空間向量及立體幾何練習試題和答案解析

1、文檔供參考，可復制、編制，期待您的好評與關注！ 1如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD平面ABCD，點M在線段PB上，PD平面MAC，PA=PD=，AB=4（1）求證：M為PB的中點；（2）求二面角BPDA的大??；（3）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值【分析】（1）設ACBD=O，則O為BD的中點，連接OM，利用線面平行的性質證明OMPD，再由平行線截線段成比例可得M為PB的中點；（2）取AD中點G，可得PGAD，再由面面垂直的性質可得PG平面ABCD，則PGAD，連接OG，則PGOG，再證明OGAD以G為坐標原點，分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空

2、間直角坐標系，求出平面PBD與平面PAD的一個法向量，由兩法向量所成角的大小可得二面角BPDA的大??；（3）求出的坐標，由與平面PBD的法向量所成角的余弦值的絕對值可得直線MC與平面BDP所成角的正弦值【解答】（1）證明：如圖，設ACBD=O，ABCD為正方形，O為BD的中點，連接OM，PD平面MAC，PD平面PBD，平面PBD平面AMC=OM，PDOM，則，即M為PB的中點；（2）解：取AD中點G，PA=PD，PGAD，平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，PG平面ABCD，則PGAD，連接OG，則PGOG，由G是AD的中點，O是AC的中點，可得OGDC，則OGAD以G為坐

3、標原點，分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標系，由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（2，0，0），P（0，0，），C（2，4，0），B（2，4，0），M（1，2，），設平面PBD的一個法向量為，則由，得，取z=，得取平面PAD的一個法向量為cos=二面角BPDA的大小為60°；（3）解：，平面BDP的一個法向量為直線MC與平面BDP所成角的正弦值為|cos|=|=|=【點評】本題考查線面角與面面角的求法，訓練了利用空間向量求空間角，屬中檔題2如圖，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，BAC=90°點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中

4、點，M是線段AD的中點，PA=AC=4，AB=2（）求證：MN平面BDE；（）求二面角CEMN的正弦值；（）已知點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長【分析】（）取AB中點F，連接MF、NF，由已知可證MF平面BDE，NF平面BDE得到平面MFN平面BDE，則MN平面BDE；（）由PA底面ABC，BAC=90°可以A為原點，分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系求出平面MEN與平面CME的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值得二面角CEMN的余弦值，進一步求得正弦值；（）設AH=t，則H（0，0，t），求出的坐標，結合直線NH與直

5、線BE所成角的余弦值為列式求得線段AH的長【解答】（）證明：取AB中點F，連接MF、NF，M為AD中點，MFBD，BD平面BDE，MF平面BDE，MF平面BDEN為BC中點，NFAC，又D、E分別為AP、PC的中點，DEAC，則NFDEDE平面BDE，NF平面BDE，NF平面BDE又MFNF=F平面MFN平面BDE，則MN平面BDE；（）解：PA底面ABC，BAC=90°以A為原點，分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系PA=AC=4，AB=2，A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），則，設平

6、面MEN的一個法向量為，由，得，取z=2，得由圖可得平面CME的一個法向量為cos=二面角CEMN的余弦值為，則正弦值為；（）解：設AH=t，則H（0，0，t），直線NH與直線BE所成角的余弦值為，|cos|=|=|=解得：t=或t=當H與P重合時直線NH與直線BE所成角的余弦值為，此時線段AH的長為或【點評】本題考查直線與平面平行的判定，考查了利用空間向量求解空間角，考查計算能力，是中檔題3如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其內部）以AB邊所在直線為旋轉軸旋轉120°得到的，G是的中點（）設P是上的一點，且APBE，求CBP的大?。?（）當AB=3，AD=2時，求二

7、面角EAGC的大小【分析】（）由已知利用線面垂直的判定可得BE平面ABP，得到BEBP，結合EBC=120°求得CBP=30°； （）法一、取的中點H，連接EH，GH，CH，可得四邊形BEGH為菱形，取AG中點M，連接EM，CM，EC，得到EMAG，CMAG，說明EMC為所求二面角的平面角求解三角形得二面角EAGC的大小法二、以B為坐標原點，分別以BE，BP，BA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系求出A，E，G，C的坐標，進一步求出平面AEG與平面ACG的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角EAGC的大小【解答】解：（）APBE，ABBE，且AB，AP平面A

