）在更普遍的意義上引進了信息熵的概念，成為通信理論的出發(fā)點. 甄尼斯（Jaynes）提出將熵當作統(tǒng)計力學的基本假設(shè)，請參看第九章補充題5. 對于滿足經(jīng)典極限條件的非定域系統(tǒng)，式（7.1.13）給出上式可表為 （7）其中因為將式（7）用表出，并注意可得 （8）這是滿足玻耳茲曼分布的非定域系統(tǒng)的熵的一個表達式

3、. 請與習題8.2的結(jié)果比較.習題7.8氣體以恒定的速度沿方向作整體運動。試證明，在平衡狀態(tài)下分子動量的最概然分布為 證： 設(shè)能級這樣構(gòu)成：同一中，相同，而與在變化，于是有： ()參照教材玻耳茲曼分布證明；有 -,其中 由(1)知: 將代入 并配方得: =其中 對比page238式（7.2.4）得： 整個體積內(nèi)，分布在 內(nèi)分子數(shù)為：由條件（3）知 計算得 = =代入得出分布： 其中 ,習題7.13試證明，單位時間內(nèi)碰到單位面積上，速率介于與之間的分子數(shù)為：證： 在斜圓柱體內(nèi),分速度為的方向的分子數(shù)為: 對于 時間碰撞到面積上的分子數(shù)（） = 得到：若只計算介于分子數(shù)則為：（只對積分） 習題7.

4、15已知粒子遵從經(jīng)典玻耳茲曼分布，其能量表達式為：其中是常數(shù)，求粒子的平均能量。 解：  習題8.1試證明:對于玻色系統(tǒng)或費米系統(tǒng),玻耳茲曼關(guān)系成立，即。解：對于理想費米系統(tǒng)，與分布相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為 取對數(shù)，并應(yīng)用斯特令近似公式，得另一方面，根據(jù)理想費米系統(tǒng)的熵為其中費米巨配分函數(shù)的對數(shù)為 由費米分布 得 和 所以 兩式比較可知：。習題8-2 試證明，理想玻色和費米系統(tǒng)的熵可表示為：，其中為量子態(tài)上的平均粒子數(shù)，對粒子的所有量子態(tài)求和。解：我們先討論理想費米系統(tǒng)的情形。根據(jù)上題有，理想費米系統(tǒng)的熵可表示為 式中表示對粒子各能級求和。以表示在能量為的量子態(tài)上的平均粒子數(shù)，并將對

5、能級求和改為對量子態(tài)求和，注意到 ，上式可改寫為 由于，計及前面的負號，上式的兩項都是非負的。對于理想玻色系統(tǒng)，通過類似的步驟可以證明，由于玻色系統(tǒng)，計及前面的負號，式中的第一項可以取負值，第二項是非負的，由于在絕對值上第二項大于第一項，熵不會取負值。 在的情形，上面兩式中的所以在的情形下，有 注意到，上式也可表示為習題8.3求弱簡并理想費米（玻色）氣體的壓強和熵。解：弱簡并費米（玻色）氣體的內(nèi)能為，式中上面的符號適用于費米氣體，下面的符號適用于玻色氣體。利用理想氣體壓強與內(nèi)能的關(guān)系，可直接求出弱簡并氣體的壓強為 式中是粒子數(shù)密度。 定容熱容量為 參照熱力學中熵的積分表達式可將熵表示為 于是可

6、得 式中的函數(shù)可通過下述條件確定：在的極限下，弱簡并氣體趨于理想氣體。習題8.4 試證明，在熱力學極限下均勻的二維理想玻色氣體不會發(fā)生玻色-愛因斯坦凝聚。證明：令玻色氣體降溫到某有限溫度，氣體的化學勢將趨于。在時，將有宏觀量級的粒子凝聚在的基態(tài)，稱為玻色-愛因斯坦凝聚。臨界溫度由條件 確定。將二維自由粒子的狀態(tài)密度代入得： 二維理想玻色氣體的凝聚溫度由上式確定。令，上式可改寫為 將被積函數(shù)展開有： 則 是發(fā)散的，這意味著在有限溫度下二維理想玻色氣體的化學勢不可能趨于零。換句話說，在有限溫度下二維理想玻色氣體不會發(fā)生玻色-愛因斯坦凝聚。習題8.7計算溫度為時，在體積內(nèi)光子氣體的平均總光子數(shù)，并據(jù)

7、此估算：（1）溫度為時的平衡輻射和；（2）溫度為的宇宙背景輻射中光子的數(shù)密度。解：在體積內(nèi)，在到的圓頻率范圍內(nèi)光子數(shù)為 溫度為時平均光子數(shù)為 因此溫度為時，在體積內(nèi)光子氣體的平均光子數(shù)為 引入變量，上式可表示為 或 在下，有。 在下，有。習題8.8試據(jù)普朗克公式求平衡輻射內(nèi)能密度按波長的分布：，并據(jù)此證明，使輻射內(nèi)能密度取極大的波長滿足方程： 這個方程的數(shù)值解為。因此 溫度增加向短波方向移動。證：平衡輻射內(nèi)能按圓頻率的分布為 根據(jù)圓頻率與波長的關(guān)系，有 于是內(nèi)能按波長的分布可得：令使取極大的波長由下式確定： 于是有： 利用圖解法可以解出，精確的數(shù)值解給出。所以使為極大的滿足右方是常量，說明隨溫

8、度的增加向短波方向移動，稱為維恩位移定律。習題8.10試根據(jù)熱力學公式及光子氣體的熱容量求光子氣體的熵。解： 光子氣體的內(nèi)能為 由此易得其定容熱容量為 根據(jù)熱力學關(guān)于均勻系統(tǒng)熵的積分表達式有： 積分沿任意一條積分路徑進行，如果取積分路線為由到的直線，即有： 習題9.1證明在正則分布中熵可表為其中是系統(tǒng)處在態(tài)的概率。證： 多粒子配分函數(shù)由(1)知 代至(2)得 ;于是 習題9.2試用正則分布求單原子分子理想氣體的物態(tài)方程，內(nèi)能和熵證： 符號符號利用式（9.5.3）類似求。習題9.6被吸附在液體表面的分子形成一種二維氣體，考慮分子間的相互作用，試用正則分布證明，二維氣體的物態(tài)方程為，其中：為液體的

9、面積，為兩分子的互作用勢。解： 二維氣體其中 定義變量代換據(jù)式（9.5.3）習題9.9利用德拜頻譜求固體在高溫和低溫下配分函數(shù)對數(shù)，從而求內(nèi)能和熵。解：式（3.9.4）德拜頻譜 對于振動 計算略高溫近似， ， （計算略）習題9.7仿照三維固體的地拜理論，計算長度為的線形原子鏈在高溫和低溫下的內(nèi)能和熱容量。解：一維線形原子鏈共有個振動，存在最大頻率令高溫近似低溫近似其中習題9.8仿照三維固體的德拜理論，計算長度為L的線形原子鏈（一維晶體）在高溫和低溫下的內(nèi)能和熱容量。解： 二維：面積S內(nèi)，波矢范圍內(nèi)輻射場振動自由度為 橫波按頻率分布為 縱波按頻率分布為 令低溫近似 高溫近似 計算略。 7.10 氣體以恒定速度沿方向作整體