8、BP，ABAP=A，BE平面ABP，又BP平面ABP，BEBP，又EBC=120°，因此CBP=30°； （）解法一、取的中點H，連接EH，GH，CH，EBC=120°，四邊形BECH為菱形，AE=GE=AC=GC=取AG中點M，連接EM，CM，EC，則EMAG，CMAG，EMC為所求二面角的平面角又AM=1，EM=CM=在BEC中，由于EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+222×2×2×cos120°=12，因此EMC為等邊三角形，故所求的角為60°解法二、以B為坐標原點，分別以BE，BP，B

9、A所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系由題意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，3），C（1，0），故，設為平面AEG的一個法向量，由，得，取z1=2，得；設為平面ACG的一個法向量，由，可得，取z2=2，得cos=二面角EAGC的大小為60°【點評】本題考查空間角的求法，考查空間想象能力和思維能力，訓練了線面角的求法及利用空間向量求二面角的大小，是中檔題4如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，AFD=90°，且二面角DAFE與二面角CBEF都是60°（）證明平面ABEF平面EFDC；（）求二面角EBC

10、A的余弦值【分析】（）證明AF平面EFDC，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面ABEF平面EFDC；（）證明四邊形EFDC為等腰梯形，以E為原點，建立如圖所示的坐標系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夾角公式可得二面角EBCA的余弦值【解答】（）證明：ABEF為正方形，AFEFAFD=90°，AFDF，DFEF=F，AF平面EFDC，AF平面ABEF，平面ABEF平面EFDC；（）解：由AFDF，AFEF，可得DFE為二面角DAFE的平面角；由ABEF為正方形，AF平面EFDC，BEEF，BE平面EFDC即有CEBE，可得CEF為二面角CBEF的平面角可得DFE=CEF

11、=60°ABEF，AB平面EFDC，EF平面EFDC，AB平面EFDC，平面EFDC平面ABCD=CD，AB平面ABCD，ABCD，CDEF，四邊形EFDC為等腰梯形以E為原點，建立如圖所示的坐標系，設FD=a，則E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），=（0，2a，0），=（，2a，a），=（2a，0，0）設平面BEC的法向量為=（x1，y1，z1），則，則，取=（，0，1）設平面ABC的法向量為=（x2，y2，z2），則，則，取=（0，4）設二面角EBCA的大小為，則cos=，則二面角EBCA的余弦值為【點評】本題考查平面與平面垂直的證明，考查

12、用空間向量求平面間的夾角，建立空間坐標系將二面角問題轉化為向量夾角問題是解答的關鍵5如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AB=5，AC=6，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于點H，將DEF沿EF折到DEF的位置，OD=（）證明：DH平面ABCD；（）求二面角BDAC的正弦值【分析】（）由底面ABCD為菱形，可得AD=CD，結合AE=CF可得EFAC，再由ABCD是菱形，得ACBD，進一步得到EFBD，由EFDH，可得EFDH，然后求解直角三角形得DHOH，再由線面垂直的判定得DH平面ABCD；（）以H為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，由已知求得所用點的坐標

13、，得到的坐標，分別求出平面ABD與平面ADC的一個法向量，設二面角二面角BDAC的平面角為，求出|cos|則二面角BDAC的正弦值可求【解答】（）證明：ABCD是菱形，AD=DC，又AE=CF=，則EFAC，又由ABCD是菱形，得ACBD，則EFBD，EFDH，則EFDH，AC=6，AO=3，又AB=5，AOOB，OB=4，OH=1，則DH=DH=3，|OD|2=|OH|2+|DH|2，則DHOH，又OHEF=H，DH平面ABCD；（）解：以H為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，AB=5，AC=6，B（5，0，0），C（1，3，0），D（0，0，3），A（1，3，0），設平面ABD的一個法

14、向量為，由，得，取x=3，得y=4，z=5同理可求得平面ADC的一個法向量，設二面角二面角BDAC的平面角為，則|cos|=二面角BDAC的正弦值為sin=【點評】本題考查線面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，訓練了利用平面的法向量求解二面角問題，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法，是中檔題6在三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，側面ABB1A1是邊長為2的正方形，點E，F(xiàn)分別在線段AA1、A1B1上，且AE=，A1F=，CEEF（）證明：平面ABB1A1平面ABC；（）若CACB，求直線AC1與平面CEF所成角的正弦值【分析】（I）取AB的中點D，連結CD，DF，DE計算DE，EF，DF，利用

15、勾股定理的逆定理得出DEEF，由三線合一得CDAB，故而CD平面ABB1A1，從而平面ABB1A1平面ABC；（II）以C為原點建立空間直角坐標系，求出和平面CEF的法向量，則直線AC1與平面CEF所成角的正弦值等于|cos|【解答】證明：（I）取AB的中點D，連結CD，DF，DEAC=BC，D是AB的中點，CDAB側面ABB1A1是邊長為2的正方形，AE=，A1F=A1E=，EF=，DE=，DF=，EF2+DE2=DF2，DEEF，又CEEF，CEDE=E，CE平面CDE，DE平面CDE，EF平面CDE，又CD平面CDE，CDEF，又CDAB，AB平面ABB1A1，EF平面ABB1A1，AB

16、，EF為相交直線，CD平面ABB1A1，又CDABC，平面ABB1A1平面ABC（II）平面ABB1A1平面ABC，三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABCCACB，AB=2，AC=BC=以C為原點，以CA，CB，CC1為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則A（，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），E（，0，），F(xiàn)（，2）=（，0，2），=（，0，），=（，2）設平面CEF的法向量為=（x，y，z），則，令z=4，得=（，9，4）=10，|=6，|=sin=直線AC1與平面CEF所成角的正弦值為【點評】本題考查了面面垂直的判定，線面角的計算，空間向量的應用，屬于中檔題

17、7如圖，在四棱錐中PABCD，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2（1）求證：ABPC；（2）在線段PD上，是否存在一點M，使得二面角MACD的大小為45°，如果存在，求BM與平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，請說明理由【分析】（1）利用直角梯形的性質求出AB，AC的長，根據(jù)勾股定理的逆定理得出ABAC，由PA平面ABCD得出ABPA，故AB平面PAC，于是ABPC；（2）假設存在點M，做出二面角的平面角，根據(jù)勾股定理求出M到平面ABCD的距離從而確定M的位置，利用棱錐的體積求出B到平面MAC的距離h，根據(jù)勾股定理計算BM，則即為所求角的正弦

18、值【解答】解：（1）證明：四邊形ABCD是直角梯形，AD=CD=2，BC=4，AC=4，AB=4，ABC是等腰直角三角形，即ABAC，PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB，AB平面PAC，又PC平面PAC，ABPC（2）假設存在符合條件的點M，過點M作MNAD于N，則MNPA，MN平面ABCD，MNAC過點M作MGAC于G，連接NG，則AC平面MNG，ACNG，即MGN是二面角MACD的平面角若MGN=45°，則NG=MN，又AN=NG=MN，MN=1，即M是線段PD的中點存在點M使得二面角MACD的大小為45°在三棱錐MABC中，VMABC=SABCMN=，設點B

19、到平面MAC的距離是h，則VBMAC=，MG=MN=，SMAC=2，=，解得h=2在ABN中，AB=4，AN=，BAN=135°，BN=，BM=3，BM與平面MAC所成角的正弦值為=【點評】本題考查了項目垂直的判定與性質，空間角與空間距離的計算，屬于中檔題8如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABCA1B1C1中，側面A1ACC1底面ABC，A1AC=60°（1）求側棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值的大??；（2）已知點D滿足=+，在直線AA1上是否存在點P，使DP平面AB1C？若存在，請確定點P的位置，若不存在，請說明理由【分析】（1）推導出A1O平面ABC，BOAC，以O為坐

20、標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz，利用向量法能求出側棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值（2）假設存在點P符合題意，則點P的坐標可設為P（0，y，z），則利用向量法能求出存在點P，使DP平面AB1C，其坐標為（0，0，），即恰好為A1點【解答】解：（1）側面A1ACC1底面ABC，作A1OAC于點O，A1O平面ABC又ABC=A1AC=60°，且各棱長都相等，AO=1，OA1=OB=，BOAC（2分）故以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz，則A（0，1，0），B（，0，0），A1（0，0，），C（0，1，0），=（0，1，），=（），=（0，2，0）（4分

21、）設平面AB1C的法向量為，則，取x=1，得=（1，0，1）設側棱AA1與平面AB1C所成角的為，則sin=|cos，|=|=，側棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值為（6分）（2）=，而，=（2，0，0），又B（），點D（，0，0）假設存在點P符合題意，則點P的坐標可設為P（0，y，z），DP平面AB1C，=（1，0，1）為平面AB1C的法向量，由=，得，y=0（10分）又DP平面AB1C，故存在點P，使DP平面AB1C，其坐標為（0，0，），即恰好為A1點（12分）【點評】本題考查線面角的正弦值的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用9

22、在三棱柱ABCA1B1C1中，側面ABB1A1為矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中點，BD與AB1交于點O，且CO平面ABB1A1（）證明：平面AB1C平面BCD；（）若OC=OA，AB1C的重心為G，求直線GD與平面ABC所成角的正弦值【分析】（）通過證明AB1BD，AB1CO，推出AB1平面BCD，然后證明平面AB1C平面BCD（）以O為坐標原點，分別以OD，OB1，OC所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz求出平面ABC的法向量，設直線GD與平面ABC所成角，利用空間向量的數(shù)量積求解直線GD與平面ABC所成角的正弦值即可【解答】（本小題滿分12分）解：（）A

23、BB1A1為矩形，AB=2，D是AA1的中點，BAD=90°，從而，ABD=AB1B，（2分），從而AB1BD（4分）CO平面ABB1A1，AB1平面ABB1A1，AB1CO，BDCO=O，AB1平面BCD，AB1平面AB1C，平面AB1C平面BCD（6分）（）如圖，以O為坐標原點，分別以OD，OB1，OC所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz在矩形ABB1A1中，由于ADBB1，所以AOD和B1OB相似，從而又，G為AB1C的重心，（8分）設平面ABC的法向量為，由可得，令y=1，則z=1，所以（10分）設直線GD與平面ABC所成角，則=，所以直線GD與平面A

24、BC所成角的正弦值為（12分）【點評】本題考查平面與平面垂直的判定定理的應用，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力10在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，將ABD沿BD折起，使得點A折起至A，設二面角ABDC的大小為（1）當=90°時，求AC的長；（2）當cos=時，求BC與平面ABD所成角的正弦值【分析】（1）過A作BD的垂線交BD于E，交DC于F，連接CE，利用勾股定理及余弦定理計算AE，CE，由AECE得出AC；（2）利用余弦定理可得AF=，從而得出AF平面ABCD，以F為原點建立坐標系，求出和平面ABD的法向量，則BC與平面ABD所成角的正弦值為|cos|【

25、解答】解：（1）在圖1中，過A作BD的垂線交BD于E，交DC于F，連接CEAB=4，AD=2，BD=10，BE=8，cosCBE=在BCE中，由余弦定理得CE=2=90°，AE平面ABCD，AECE|AC|=2（2）DE=2tanFDE=，EF=1，DF=當即cosAEF=時，AE2=AF2+EF2，A'FE=90°又BDAE，BDEF，BD平面A'EF，BDA'FA'F平面ABCD以F為原點，以FC為x軸，以過F的AD的平行線為y軸，以FA為z軸建立空間直角坐標系如圖所示：A（0，0，），D（，0，0），B（3，2，0），C（3，0，0）=

26、（0，2，0），=（4，2，0），=（，0，）設平面ABD的法向量為=（x，y，z），則，令z=1得=（，2，1）cos=BC與平面A'BD所成角的正弦值為【點評】本題考查了空間角與空間距離的計算，空間向量的應用，屬于中檔題11如圖，由直三棱柱ABCA1B1C1和四棱錐DBB1C1C構成的幾何體中，BAC=90°，AB=1，BC=BB1=2，C1D=CD=，平面CC1D平面ACC1A1（）求證：ACDC1；（）若M為DC1的中點，求證：AM平面DBB1；（）在線段BC上是否存在點P，使直線DP與平面BB1D所成的角為？若存在，求的值，若不存在，說明理由【分析】（）證明ACCC

27、1，得到AC平面CC1D，即可證明ACDC1（）易得BAC=90°，建立空間直角坐標系Axyz，依據(jù)已知條件可得A（0，0，0），B（0，0，1），B1（2，0，1），利用向量求得AM與平面DBB1所成角為0，即AM平面DBB1（）利用向量求解【解答】解：（）證明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，故ACCC1，由平面CC1D平面ACC1A1，且平面CC1D平面ACC1A1=CC1，所以AC平面CC1D，又C1D平面CC1D，所以ACDC1（）證明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，所以AA1AB，AA1AC，又BAC=90°，所以，如圖建立

28、空間直角坐標系Axyz，依據(jù)已知條件可得A（0，0，0），B（0，0，1），B1（2，0，1），所以，設平面DBB1的法向量為，由即令y=1，則，x=0，于是，因為M為DC1中點，所以，所以，由，可得，所以AM與平面DBB1所成角為0，即AM平面DBB1（）解：由（）可知平面BB1D的法向量為設，0，1，則，若直線DP與平面DBB1成角為，則，解得，故不存在這樣的點【點評】本題考查了空間線線垂直、線面平行的判定，向量法求二面角屬于中檔題12如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD為正方形，平面AED平面ABCD，AB=EA=ED，EFBD（ I）證明：AECD（ II）在棱ED上是否存在點M

29、，使得直線AM與平面EFBD所成角的正弦值為？若存在，確定點M的位置；若不存在，請說明理由【分析】（I）利用面面垂直的性質得出CD平面AED，故而AECD；（II）取AD的中點O，連接EO，以O為原點建立坐標系，設，求出平面BDEF的法向量，令|cos|=，根據(jù)方程的解得出結論【解答】（I）證明：四邊形ABCD是正方形，CDAD，又平面AED平面ABCD，平面AED平面ABCD=AD，CD平面ABCD，CD平面AED，AE平面AED，AECD（II）解：取AD的中點O，過O作ONAB交BC于N，連接EO，EA=ED，OEAD，又平面AED平面ABCD，平面AED平面ABCD=AD，OE平面AE

30、D，OE平面ABCD，以O為原點建立空間直角坐標系Oxyz，如圖所示：設正方形ACD的邊長為2，則A（1，0，0），B（1，2，0），D（1，0，0），E（0，0，1），M（，0，1）=（1，0，1），=（1，0，1），=（2，2，0），設平面BDEF的法向量為=（x，y，z），則，即，令x=1得=（1，1，1），cos=，令|=，解得=0，當M與點E重合時，直線AM與平面EFBD所成角的正弦值為【點評】本題考查了線面垂直的判定，空間向量與線面角的計算，屬于中檔題13如圖，在四棱錐PABCD中，ABC=ACD=90°，BAC=CAD=60°，PA平面ABCD，PA=2，AB

31、=1（1）設點E為PD的中點，求證：CE平面PAB；（2）線段PD上是否存在一點N，使得直線CN與平面PAC所成的角的正弦值為？若存在，試確定點N的位置，若不存在，請說明理由【分析】（1）取AD中點M，利用三角形的中位線證明EM平面PAB，利用同位角相等證明MCAB，得到平面EMC平面PAB，證得EC平面PAB；（2）建立坐標系，求出平面PAC的法向量，利用直線CN與平面PAC所成的角的正弦值為，可得結論【解答】（1）證明：取AD中點M，連EM，CM，則EMPAEM平面PAB，PA平面PAB，EM平面PAB在RtACD中，CAD=60°，AC=AM=2，ACM=60°而BA

32、C=60°，MCABMC平面PAB，AB平面PAB，MC平面PABEMMC=M，平面EMC平面PABEC平面EMC，EC平面PAB（2）解：過A作AFAD，交BC于F，建立如圖所示的坐標系，則A（0，0，0），B（，0），C（，1，0），D（0，4，0），P（0，0，2），設平面PAC的法向量為=（x，y，z），則，取=（，3，0），設=（01），則=（0，4，2），=（1，22），|cos，|=，N為PD的中點，使得直線CN與平面PAC所成的角的正弦值為【點評】本題考查線面平行的判定，考查線面角，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題14如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD為平行四邊形，平面PAB平面